1、,第 一 章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),學(xué)習(xí)目標(biāo),1.掌握力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、角動(dòng)量等概念； 并且熟練掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律、角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用。 2.熟悉剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述。 3.了解進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的原因。,本章主要研究剛體（rigid body）這一理想模型的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。這一部分內(nèi)容是以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)的。 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的有關(guān)知識(shí)的簡要回顧，請(qǐng)先參考本章最后的附錄。 更為詳細(xì)的內(nèi)容請(qǐng)參考有關(guān)教科書。,第 一 章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體(rigid body)： 在運(yùn)動(dòng)過程中形狀和大小都不變的物體。,研究剛體的運(yùn)動(dòng)，可以將剛體看成在運(yùn)動(dòng)過程中，任意兩質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置保持不變的

2、質(zhì)點(diǎn)系。,剛體的平動(dòng)(translation)： 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。 這樣的運(yùn)動(dòng)可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來處理。,轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) .,一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述,轉(zhuǎn)動(dòng)(rotation)： 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。,定軸(fixed-axis)轉(zhuǎn)動(dòng)： 轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),O,x,P,角坐標(biāo)：，單位是弧度，rad,角位移：,用角量來描寫轉(zhuǎn)動(dòng)： 定軸處O點(diǎn)與剛體上任一點(diǎn) P 之間的位置矢量 處于

3、 處，經(jīng)過t時(shí)間后，該矢徑轉(zhuǎn)過 角度：,z,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角速度(Angular Velocity),角速度的大?。?角速度 的方向： 由右手螺旋法則確定。右手彎曲的四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，伸直的大拇指即為角速度的方向。,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角加速度(Angular Acceleration),若 ， 沿 Z 軸正方向,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),二、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)基本公式,剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程相似，其角位移、角速度和角加速度之間有下列關(guān)系：,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng),1. 角速度與線速度的關(guān)系,三、角量和線量的關(guān)系,2.角加速度與線加速度的關(guān)系,

4、第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)具有什么特點(diǎn)？ 2.掛鐘表針的角速度方向指向墻里還是墻外？,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),一飛輪作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，3s內(nèi)轉(zhuǎn)過234rad，角速度在3s末達(dá)到108rad/s。求角加速度和初角速度。,由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：,消去0，并代入數(shù)值，可得角加速度：,進(jìn)而可求得初角速度：,第一節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),要改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，不僅要有力，而且與力的大小、方向和作用點(diǎn)都有關(guān)。,力矩(moment of force)定義,力矩是矢量：,單位：Nm,一、力 矩,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,注意力矩的方向！,如果力F 的方向不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可以沿平行和垂直定軸兩個(gè)方向分解。平行

5、于軸的力部產(chǎn)生力矩。,力矩方向沿定軸，可用正、負(fù)表示方向。,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,一對(duì)相互作用力對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的力距之和為零。幾個(gè)力同時(shí)作用在剛體上，它們的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代數(shù)和。,O,二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接,把剛體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)其上P處的第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)mi，分析其受力：,應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，進(jìn)行化簡：,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,2）剛體,對(duì)上式兩邊操作 后，再對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到 ，可以得到：,其中I 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(moment of inertia) ：,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的

6、合外力矩成正比 ，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比 .,通常剛體均為連續(xù)體，則：,I 的單位：kgm2。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量分布有關(guān)。,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可相加性。,三、轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,竿子長些還是短些較安全？,飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？,求質(zhì)量為m、長為l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面（1）、（2）和（3）所給定的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 （1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直； （2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂直； （3）轉(zhuǎn)軸通過棒上離中心為d的一點(diǎn)并與棒垂直。,o,x,z,（1）在x處取dm ， dm長為dx 。,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端

7、并與棒垂直，此時(shí)（1）中的坐標(biāo)原點(diǎn)取在棒端，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只改變積分上下限，得,(3) 轉(zhuǎn)軸通過棒上離中心為d 的一點(diǎn)并與棒垂直取轉(zhuǎn)軸與棒的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O。這時(shí)的積分上下限變化了：,平行軸定理（parallel axis theorem）：,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,一質(zhì)量為 m ，半徑為 R 的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,o,R,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,右側(cè)列出了一些剛體模型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,質(zhì)量 m = 16 kg 、半徑為 R = 0.15 m 的實(shí)心滑輪,一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛一質(zhì)量為 m 的物體。求（1）由靜止開始 1 秒鐘后，物體下降的距

