1、第20章,第一節(jié)、第一型曲線(xiàn)積分,第二節(jié)、第二型曲線(xiàn)積分,曲線(xiàn)積分,第20章,第2節(jié),一、 第二型曲線(xiàn)積分的定義,二、第二型曲線(xiàn)積分的計(jì)算,第二型曲線(xiàn)積分,第20章,三、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系,一、 第二型曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì),1. 引例: 變力沿曲線(xiàn)所作的功.,設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用,在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線(xiàn)弧 L,“分割”,“近似代替”,“求和”,“取極限”,常力沿直線(xiàn)所作的功,解決辦法:,求移動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.,移動(dòng)到點(diǎn) B,1) 分割-“大化小”.,2) 近似代替-“常代變”,把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段,近似代替,則有,所做的功為,則,用有向線(xiàn)段,3) 求和

2、-近似和.,4) 取極限,其中,2. 定義.,設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑,弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線(xiàn)弧 L 上,第二型曲線(xiàn)積分,則稱(chēng)此極限為函數(shù),或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線(xiàn)積分.,其中,L 稱(chēng)為積分弧段 或 積分曲線(xiàn) .,稱(chēng)為被積函數(shù) ,在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù),極限,稱(chēng)為對(duì) x 的曲線(xiàn)積分;,稱(chēng)為對(duì) y 的曲線(xiàn)積分.,若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分也可寫(xiě)作,如果L是空間可求長(zhǎng)曲線(xiàn)段,P (x,y,z), Q (x,y,z),注：,如果 L 是閉曲線(xiàn) ,則記為,1).,2).,可定義空間曲線(xiàn)上的,或,R (x,y,z) 是定義在 L 上的函數(shù)，

3、,第二型曲線(xiàn)積分，,3). 存在條件：,3. 性質(zhì),1) 若 L 可分成 k 條首尾相接的有向光滑曲線(xiàn)弧,2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則,且,存在,則,3),二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參數(shù)方程為,則曲線(xiàn)積分,連續(xù),證明: 下面先證,存在, 且有,對(duì)應(yīng)參數(shù),設(shè)分點(diǎn),根據(jù)定義,由于,對(duì)應(yīng)參數(shù),因?yàn)長(zhǎng) 為光滑弧 ,同理可證,1. 如果 L 的方程為,則,2. 空間光滑曲線(xiàn)弧 :,推論：,例1. 計(jì)算,其中L 為沿拋物線(xiàn),解法1 取 x 為參數(shù), 則,解法2 取 y 為參數(shù), 則,從點(diǎn),的一段.,例2. 計(jì)算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓

4、心在原點(diǎn)的,上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?,(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2) 取 L 的方程為,則,則,例3. 計(jì)算,其中L為,(1) 拋物線(xiàn),(2) 拋物線(xiàn),(3) 有向折線(xiàn),解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例4. 已知,為折線(xiàn) ABCOA(如圖), 計(jì)算,解:,例5. 求,其中,從 z 軸正向看為順時(shí)針?lè)较?,解: 取 的參數(shù)方程,例6. 設(shè)在力場(chǎng),作用下, 質(zhì)點(diǎn)由,沿移動(dòng)到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.,其中為,三、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系,設(shè)有向光滑弧 L

5、以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為,已知L切向量的方向余弦為,則兩類(lèi)曲線(xiàn)積分有如下聯(lián)系,類(lèi)似地, 在空間曲線(xiàn) 上的兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系是,令,例7.,解：,例8.,將積分,化為對(duì)弧長(zhǎng)的積,分,解：,其中L 沿上半圓周,L 的方程為,切向量為,（注意方向）,二者夾角為 ,例9. 設(shè),曲線(xiàn)段 L 的長(zhǎng)度為s, 證明,續(xù),證:,設(shè),說(shuō)明: 上述證法可推廣到三維的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分.,在L上連,1. 定義,2. 性質(zhì),(1) L可分成 k 條有向光滑曲線(xiàn)弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結(jié),3. 計(jì)算, 對(duì)有向光滑弧, 對(duì)有向光滑弧,4. 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系, 對(duì)空間有向光滑弧 :,作業(yè),P208 1 (1), (3), (5); 3 ; 4 ;,原點(diǎn) O 的距離成正比,備用題,1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在,處受,恒指向原點(diǎn),沿橢圓,此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn),沿逆時(shí)針移動(dòng)到,提示:,2.,解:,3.,解:,到,原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比.,沿直線(xiàn)移動(dòng),向坐標(biāo),4. 設(shè)曲