1、第4講數(shù)列求和,【2014年高考會(huì)這樣考】 以數(shù)列為載體，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧,考點(diǎn)梳理,(1)公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：,1公式法與分組求和法,(2)分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減 (1)倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的,2倒序相加法與并項(xiàng)求和法,(2)并項(xiàng)求和法 在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為

2、并項(xiàng)求和 形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解 例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050. 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和,3裂項(xiàng)相消法,如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的,4錯(cuò)位相減法,一種思路 一般數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和

3、兩點(diǎn)提醒 在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意： (1)在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差； (2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng),A9 B99 C10 D100,考點(diǎn)自測(cè),答案B,A110 B90 C90 D110,2(2011天津)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為 (),答案D,A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn2,3(2013吉安月考)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1， 則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 (),答案C,答案A,【例1】(2011山東)在

4、等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表中的同一列.,考向一分組轉(zhuǎn)化求和,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 審題視點(diǎn) (1)觀察法；(2)合理分組利用求和公式求解，同時(shí)注意對(duì)n的奇偶性討論 解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意； 當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意； 當(dāng)a110時(shí)，不合題意 因此a12，a26，a318，所以公比q3， 故an23n1.,(2)因?yàn)閎nan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1) 23n1(1)nln

5、2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， 所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3. 所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化，特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論,解若a1，則an111n，,【訓(xùn)練1】 求數(shù)列1,1a,1aa2，1aa2an1的前n項(xiàng)和Sn.,【例2】,考向二裂項(xiàng)相消法求和,使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被

6、消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,(1)確定常數(shù)k，并求an；,考向三錯(cuò)位相減法求和,(1)一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解 (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,【訓(xùn)練3】 已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.,【命題研究】 通過(guò)近三年的高考試題分析，對(duì)數(shù)列求和的考查是高考命題的重點(diǎn)，常與求數(shù)列的通項(xiàng)一起考查

7、，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度為中等偏上 【真題探究】 (本小題滿分13分)(2012湖北)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8. (1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和,規(guī)范解答10求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和問(wèn)題,教你審題 第1步 列方程組求a1，d； 第2步 令an0確定正、負(fù)項(xiàng)； 第3步 分類討論求和 規(guī)范解答 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d， 則a2a1d，a3a12d，,反思 求有關(guān)數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和的問(wèn)題，考生經(jīng)常出 現(xiàn)因解題思路不清晰導(dǎo)致出錯(cuò)，如： (1)未想到分類討論解題； (2)討論過(guò)程中，對(duì)ai0(ai0)分別求和時(shí)出錯(cuò),求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和一般步驟如下： 第一步：求數(shù)列an的前n項(xiàng)和； 第二步：令an0(或an0)確定分類標(biāo)準(zhǔn)； 第三步：分兩類分別求前n項(xiàng)和； 第四步：用分段函數(shù)形式下結(jié)論； 第五步：反思回顧：查看|an|的前n項(xiàng)和與an的 前n項(xiàng)和的關(guān)系，