1、5.3空間向量與立體幾何,高考命題規(guī)律 1.每年必考考題,主要考查空間位置關(guān)系的證明和空間角的求解. 2.解答題,12分,中檔難度. 3.全國(guó)高考有4種命題角度,分布如下表.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,空間位置關(guān)系證明與線面角求解 1.(2018全國(guó)18)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF. (1)證明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 由已知可得,BFPF,BFEF, 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD

2、, 所以平面PEF平面ABFD.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)解 作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,2.(2018全國(guó)20)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC= , PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn). (1)證明 :PO平面ABC; (2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,3.(2016全國(guó)19)如

3、圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn). (1)證明MN平面PAB; (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,4.(2015全國(guó)18)如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE平面ABCD,DF平面ABCD, BE=2DF,AEEC. (1)證明:平面AEC平面AFC; (2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)

4、方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 連接BD,設(shè)BDAC=G,連接EG,FG,EF.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,1.(2018山東濰坊二模)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中, AA1=A1D,AB=BC,ABC=120. (1)證明:ADA1B; (2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A1D=AB,求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 取AD中點(diǎn)O,連接OB,OA1,BD, AA1=A1D, ADOA1. 又ABC=120,AD=AB, ABD是等邊三角形, A

5、DOB, AD平面A1OB. A1B平面A1OB, ADA1B.,(2)解 平面ADD1A1平面ABCD, 平面ADD1A1平面ABCD=AD, 又A1OAD,A1O平面ABCD,OA,OA1,OB兩兩垂直, 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OA1所在射線為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,2.(2018遼寧撫順一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD為梯形,ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E為PC的中點(diǎn). (1)證明:BE平面PAD; (2)求直線P

6、B與平面BDE所成角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 設(shè)F為PD的中點(diǎn),連接EF,FA.,(2)解 設(shè)G為AB的中點(diǎn),因?yàn)锳D=AB,BAD=60, 所以ABD為等邊三角形,故DGAB; 因?yàn)锳BCD,所以DGDC. 又PD平面ABCD,所以PD,DG,CD兩兩垂直.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,3.(2018福建福州3月質(zhì)檢)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC為正三角形,點(diǎn)D在棱BC上,且CD=3BD,點(diǎn)E,F分別為棱AB,BB1的中點(diǎn). (1)證明:A1C平面DEF; (2)若A1CEF,求直線A1C1

7、與平面DEF所成的角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 如圖,連接AB1,A1B,交于點(diǎn)H,A1B交EF于點(diǎn)K,連接DK, 因?yàn)锳BB1A1為矩形,所以H為線段A1B的中點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為棱AB,BB1的中點(diǎn),所以點(diǎn)K為線段BH的中點(diǎn),所以A1K=3BK, 又因?yàn)镃D=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF, 所以A1C平面DEF.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)解 由(1)知,EHAA1,因?yàn)锳A1平面ABC, 所以EH平面ABC,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,4.(2018

8、東北三省三校二模)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形,BAD=120,AB=2,E,F為CD,AA1的中點(diǎn). (1)求證:DF平面B1AE; (2)若AA1底面ABCD,且直線AD1與平面B1AE所成線面角的正弦值為 ,求AA1的長(zhǎng).,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 設(shè)G為AB1的中點(diǎn),連接EG,GF,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)解 因?yàn)锳BCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等邊三角形. 取BC中點(diǎn)M,則AMAD,因?yàn)锳A1平面ABCD,所以AA1AM, AA1AD,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,令A(yù)A1=t(t0),高考真題體

9、驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,5.(2018湖南長(zhǎng)沙一模,18)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為梯形,ADE,BCF均為等邊三角形,EFAB,EF=AD= AB. (1)過(guò)BD作截面與線段FC交于點(diǎn)N,使得AF平面BDN,試確定點(diǎn)N的位置,并予以證明; (2)在(1)的條件下,求直線BN與平面ABF所成角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,解 (1)當(dāng)N為線段FC的中點(diǎn)時(shí),使得AF平面BDN. 證法如下: 連接AC,BD,設(shè)ACBD=O, 四邊形ABCD為矩形, O為AC的中點(diǎn),又N為FC的中點(diǎn), ON為ACF的中位線, AFON.AF平面BDN,ON平面BDN,

