1、第32練雙曲線的漸近線和離心率問題題型分析高考展望雙曲線作為三種圓錐曲線之一，也是高考熱點，其性質(zhì)是考查的重點，尤其是離心率與漸近線.考查形式除?？嫉慕獯痤}外，也會在選擇題、填空題中考查，一般為中等難度.熟練掌握兩種性質(zhì)的求法、用法是此類問題的解題之本.體驗高考1.(2015四川)過雙曲線x21的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|等于()A. B.2 C.6 D.4答案D解析設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x，yA)，(x，yB)，將xc2代入漸近線方程yx得到y(tǒng)A，yB，進而求|AB|.由題意知，雙曲線x21的漸近線方程為yx，將xc2代入得y2，即A，B兩點

2、的坐標分別為(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.2.(2016天津)已知雙曲線1(b0)，以原點為圓心，雙曲線的半實軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1答案D解析由題意知雙曲線的漸近線方程為yx，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.3.(2016浙江)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A.m

3、n且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21答案A解析由題意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.4.(2015上海)已知點P和Q橫坐標相同，P的縱坐標是Q的縱坐標的2倍，P和Q的軌跡分別為雙曲線C1和 C2，若C1的漸近線為yx，則C2的漸近線方程為_.答案yx解析設(shè)點P和Q的坐標為(x，y)，(x0，y0)，則有又因為C1的漸近線方程為yx，故設(shè)C1的方程為3x2y2，把點坐標代入，可得3x4y，令0x2y0，即為曲線C2的漸近線方程，則yx.5.(2015北京)已知雙曲線y21(a0)的一條漸近線為xy0，則a_

4、.答案解析直接求解雙曲線的漸近線并比較系數(shù).雙曲線y21的漸近線為y，已知一條漸近線為xy0，即yx，因為a0，所以，所以a.高考必會題型題型一雙曲線的漸近線問題例1(1)已知直線y1x與雙曲線ax2by21(a0，b0)的右焦點為F.點A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標原點).求雙曲線C的方程；過C上一點P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點M，與直線x相交于點N.證明：當點P在C上移動時，恒為定值，并求此定值.解設(shè)F(c，0)，因為b1，所以c，直線OB的方程為yx，直線BF的方程為y(xc)，解得B(，).又直線OA的方程為yx，

5、則A(c，)，kAB.又因為ABOB，所以()1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.由知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因為直線AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點為M(2，)；直線l與直線x的交點為N(，).則.因為P(x0，y0)是C上一點，則y1，代入上式得，即所求定值為.點評(1)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法.由yx00，所以可以把標準方程1(a0，b0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.(2)已知雙曲線漸近線方程：yx，可設(shè)雙曲線方程為(0)，求出即得雙曲線方程.變式訓(xùn)練1已知ab0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心

6、率之積為，則C2的漸近線方程為()A.xy0 B.xy0 C.x2y0 D.2xy0答案C解析由已知，得e1 ，e2 ，所以e1e2 ，解得，所以C2的漸近線方程為yxx，即x2y0，故選C.題型二雙曲線的離心率問題例2(1)點A是拋物線C1：y22px(p0)與雙曲線C2：1(a0，b0)的一條漸近線的交點，若點A到拋物線C1的準線的距離為p，則雙曲線C2的離心率等于()A. B. C. D.(2)(2016課標全國甲)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin F2，則E的離心率為()A. B. C. D.2答案(1)C(2)A解析(1)雙曲線的漸近線方

7、程為：yx，由題意可求得點A(，p)代入漸近線得2，()24，4，e25，e，故選C.(2)離心率e，由正弦定理得e.故選A.點評在研究雙曲線的性質(zhì)時，半實軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個關(guān)系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求e，并且需注意e1.同時注意雙曲線方程中x，y的范圍問題.變式訓(xùn)練2(2016上海)雙曲線x21(b0)的左、右焦點分別為F1、F2，直線l過F2且與雙曲線交于A、B兩點.(1)若l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)b，若l的斜率存

