1、9.3 直線與平面垂直知識梳理1.如果一條直線與平面相交并且與平面內(nèi)的所有直線都垂直，那么就說這條直線與這個平面垂直.2.直線與平面垂直的判定：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.3.直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都與同一個平面垂直，那么這兩條直線平行.點擊雙基1.“直線l垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)”的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案：B2.給出下列命題，其中正確的兩個命題是直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行 夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面 直線m平面，直線nm，則n a、b是

2、異面直線，則存在唯一的平面，使它與a、b都平行且與a、b距離相等A. B. C. D.解析：錯誤.如果這兩點在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交.正確.如下圖，平面，A，C，D，B且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CGAB交平面于G，連結(jié)BG、GD.設(shè)H是CG的中點，則EHBG，HFGD.EH平面，HF平面.平面EHF平面平面.EF，EF.錯誤.直線n可能在平面內(nèi).正確.如下圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作aa，bb，則a、b確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的.答案：D3.在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3

3、的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四面體SEFG中必有A.SG平面EFG B.SD平面EFGC.FG平面SEFD.GD平面SEF解析：注意折疊過程中，始終有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.選A.答案：A4.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等5.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點到

4、CD1的距離為_；（2）A點到BD1的距離為_；（3）A點到面BDD1B1的距離為_；（4）A點到面A1BD的距離為_；（5）AA1與面BB1D1D的距離為_.答案：（1） （2） （3） （4） （5）典例剖析【例1】 已知直線a平面，直線b平面，O、A為垂足.求證：ab.證明：以O(shè)為原點直線a為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，i、j、k為坐標(biāo)向量，直線a、b的向量分別為a、b.設(shè)b=（x，y，z），b，bi=x=0，bj=y=0，b=（0，0，z）=zk.bk，ab.評述：因證明兩直線平行，也就是證明其方向向量共線，所以，利用兩向量共線的充要條件證明兩直線平行是新教材基本的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)做到熟練運

5、用.【例2】 已知PAO所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，過A點作AEPC于點E，求證：AE平面PBC.證明：PA平面ABC，PABC.又AB是O的直徑，BCAC.而PCAC=C，BC平面PAC.又AE在平面PAC內(nèi)，BCAE.PCAE，且PCBC=C，AE平面PBC.思考討論證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a直線b，直線a平面，則直線b平面”.【例3】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求證：A1BB1C.證明：取A1B1的中點D1，連結(jié)C1D1.B1C1=A1C1，C1D1ABB1A1.連結(jié)

6、AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，A1BAC1，A1BAD1.取AB的中點D，連結(jié)CD、B1D，則B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影.B1DA1B，A1BB1C.思考討論證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則下列關(guān)系不正確的是A.PABC B.BC平面PACC.ACPBD.PCBC解析：由三垂線定理知ACPB，故選C.答案：C2.ABC的三個頂點A、B、C到平面的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們

7、在的同側(cè)，則ABC的重心到平面的距離為_.解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面上的射影分別為A、B、C，ABC的重心為G，連結(jié)CG交AB于中點E，又設(shè)E、G在平面上的射影分別為E、G，則EAB，GCE，EE=（AA+BB）=，CC=4，CGGE=21，在直角梯形EECC中可求得GG=3.答案：3 cm3.RtABC在平面內(nèi)的射影是A1B1C1，設(shè)直角邊AB，則A1B1C1的形狀是_三角形.解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知A1B1C的形狀仍是Rt.答案：直角4.如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O平面MBD.證明：連結(jié)MO. DBA1

8、A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1.又A1O平面A1ACC1，A1ODB.在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，則A1OA+MOC=90.A1OOM.OMDB=O，A1O平面MBD.5.在三棱錐SABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在ABC的AB邊的高CD上，點MSC，截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC，求證：SC截面MAB.證明：CD是SC在底面ABC上的射影，ABCD，ABSC.連結(jié)MD.MDC=NSC，DMSC.ABDM=D，SC截面MAB.培養(yǎng)能力6.如下圖，在ABC中，ACB=90，AB=8，BAC=60，P

