1、“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),復(fù)習(xí)提問(wèn),1.二項(xiàng)式定理的內(nèi)容,右邊多項(xiàng)式叫(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式；,2.二項(xiàng)式系數(shù):,3.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=,(b+a)n，(a-b)n的通項(xiàng)則分別為:,4.在定理中，令a=1，b=x，則,新課引入,觀察：結(jié)合上表，你能從圖中感受、發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律呢？,探究,a).表中每行兩端都是1。,b).除1外的每一個(gè)數(shù)都等 于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。,4+6=10,總結(jié)提煉1:,對(duì)稱(chēng),總結(jié)提煉2:,與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,詳解九章算法記載的表,楊輝 三角,楊輝,以上二項(xiàng)式系數(shù)表,早在我 國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這

2、個(gè)表稱(chēng)為楊輝三角，楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它。這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。,當(dāng)n為偶數(shù)如2、4、6時(shí)，中間一項(xiàng)最大,當(dāng)n為奇數(shù)如1、3、5時(shí)，中間兩項(xiàng)最大,知識(shí)探究3:,增減性的實(shí)質(zhì)是比較 的大小.,所以 相對(duì)于 的增減情況由 決定,可知，當(dāng) 時(shí)，,二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。,最大項(xiàng)與增減性,可以看成以r為自變量的函數(shù)f（r），其定義域是0,1,n。,函數(shù)角度：,知識(shí)探究3:,當(dāng)n=6時(shí)，二項(xiàng)

3、式系數(shù) （0r6）用圖象表示：,圖象法解釋,關(guān)于r=n/2對(duì)稱(chēng),r=4時(shí)取得最大值,f（r）,n為奇數(shù)； 如n=7,n為偶數(shù)； 如n=6,關(guān)于r=n/2對(duì)稱(chēng),r=3和r=4時(shí)取得最大值,圖象法解釋,n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 取得最大值；,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 和 相等，且同時(shí)取得最大值。,總結(jié)提煉3:,知識(shí)探究4:,二項(xiàng)式系數(shù)求和：,啟示：在二項(xiàng)式定理中a,b可以取任意數(shù)或代數(shù)式，因此我們可以通過(guò)對(duì)a,b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題的一種重要方法賦值法。,令a=b=1，則,在（a+b）nCn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ + Cnran-rbr+ +Cnnbn,證明

4、:,進(jìn)一步思考: （2）試證明在(a+b)n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.,即證：,證明：在展開(kāi)式 中 令a=1，b=1得,賦值法,在二項(xiàng)式定理中，常對(duì)a,b賦予一些特定的值1，-1等來(lái)得到所求結(jié)果，通過(guò)這樣賦值，可以得到很有用的結(jié)果。,賦值法的應(yīng)用,課堂精練,例2,所以：,1.研究斜行規(guī)律：,第一條斜線上：,第二條斜線上：,第三條斜線上：,第四條斜線上：,猜想：在楊輝三角中，第m條斜線（從右上到左下）上前n個(gè)數(shù)字的和，等于,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,第m+1條斜線上的第n個(gè)數(shù).,111 1

5、 （第1條斜線 ）,1410 （第4條斜線 ）,136 （第3條斜線 ）,123 （第2條斜線 ）,(nr),1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,2.如圖，寫(xiě)出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和;,這就是著名的斐波那契數(shù)列 。,謝謝,小結(jié)：求奇次項(xiàng)系數(shù)之和與偶次項(xiàng)系數(shù)的和 可以先賦值，然后解方程