1、第3章周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示,本章在討論復(fù)指數(shù)信號(hào)作為L(zhǎng)TI系統(tǒng)特征函數(shù)的基礎(chǔ)上，引出了時(shí)域周期信號(hào)可以看作復(fù)指數(shù)諧波信號(hào)的線性組合，即周期信號(hào)的頻域分析傅立葉級(jí)數(shù)，給出了周期信號(hào)的頻譜圖表示方法，它與周期信號(hào)的時(shí)域波形表示是一一對(duì)應(yīng)的。周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示是后續(xù)展開(kāi)對(duì)非周期信號(hào)頻域分析的基礎(chǔ)。,本章內(nèi)容： LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值； 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示； 周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜； 傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)； LTI系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)。,3.1 歷史回顧 1822年,法國(guó)科學(xué)家傅立葉在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了”熱的分析理論”,提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理,奠定了傅立葉級(jí)

2、數(shù)的理論基礎(chǔ). 泊松，高斯等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用 進(jìn)入世紀(jì)以后，諧振電路，濾波器，正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅立葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅立葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn) 快速傅立葉變換為傅立葉分析法賦予了新的生命力,3.2 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng),如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)是,或,，當(dāng)系統(tǒng)的輸入是復(fù)指數(shù)信號(hào),或,，則由時(shí)域卷積,系統(tǒng)的輸出是：,可得,其中：,是單位沖激響應(yīng),和,的積分,也是單位脈沖響應(yīng)和特征函數(shù)的求和,信號(hào)的分解,根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，則系統(tǒng)的輸出,復(fù)指數(shù)信號(hào)是唯一能

3、成為一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)的信號(hào)， 與之對(duì)應(yīng)的特征值。,對(duì)于時(shí)域的任何一個(gè)信號(hào) 或者 ，若能表示成為下列形式：,因?yàn)椋?利用系統(tǒng)的齊次性和疊加性,則：,同理：,這就是周期信號(hào)進(jìn)行頻域分解的基本出發(fā)點(diǎn)。,3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示,3.3.1 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合,該信號(hào)集中有無(wú)窮多個(gè)諧波分量，其中每個(gè)信號(hào)分量都是 以 為周期的，其公共周期為 且該集合中所有 信號(hào)都是彼此獨(dú)立的。,上式就是 的傅里葉級(jí)數(shù)，這表明用傅里葉級(jí)數(shù)可以表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)。,即：連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)諧波分量。,一般來(lái)說(shuō)，周期信號(hào)都可以表示為：,例：,在這一信號(hào)中有四個(gè)諧波分量， 。

4、,在傅里葉級(jí)數(shù)中，各個(gè)信號(hào)分量（諧波分量）間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是 復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來(lái)表示某個(gè)分量的幅度，線段的位置表示相應(yīng)的頻率。,3.3.2 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)表示的確定,當(dāng)一個(gè)給定的信號(hào)能表示成級(jí)數(shù)的形式,就需要一種辦法來(lái) 確定系數(shù).,若,系數(shù)往往稱為頻譜系數(shù)，是對(duì)信號(hào)中的每一個(gè)諧波分量的大小作出的度量。,如果周期信號(hào) 可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)：,則：,兩邊同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)積分，有,所以：,在確定上述積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對(duì)積分區(qū)間的起止并無(wú)特別要求，因此可表示為：,為傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)或頻譜系數(shù)，因?yàn)樗菍?duì)信號(hào) 中的每一個(gè)諧波分量的大小作出的度

5、量。,即是信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，也就是信號(hào)的直流分量。,針對(duì)不同的信號(hào)，其 不一樣，則頻譜圖不同.頻譜圖繪出了信號(hào)的頻譜特性，如信號(hào)由那些諧波分量構(gòu)成；分量的大小，分布等信息。它與信號(hào)的時(shí)域波形表示二者是等價(jià)的。,例 ：,試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。,解 f(t)為周期信號(hào)，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。據(jù),可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有,其余,圖 ：信號(hào)的頻譜 振幅譜； (b) 相位譜,圖 信號(hào)的雙邊頻譜 (a) 振幅譜； (b) 相位譜,3.4 傅立葉級(jí)數(shù)的收斂,若周期信號(hào)是它在一

6、個(gè)周期內(nèi)的能量有限信號(hào)，則所求到 的諸系數(shù)是有限值,也就是說(shuō)當(dāng)在一個(gè)周期內(nèi)具有有限能量就保證收斂,狄里赫利條件： 在任何周期內(nèi)，,必須絕對(duì)可積,在任意有限區(qū)間內(nèi)，具有有限個(gè)起伏變化,在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，而且在 這些不連續(xù)點(diǎn)上，函數(shù)是有限值,傅立葉級(jí)數(shù)收斂的條件：,連續(xù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式是一個(gè)無(wú)窮 級(jí)數(shù)，其收斂條件有兩組。 A 在一個(gè)周期內(nèi)平方可積。 B 滿足狄里赫利條件。,3.5 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì),這些性質(zhì)的學(xué)習(xí)，有助于對(duì)概念的理解對(duì)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。,1、線性,若 、 都是以T為周期的信號(hào)，且：,則：,2、時(shí)移,3、反轉(zhuǎn),推論：若 為偶函數(shù)，即 ，則 ；

7、,若 為奇函數(shù)，則 ；,4、尺度變換,， 以T為周期，對(duì) ，若 ，則 以 為周期，若其傅里葉系數(shù)為 ，則：,令 ，當(dāng) 在 變化時(shí)， 從 變化，于是：,雖然傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)沒(méi)變，但基波頻率變化了。,5、相乘,， 均以T為周期, ,則：,3.6離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示,一、離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集如下:,該信號(hào)集中每一個(gè)信號(hào)都以N為周期，且該集合中只有N個(gè)信號(hào)是彼此獨(dú)立的。,將這N個(gè)獨(dú)立的信號(hào)線性組合起來(lái)，一定能表示一個(gè)以N為周期的序列。即：,其中k為N個(gè)相連的整數(shù)。這一表達(dá)式就稱為離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），其中 也稱為周期信號(hào) 的頻譜。,二、傅里葉級(jí)數(shù)系

8、數(shù)的確定,由 兩邊同乘以 ，得,顯然 仍是以 N 為周期的，兩邊對(duì)n在一個(gè)周期內(nèi)求和：,而：,即： 或,顯然上式滿足 ，即 也是以N為周期的，或者說(shuō) 中只有N個(gè)是獨(dú)立的。,對(duì)實(shí)信號(hào)同樣有： 。,三、DFS的收斂,DFS是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定 的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而不存在收斂問(wèn)題 。,3.7DFS的性質(zhì),一、相乘,若 、 都是以N為周期的信號(hào)，且：,則 周期卷積,二、差分,三、Passival定理,上式表明：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的所有的諧波分量的平均功率之和。,3.8傅里葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng),LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)所產(chǎn)生的作用只是給輸入信號(hào)加權(quán)一個(gè)相應(yīng)的特征值。,對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：,對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)：,稱 、 為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。,如果 有,稱為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。,如果 則,稱為離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 對(duì) 而言，以 為周期。,如果一個(gè)LTI系統(tǒng)輸入周期性信號(hào) 或 ，由于,根據(jù)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)及系統(tǒng)的線性特性，則有：,例：關(guān)于某一序列給出如下的條件，確定 。,、 是周期的，周期 ；,、 ；,、 ；,、在