8、在，且()0，求l的斜率.解(1)由已知F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，取x，得yb2，|F1F2|F2A|，|F1F2|2，|F2A|b2，2b2，即3b44b24(3b22)(b22)0，b，漸近線方程為yx.(2)若b，則雙曲線方程為x21，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x12，y1)，(x22，y2)，(x2x1，y2y1)，(x1x24，y1y2)，()xx4(x2x1)yy0，(*)xx1，yy3(xx)，代入(*)式，可得4(xx)4(x2x1)0，直線l的斜率存在，故x1x2，x1x21.設(shè)直線l為yk(x2)，代入3x2y23，得(3k

9、2)x24k2x(4k23)0，3k20，且16k44(3k2)(4k23)36(k21)0，x1x21，k2，k，直線l的斜率為.題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題例3已知雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P，Q，若PAQ60，且3，則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.答案C解析如圖所示，設(shè)AOQ，tan cos ，sin ，|OH|acos ，|AH|asin ，又3，|OP|PH|HQ|，|AH|PH|2ba，e .故選C.點評解決此類問題：一是利用離心率公式，漸近線方程，斜率關(guān)系等列方程組.二是數(shù)形結(jié)合，由圖形中

10、的位置關(guān)系，確定相關(guān)參數(shù)的范圍.變式訓(xùn)練3已知雙曲線1(a0，b0)以及雙曲線1(a0，b0)的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1(a0，b0)的離心率為()A.2或 B.或 C.2或 D.或答案A解析由題意可知，雙曲線1(a0，b0)的漸近線的傾斜角為30或60，則k或，則e2或.高考題型精練1.(2015課標全國)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點.若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由雙曲線方程可求出F1，F(xiàn)2的坐標，再求出向量，然后利用向量的數(shù)量積公式求解.由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x

11、0，y0).0，(x0)(x0)y0，即x3y0.點M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2，若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.答案B解析由題意，得直線F1B1的方程是bxcybc0，因為圓與直線相切，所以點O到直線F1B1的距離等于半徑，即a，又b2c2a2，得c43a2c2a40，e43e210，e2，e，故選B.5.如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點，若M，O，N將橢圓的長軸四等分，則雙曲線與橢圓的

12、離心率的比值是()A.3 B.2 C. D.答案B解析設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為1(ab0)，1(m0，n0)，因為它們共焦點，所以它們的半焦距均為c，所以橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，由點M，O，N將橢圓長軸四等分可知mam，即2ma，所以2，故選B.6.若實數(shù)k滿足0k9，則曲線1與曲線1的()A.焦距相等 B.半實軸長相等C.半虛軸長相等 D.離心率相等答案A解析因為0k0，b0)的右焦點，O是雙曲線C的中心，直線yx是雙曲線C的一條漸近線，以線段OF為邊作正三角形AOF，若點A在雙曲線C上，則m_.答案32解析因為直線yx是雙曲線C的一條漸近線，所以m，又A在雙曲線C上，三

13、角形AOF是正三角形，所以A(c，c)，1，c2a2b2，化為1，m1，因為m0，可解得m32.8.設(shè)P為直線yx與雙曲線C：1(a0，b0)左支的交點，F(xiàn)1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e_.答案解析設(shè)P(x，x)，則由題意，知c|x|，因為PF1垂直于x軸，則由雙曲線的通徑公式知|x|，即c，所以b.又由a2c2b2，得a2c2，所以e.9.(2016山東)已知雙曲線E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_.答案2解析由已知得|AB|，|BC|2c，232c，又b2c2a2，整理得：2c23

14、ac2a20，兩邊同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2或e(舍去).10.已知A(1，2)，B(1，2)，動點P滿足，若雙曲線1(a0，b0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1，2)解析根據(jù)條件，可得P點的軌跡方程x2(y2)21，求出雙曲線的漸近線方程yx，運用圓心到直線的距離大于半徑，得到3a2b2，再由b2c2a2，得出離心率e1，所以1e0，b0)的左，右焦點，點F1關(guān)于漸近線的對稱點恰好在以F2為圓心，|OF2|(O為坐標原點)為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為_.答案2解析設(shè)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)一條漸近線方程為yx，則F1到漸近線的距離為b，設(shè)F1關(guān)于漸近線的對稱點為M，F(xiàn)1M與漸近線交于點A，所以|MF1|2b，A為F1M的中點，又O是F1F2的中點，所以O(shè)AF2M，F(xiàn)1MF2是直角，由勾股定理得：4c2c24b2，化簡得e2.12.已知雙曲線C1：x21.(1)求與雙曲線C1有相同焦點