1、,7 重積分的應(yīng)用,2,1 求半徑為R的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。,4,5,6,9,10 曲面面積,8,3,主 目 錄（1 17）,7,13,14,11,15 求位于圓r =2sin 和圓r =4sin 之間的均勻薄片的重心。,17,12,16,.,化為球系下的方程,r=2R cos,.,., =,1.求半徑為R的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積,R,M,r,Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4,。,。,2,直角坐標(biāo)系,。,4,Dxy,2.,上頂：,下底：,先選系：,2.,4,2,.,2.,4,2,2x+y=4,.,2.,4,4,2,2

2、x+y=4,.,2.,y =0,4,4,2,2x+y=4,.,D,V =,.,.,.,Dxy:,a,柱面坐標(biāo)系,r =a cos,。,所圍立體是曲頂柱體,Dxy,先選系：,3.,上頂：,下底：,Dxy:,。,。,a,r =a cos,。,所圍立體是曲頂柱體,D,用瓦里斯公式,怎么計(jì)算？,.,3.,柱面坐標(biāo)系,先選系：,由對(duì)稱性，考慮上半部分,.,3.,a,由對(duì)稱性，考慮上半部分,.,3.,a,。,V,。,。,。,維望尼曲線,。,。,由對(duì)稱性，考慮上半部分,D,1,.,3.,a,a,4.,a,a,a,a,D,.,.,.,.,.,.,.,4.,5.,a,.,5.,a,故立體關(guān)于x軸對(duì)稱,.,.,.

3、,.,D,.,5.,a,因Dxy關(guān)于x軸對(duì)稱,且 z(x,y)= z(x,y),2a,2a,a,.,L,聯(lián)立,柱面坐標(biāo),用哪種坐標(biāo)？,6.,6.,2a,a,.,L,聯(lián)立,D,.,.,.,柱面坐標(biāo)。,用哪種坐標(biāo)？,.,立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱.,解,7.,直角坐標(biāo)系.,上頂：,下底：,選系：,Dxy:,.,z = 0,.,故求第一卦限部分乘2.,1,1,Dxy,y =1,.,.,1,立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱.,解,作上半塊立體圖 1 .,.,7.,1,解,7.,.,立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱.,作上半塊立體圖 1 .,1,y =1,1,.,.,.,.,解,7.,.,立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱.,作上半塊立體

4、圖 1 .,8.,.,8.,。,D,D,。,。,V,用廣義極坐標(biāo),。,D: r 1, z = 0,。,?,.,8.,。,a,b,9.,b,a,問(wèn)題：,2 用哪種坐標(biāo)系？,1 是不是曲頂柱體？,3 交線 L的方程？,交線 L,.,.,.,柱系.,.,V =,上頂：,下底：,4 Dxy ?,Dxy,.,.,.,(球系？,需分塊兒!),9.,引理,A,.,一般情況，將A分割成 若干個(gè)上述類型的小矩形， 對(duì)每一個(gè)用引理， 然后迭加 再取極限即可。,當(dāng)A是矩形,l,證,且一邊與l平行,則 也是矩形, 且,b,引理成立.,.,a,注：這里 即 兩平面法矢量的夾角.,證畢.,10. 曲面的面積,.,10.

5、曲面的面積,z = f (x,y),D,(xi , yi),Pi,.,10. 曲面的面積,z = f (x,y),D,.,(xi , yi),i, Ai,（由引理）,Pi,.,.,ni,11.,1,1,1,.,11.,1,1,D,S,.,.,.,.,.,.,.,11.,a,a,設(shè)圓柱面為,12.,考慮第一卦限,12.,D,a,a,.,.,a,a,D,.,.,.,.,.,設(shè)圓柱面為,.,13.,a,13.,D,S =,共同的 D :,.,.,.,2,x,z,y,14.,o,14.,2,問(wèn)題： 曲面向哪個(gè)坐標(biāo)面投影？,.,o,只能向xoz平面投影,2,得 z = 2,.,Dxz,.,.,14.,o,其中，,2,Dxz,.,.,.,.,得 z = 2,.,14.,o,.,其中，,.,1,2,15. 求位于圓 r = 2sin 和圓 r = 4sin 之間的均勻薄片的重心.,球面坐標(biāo),a,.,.,