10、 AF平面BDN,故N為FC的中點(diǎn)時(shí),使得AF平面BDN.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)過(guò)點(diǎn)O作PQAB分別與AD,BC交于點(diǎn)P,Q,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn), 所以P,Q分別為AD,BC的中點(diǎn), ADE與BCF均為等邊三角形,且AD=BC, ADEBCF,連接EP,FQ,則得EP=FQ,四邊形EPQF為等腰梯形. 取EF的中點(diǎn)M,連接MO,則MOPQ, 又ADEP,ADPQ,EPPQ=P, AD平面EPQF, 過(guò)點(diǎn)O作OGAB于點(diǎn)G,則OGAD, OGOM,OGOQ.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,空間位置關(guān)系證明與二面角求解 1

11、.(2018全國(guó)19)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧 所在平面垂直,M是 上異于C,D的點(diǎn). (1)證明:平面AMD平面BMC; (2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí),求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,2.(2017全國(guó)18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)證明 平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值. (1)證明 由已知BAP=CDP=90,得ABAP

12、,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)解 在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為F.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,4.(2017全國(guó)19)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角

13、三角形,ABD=CBD,AB=BD. (1)證明:平面ACD平面ABC; (2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 由題設(shè)可得,ABDCBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90. 取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO. 又由于ABC是正三角形,故BOAC. 所以DOB為二面角D-AC-B的平面角. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2, 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故DOB=90.所以平面AC

14、D平面ABC.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,5.(2016全國(guó)18)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60. (1)證明:平面ABEF平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A的余弦值. (1)證明 由已知可得AFDF,AFFE, 所以AF平面EFDC. 又AF平面ABEF, 故平面ABEF平面EFDC.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)解 過(guò)D作DGEF,垂足為G,由(1)知DG平

15、面ABEF.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明:平面CMN平面CEN; (2)若ACBC,求二面角M-CN-A1的余弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,2.(2018河北石家莊一模)四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形, ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD為正三角形.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,解 (1)因?yàn)锽C平面SDM,BC平面ABCD, 平面SDM平面ABCD=DM,所以BCDM. 因?yàn)锳BDC,所以四

16、邊形BCDM為平行四邊形, 又AB=2CD,所以M為AB的中點(diǎn).,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(2)因?yàn)锽CSD,BCCD,SDCD=D, 所以BC平面SCD, 又因?yàn)锽C平面ABCD,所以平面SCD平面ABCD, 平面SCD平面ABCD=CD, 在平面SCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作SE直線CD于點(diǎn)E, 則SE平面ABCD,在RtSEA和RtSED中,又由題知EDA=45,所以AEED, 所以AE=ED=SE=1,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,解 (1)在半圓柱中,BB1平面PA1B1,所以BB1PA1.因

17、為A1B1是上底面對(duì)應(yīng)圓的直徑,所以PA1PB1.因?yàn)镻B1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1. (2)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),以CA,CB為x,y軸,過(guò)點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.如圖所示,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,4.(2018江西南昌一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD, ABCD為直角梯形,ADBC,ADAB,AB=BC=AP= AD=3, ACBD=O,過(guò)O點(diǎn)作平面平行于平面PAB,平面與棱BC,AD,PD,PC分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.

18、(1)求GH的長(zhǎng)度; (2)求二面角B-FH-E的余弦值.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,解 (1)因?yàn)槠矫鍼AB,平面平面ABCD=EF,OEF,平面PAB平面ABCD=AB,所以EFAB,同理EHBP,FGAP, 因?yàn)锽CAD,AD=6,BC=3,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,5.(2018山東淄博二模,18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中, CA=CB=CC1=2,ACC1=CC1B1,直線AC與直線BB1所成的角為60. (1)求證:AB1CC1;,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,(1)證明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,各側(cè)面均為平行四邊形, 所以BB1CC1,則ACC1即為AC與BB1所成的角, 所以ACC1=CC1B1=60. 連接AC1和B1C, 因?yàn)镃A=CB=CC1=2, 所以AC1C和B1CC1均為等邊三角形. 取CC1的中點(diǎn)O,連AO和B1O, 則AOCC1,B1OCC1. 又AOB1O=O, 所以CC1平面AOB1.AB1平面AOB1, 所以AB1CC1.,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,高考真題體驗(yàn)對(duì)方向,新題演練提能刷高分,6.(2018湖北“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)考)如圖