8、離。（2）繩子的張力。,注意到本題中的滑輪是有質(zhì)量的，是典型的剛體模型，在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 處理剛體問題也是需要先作受力分析。然后對(duì)系統(tǒng)中的剛體和質(zhì)點(diǎn)分別列出方程。,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,1.在討論剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律時(shí)是否考慮內(nèi)力的力矩？ 2.如果一個(gè)剛體所受的合外力為零，其合外力矩也一定為零？如果一個(gè)剛體所受的合外力矩為零，其合外力也一定為零？ 3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布有關(guān)系嗎？ 4.你做什么姿勢(shì)和對(duì)什么樣的軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最??？,第二節(jié) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,一、力矩的功,功率為：,第三節(jié) 力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,剛體中任一質(zhì)元 mi 動(dòng)能：,因此，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：,二、轉(zhuǎn)動(dòng)

9、動(dòng)能,第三節(jié) 力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。,對(duì)于剛體，同樣要考慮保守力、勢(shì)能、機(jī)械能等。,三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能定理,第三節(jié) 力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,一質(zhì)量為 M 、半徑 R 的實(shí)心滑輪, ，一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛有質(zhì)量為 m 的物體。問物體由靜止下落高度 h 時(shí)，其速度為多大？,本題中繩子中的拉力對(duì)剛體做正功，對(duì)下落的重物作負(fù)功。,第三節(jié) 力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,解得：,也可以從物體的重力勢(shì)能減少量轉(zhuǎn)化為剛體和重物的動(dòng)能角度來考慮：,第三節(jié) 力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,1.為什么剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化只是與外力矩有關(guān)而與

10、內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？,第三節(jié) 力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,角動(dòng)量(angular momentum)是用來描述物體繞某定點(diǎn)（軸）旋轉(zhuǎn)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量。,質(zhì)點(diǎn)對(duì)o 點(diǎn)的角動(dòng)量：,角動(dòng)量是矢量：,一、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和剛體的角動(dòng)量,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,角動(dòng)量的方向、單位,角動(dòng)量單位：kgm2/s,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量,對(duì)剛體中質(zhì)元mi 的角動(dòng)量：,因此整個(gè)剛體的角動(dòng)量：,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一形式：,轉(zhuǎn)動(dòng)定律 簡單形變：,作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。適用范圍更廣！,二、 角動(dòng)量定理,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定

11、律,Mdt =dL,沖量矩、角動(dòng)量定理,角動(dòng)量定理： 合外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)角動(dòng)量的增量。,是力矩在t1 到t2時(shí)間內(nèi)的沖量矩。,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,若系統(tǒng)合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。 自然界重要的普遍規(guī)律,三、 角動(dòng)量守恒定律,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,一長為 l ，質(zhì)量為 M 的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為 m ，速度為 v 的子彈射入距支點(diǎn)為 a 的棒內(nèi)，若棒偏轉(zhuǎn)角為 30,問子彈的初速度為多少?,角動(dòng)量守恒（過程1）,機(jī)械能守恒（過程2）,由此即可求得子彈的初速度v.,教材例題1-6 也是應(yīng)用角動(dòng)量守恒的例子。,第四節(jié) 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,例 一人坐在可

12、以自由旋轉(zhuǎn)的平臺(tái)上的軸線處，雙手各執(zhí)一啞鈴。設(shè)啞鈴的質(zhì)量m=2.0kg，兩鈴相距2l1=150cm時(shí)，平臺(tái)角速度1=2 rad/s。當(dāng)將兩鈴間距離減為2l2=80cm時(shí)，平臺(tái)角速度增為2=3 rad/s。設(shè)人與平臺(tái)對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，求人所做的功。,解：對(duì)人、啞鈴和平臺(tái)系統(tǒng)，在啞鈴距離減小的過程中，合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒,設(shè)人與平臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，,在啞鈴間距減小的過程中，人所做的功就等于系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，,例4 蕩秋千原理分析（證明）,分析：如圖示，用m表示人的質(zhì)心，一次完整的擺動(dòng)由以下過程組成。,12：在擺角為時(shí)，人迅速蹲下，使有效擺長Om由l 變?yōu)?l 。,(1),(2

