1、1,主 要 內(nèi) 容,第一章 函數(shù)與極限,1、 函數(shù) 2、初等函數(shù) 3、數(shù)列的極限 4、函數(shù)的極限 5、無(wú)窮大與無(wú)窮小 6、極限運(yùn)算法則 7、極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限 8、無(wú)窮小的比較 9、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 10、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),2,第一章 函數(shù)與極限,1、理解一元函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義； 2、了解函數(shù)的表示和函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性； 3、熟悉基本初等函數(shù)與初等函數(shù)（包含其定義區(qū)間、簡(jiǎn)單性態(tài)和圖形）； 4、理解數(shù)列極限的概念（對(duì) 定義不作過(guò)高要求）； 5、 熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)有界性、唯一性； 6、了解數(shù)列極限的存在

2、準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)則； 7、理解函數(shù)的極限的定義（包括當(dāng) 和 時(shí)，函數(shù)極限的定義及左、右極限的定義）; 8、了解函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性、保號(hào)性、局部有界性； 9、熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則（包括數(shù)列極限與函數(shù)極限）,基 本 要 求,3,10、掌握兩個(gè)重要極限： 11、熟悉無(wú)窮小量的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、無(wú)窮小量的比較； 12、了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系； 13、函數(shù)極限與無(wú)窮小量的關(guān)系； 14、理解函數(shù)的連續(xù)性的概念、了解函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類(lèi)； 15、熟悉連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 16、了解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。,基 本 要 求（續(xù)）,4,

3、一、基本概念,1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.,組成集合的事物稱(chēng)為該集合的元素.,有限集,個(gè)體,總體,第一節(jié) 函數(shù),5,數(shù)集分類(lèi):,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實(shí)數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,例如,不含任何元素的集合稱(chēng)為空集.,例如,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,6,2.區(qū)間:,是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為閉區(qū)間,符號(hào) 表示“對(duì)每(任）一個(gè)”。,7,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,有限區(qū)間,無(wú)限區(qū)間,區(qū)間長(zhǎng)度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度.,8,3.鄰域:,9,4.常量與變量:,在某過(guò)程中始終保持一個(gè)數(shù)值的量

4、稱(chēng)為常量,注意,常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而不斷改變數(shù)值的量稱(chēng)為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,10,5.絕對(duì)值:,運(yùn)算性質(zhì):,絕對(duì)值不等式:,11,二、函數(shù)概念,例 圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng),12,郵件的費(fèi)用依賴與郵件的重量，郵局公布的費(fèi)用表可根據(jù) 郵件的重量W確定郵件的費(fèi)用C。,自動(dòng)紀(jì)錄儀畫(huà)出了一天中氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖，由圖形 可以找出在一天中的某個(gè)時(shí)刻t的溫度值T。,真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時(shí)間t的關(guān)系為： ，設(shè)這一運(yùn)動(dòng)花費(fèi)T秒鐘，則t0,T。,13,因變量,自變量,數(shù)集X叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,1

5、4,自變量,因變量,對(duì)應(yīng)法則f,函數(shù)的兩要素:,定義域與對(duì)應(yīng)法則.,約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.,15,定義:,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫多值函數(shù),16,例1 求 y =arcsin 的定義域和值域。,解：,函數(shù)的定義域?yàn)?,得定義域?yàn)?x 0 且,解：,17,例3 設(shè) f(x) 的定義域0，1，求 (1) f (x+a)+f(x-a) (a0) 的定義域； (2) f (lnx)的定義域。,解: (1),則: 若 a 1/2 ，定義域?yàn)榭占?,若 a 1/2 ，定義域?yàn)?a, 1-a;,(2) 0ln

6、 x1 , 1xe為定義域。,x應(yīng)取在ax1-a, 而a 1-a,18,例4 判斷下列幾對(duì)函數(shù)是否相等.,(1)f(x)=2lnx, (x)=lnx2 ;,(2)f(x)=x, (x)=|x|;,(3)f(x)=sin2x+cos2x, (x)=1.,解：f(x)的定義域?yàn)?，(x)的定義域?yàn)?所以它們不相等。,解： f(x)與(x)的對(duì)應(yīng)規(guī)律不同 ，所以是不同的函數(shù)。,解：f(x)與(x)的對(duì)應(yīng)規(guī)律相同 ，定義域也相同， 所以 f(x)=(x)。,19,(1) 符號(hào)函數(shù),幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例,20,(2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過(guò) 的最大整數(shù),階梯曲線,21,(3) 狄利克雷函數(shù),22,

7、(4) 取最值函數(shù),23,24,例1,脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U與時(shí)間 函數(shù)關(guān)系式.,解,單三角脈沖信號(hào)的電壓,25,26,例2,解,故,27,o,1函數(shù)的有界性:,例 y=sin2x, y=cosx在（-,+)上均為有界函數(shù), y=x, y=x2在(-,+)上無(wú)界.,三、函數(shù)的特性,28,2函數(shù)的單調(diào)性:,例：y=x, y=ex 在（-,+)內(nèi)單調(diào)增加。,29,3函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),30,奇函數(shù),31,例1 判斷函數(shù) 的奇偶性.,解：, f(x)是奇函數(shù).,例2 設(shè)f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。,證明：設(shè),顯然 g(x)

8、是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而,故命題得證.,32,4函數(shù)的周期性:,（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,在(無(wú)窮)多個(gè)正周期中若存在一個(gè)最小數(shù)，此最小數(shù)稱(chēng)為最小正周期。,33,一個(gè)周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期， 如y=sin x，2,4均為周期。,一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù) 都存在最小正周期. 如: f(x) = c,例 設(shè) c0 , x(-, +), f(x+c)=-f(x), 證明f(x)為周期函數(shù)。,證明: f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x) f(x)為周期為2c的函數(shù).,事實(shí)上, 對(duì)任何y(-, +)都有f(x+y)=f(x).,注意,34,四、反函數(shù),習(xí)慣上, 反函數(shù) x= (y)寫(xiě)成 y = (x) = f 1(x).,定義1 設(shè)有函數(shù)y=f(x)(xX)，其值域Y=f(X).若對(duì)于Y中每一個(gè)y值, 都可由方程f(x)=y確定唯一的x值: x=(y), 稱(chēng)為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y), 讀“f逆” 。,35,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng).,36,例1,例2 證明若函數(shù) y = f (x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù) x = f 1(y), 則反函數(shù)也是奇函數(shù)。,證明：,的反函數(shù)是,反函數(shù)是奇函數(shù)。,例3,解: 當(dāng)x0時(shí),y1,當(dāng)x0時(shí),y1,x=y-1,37,定理： 設(shè)有函數(shù)y