9、C平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值.解：P是定點，要使PM的值最小，只需使PMAB即可.要使PMAB，由于PC平面ABC，只需使CMAB即可. BAC=60，AB=8，AC=ABcos60=4.CM=ACsin60=4=2.PM=2.7.如下圖，P為ABC所在平面外一點，PA平面ABC，ABC=90，AEPB于E，AFPC于F，求證：（1）BC平面PAB；（2）AE平面PBC；（3）PC平面AEF.證明：（1）PA平面ABCBC平面PAB.PABCABBCPAAB=A AE平面PBC.（2）AE平面PAB，由（1）知AEBC AEPB PBBC=BPC平面AEF.（

10、3）PC平面PBC，由（2）知PCAE PCAF AEAF=A8.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA底面ABCD.（1）當(dāng)a為何值時，BD平面PAC?試證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PMDM.（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PMDM，求a的取值范圍.分析：本題第（1）問是尋求BD平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BDPA，問題歸結(jié)為a為何值時，BDAC，從而知ABCD為正方形.（1）解：當(dāng)a=2時，ABCD為正方形，則BDAC.又PA底面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.BD平面PAC.故當(dāng)a=

11、2時，BD平面PAC.（2）證明：當(dāng)a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結(jié)AM、DM、MN.ABMN和DCMN都是正方形，AMD=AMN+DMN=45+45=90，即DMAM.又PA底面ABCD，由三垂線定理得，PMDM，故當(dāng)a=4時，BC邊的中點M使PMDM.（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點M，PA底面ABCD，DMAM.因此，M點應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD2AB，即a4為所求.評述：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關(guān)知識.因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運用.事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的.探究創(chuàng)新9.正方形AB

12、CD中，AB=2，E是AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊上一點，將AED及DCF折起（如下圖），使A、C點重合于A點.（1）證明：ADEF；（2）當(dāng)F為BC的中點時，求AD與平面DEF所成的角；（3）當(dāng)BF=BC時，求三棱錐AEFD的體積.（1）證明：ADAE，ADAF，AD平面AEF.ADEF.（2）解：取EF的中點G，連結(jié)AG、DG.BE=BF=1，EBF=90，EF=.又AE=AF=1，EAF=90，AGEF，得AG=.AGEF，ADEF，AGAD=A，EF平面ADG.平面DEF平面ADG.作AHDG于H，得AH平面DEF，ADG為AD與平面DEF所成的角.在RtADG中，AG=，AD=2，ADG

13、=arctan.（3）解：AD平面AEF，AD是三棱錐DAEF的高.又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，VAEFD=VDAEF=SAD=2=.思悟小結(jié)1.直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運用.2.注意線面垂直與線線垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.3.運用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵在于確定斜線在平面上的射影，而確定射影的關(guān)鍵又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的連線就是斜線在平面上的射影.教師下載中心教學(xué)點睛1.使學(xué)生熟練掌握線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理.2.通過例題的講解給學(xué)生總結(jié)歸納證明線面垂直的常見

14、方法：（1）證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直；（2）證與該線平行的直線與已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性質(zhì)定理；（4）同一法.拓展題例【例1】 （2003年全國）下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別是其所在棱的中點，能得出l平面MNP的圖形的序號是_.解析：對，易用三垂線定理證明lMN，lPM，故l平面MNP；對，易知l平面ABC，但點M、N位于該平面的兩側(cè)，故平面MNP不平行平面ABC，從而l不垂直平面MNP；同理，也不垂直；對，易證lMN，lMP，故正確；對，易知平面MNP平面ABC，而l平面ABC，故正確.答案：【例2】 （2004年春季上海）如下圖，點P為斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱BB1上一點，PMBB1交AA1于點M，PNBB1交CC1于點N.（1）求證：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DFEFcosDFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.（1）證明：