1、湖北省荊州市沙市第五中學高中數(shù)學 1.1.1變化率問題導學案（無答案）新人教版選修2學習目標：1. 知識與技能 平均變化率的概念;平均變化率的幾何意義， 函數(shù)在某點處附近的平均變化率2. 過程與方法 理解平均變化率的概念; 會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率3. 情感態(tài)度與價值觀學習重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率學習難點：平均變化率的概念.學法指導：知識鏈接一、創(chuàng)設情景為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象,在數(shù)學中引入了函數(shù),隨著對函數(shù)的研究,產生了微積分,微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關:一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加

2、速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等.導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具.導數(shù)研究的問題即變化率問題:研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度自主學習(一)問題提出問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積(單位:)與半徑(單位:)之間的函數(shù)關系是如果將半徑表示為體積的函數(shù),那么分析: (1)當從增加到時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(2)當從增加到時,氣球半徑增加

3、了氣球的平均膨脹率為可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.思考: 當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? hto 問題2 高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度(單位:)與起跳后的時間(單位:)存在函數(shù)關系.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?思考計算: 和的平均速度在這段時間里,在這段時間里,探究: 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考以下問題:(1)運動員在這段時間內使靜止的嗎？(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程: 如圖是函數(shù)的圖像,結合圖形可知,所以雖然運動員在這段時間里的平均速度為,但實際情況是運動員仍然運動,并非靜止,可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).(二)平均變化率概念1.上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)從到的平均變化率.2.若設, (這里看作是對于的一個“增量”可用代替,同樣)則平均變化率為思考: 觀察函數(shù)的圖象平均變化率表示什么?合作探究例1 已知函數(shù)的圖象上的一點及臨近一點則 .解: 例2 求在附近的平均變化率.解: 所以 所以在附近的平均變化率為四、課堂練習1.質點運動規(guī)律為,則在時間中相應的平均速度為 .2.物體按照的規(guī)律作直線運動,求在附近的平均變化率.3.過曲線上兩點和作曲線的割線