13、),需要指出的是，人作為一個(gè)系統(tǒng)，在站立的過程中，非保守內(nèi)力作功了，這樣才得以使人擺動(dòng)的動(dòng)能增加。,45：上擺到人靜止。對(duì)（人+地球）系統(tǒng)，只有重力作功，機(jī)械能守恒。,(3),（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得：,1.當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大時(shí)，作用在它上面的力和力矩是否一定很大？ 2.如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量等于零，能否說明系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都是靜止的？如果一質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量為一常量，能否說作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合外力為零？ 3.假設(shè)人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球中心作橢圓運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中，衛(wèi)星對(duì)地球中心的角動(dòng)量是否守恒？機(jī)械能是否守恒？ 4.質(zhì)點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)或勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量如何計(jì)算？角動(dòng)量守恒嗎？,第四節(jié)

14、 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,1、進(jìn)動(dòng)(precession)現(xiàn)象：,第五節(jié) 剛體的進(jìn)動(dòng),2、陀螺進(jìn)動(dòng)分析：方向,陀螺受合外力矩：,下一時(shí)刻的角動(dòng)量：,由此決定了陀螺的進(jìn)動(dòng)方向！,注意 的方向，并且 的方向要與之一致！,第五節(jié) 剛體的進(jìn)動(dòng),進(jìn)動(dòng)角速度,3、進(jìn)動(dòng)角速度分析,第五節(jié) 剛體的進(jìn)動(dòng),設(shè)右圖中的剛體回轉(zhuǎn)儀處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)將重物右移。則飛輪進(jìn)動(dòng)的方向如何？,4、杠桿回轉(zhuǎn)儀的例子,從正上方向下看，此時(shí)，合外力矩為逆時(shí)針，故作逆時(shí)針方向進(jìn)動(dòng)！,第五節(jié) 剛體的進(jìn)動(dòng),第 一 章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),第一章 附錄，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基本知識(shí)回顧,質(zhì)點(diǎn)模型、參考系、坐標(biāo)系、坐標(biāo) 等概念。,速度 、 加速度 等概念，

15、 注意這些量的矢量性。,力 的概念。 牛頓運(yùn)動(dòng)三定律是關(guān)于力及其作用的基本規(guī)律，構(gòu)成了一個(gè)完整的體系。有關(guān)物理量的單位制。 在應(yīng)用牛頓定律解決問題的時(shí)候，首先需要做好對(duì)物體的受力分析，然后在不同坐標(biāo)方向上建立牛頓第二定律的方程式，進(jìn)行解題。,物體做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，既有法向加速度（normal acceleration） ，還有切向加速度（tangential acceleration），大小分別為：,物體在力的作用下產(chǎn)生位移，則該力做功，功的定義是：,物體具有速度時(shí)，該物體的動(dòng)能為：,第一章 附錄，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基本知識(shí)回顧,合外力對(duì)物體（系）做功可以改變物體（系）的動(dòng)能，動(dòng)能定理表達(dá)式為：,有一類力做功的大小只與物體運(yùn)動(dòng)的起止位置有關(guān)，與物體所經(jīng)過的路徑無關(guān)。這類力稱為保守力（conservative force）。對(duì)保守力可以定義勢(shì)能。重力和彈性力都是保守力，在定義了勢(shì)能零點(diǎn)以后，它們的勢(shì)能表達(dá)式分別為：,第一章 附錄，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基本知識(shí)回顧,如果一個(gè)系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功，即外力和非保守內(nèi)力都不做功，那么系統(tǒng)的機(jī)械能（動(dòng)能與勢(shì)能之和） 守恒，這就是機(jī)械能守恒定律：,一個(gè)物體的質(zhì)量和其運(yùn)動(dòng)速度的乘積，就是動(dòng)量，動(dòng)量也是一個(gè)