1、,12.3 角平分線的性質(zhì),石門中學(xué),復(fù)習(xí)提問,1、角平分線的概念,一條射線,把一個角,分成兩個相等的角，,這條射線叫做這個角的平分線。,OC是AOB的平分線,1=2,復(fù)習(xí)提問,2、點(diǎn)到直線距離:,從直線外一點(diǎn),到這條直線的垂線段,的長度，,叫做點(diǎn)到直線的距離。,如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?,C,A,D,B,你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?,探究1：,E,角的平分線的作法,證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=C

2、A（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB （全等三角形的對應(yīng)邊相等） AC平分DAB（角平分線的定義）,尺規(guī)作角的平分線,觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：,A,畫法：,以為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于，交于,分別以，為圓心大于 1/2 的長為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于,作射線,射線即為所求,老師提示: 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.,A,為什么OC是角平分線呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求證：OC平分AOB。,證明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB,練習(xí)

3、1：平分平角AOB。 歸納：“過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線”的方法。,作已知角的平分線,將 AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?,可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個距離相等.,折一折,探究2,角平分線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等,題設(shè)：一個點(diǎn)在一個角的平分線上,結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等,已知：OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分別是D、E. 求證：PD=PE.,C

4、,證明幾何命題的一般步驟： 1、明確命題的已知和求證 2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證； 3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。,已知：如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E。,求證：PD=PE,證明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定義）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,OC是AOB的平分線, AOC= BOC,角平分線的性質(zhì),定理：角的平分線上

5、的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,用符號語言表示為：,A,O,B,P,1,2,OP 是AOB的平分線 PDOA，PEOB PD=PE (角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。,角平分線的性質(zhì),角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,定理應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等。, 如圖，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）,判斷：,練習(xí)1, 如圖， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DC

6、AC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。,不必再證全等,例1:如圖，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，若BC8,BD5，則點(diǎn)D到AB的距離為？,例題講解,E,在OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D. 求證：AC=BD.,例題講解,如圖，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF； 求證：CF=EB,鞏固提高,3、如圖，ABC中，C=90，AC=CB，AD為BAC的平分線，DEAB于點(diǎn)E。 求證：DBE的周長等于AB。,A,B,C,D,E,練習(xí),，,1 . 如圖，DEAB，DFBC，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB=