1、第六節(jié)曲線與方程,1曲線與方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上點的坐標都是 (2)以這個方程的解為坐標的點都是那么這個方程叫做，這條曲線叫做,這個方程的解,曲線上的點,曲線的方程,方程的曲線,2求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系建立適當?shù)淖鴺讼?(2)設點設軌跡上的任一點P(x，y) (3)列式列出動點P所滿足的關(guān)系式 (4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡 (5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程,1方程x2xyx的曲線是() A一個點 B一條直線 C兩條

2、直線 D一個點和一條直線 【解析】方程變?yōu)閤(xy1)0， x0或xy10. 故方程表示直線x0或直線xy10. 【答案】C,2已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于() A B4 C8 D9 【解析】設P(x，y)，則由|PA|2|PB|得(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，故P點的軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓 所圍成的圖形的面積等于224. 【答案】B,3已知定點P(x0，y0)不在直線l：f(x，y)0上，則方程f(x，y)f(x0，y0)0表示一條() A過點P且垂直于l的直線 B過點P且平

3、行于l的直線 C不過點P但垂直于l的直線 D不過點P但平行于l的直線,【解析】P(x0，y0)不在直線l上， f(x0，y0)0. 方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的直線與l平行 又f(x0，y0)f(x0，y0)0. 點P(x0，y0)在方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的直線上，即直線過P點 【答案】B,4已知動圓P與定圓C：(x2)2y21相外切，又與定直線l：x1相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是_ 【解析】設動圓P的圓心P(x，y)，半徑為r， 則由題意得 消r得：y28x. 【答案】y28x,【答案】3x4y50,如圖所示，設動直線l垂直于x軸，且與橢圓x22y24交于A

4、、B兩點，P是l上滿足 的點，求點P的軌跡方程,又直線l與橢圓交于兩點，2x2， 點P的軌跡方程為1(2x2) 【方法點評】1.如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含x、y的等式，得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點、列式、代換、化簡、證明五個步驟，但最后的證明可以省略 2用直接法求軌跡方程是近年來高考?？嫉念}型，有時題目以向量為背景，解題中需注意向量的坐標化運算有時需分類討論,1線段AB與CD互相垂直平分于點O，|AB|2a，|CD|2b，動點P滿足|PA|PB|PC|PD|，求動點P的軌跡方程 【解析】以AB的中點O為

5、原點，直線AB為x軸，直線CD為y軸，建立直角坐標系 則A(a,0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b) 設P(x，y)，由題設知， 點P滿足的條件為|PA|PB|PC|PD|. 根據(jù)兩點間的距離公式，得,如圖所示，一動圓與圓x2y26x50外切，同時與圓x2y26x910內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線,【思路點撥】利用兩圓的位置關(guān)系相切這一性質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再從關(guān)系分析滿足何種曲線的定義 【自主探究】方法一：設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，設已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得：(x3)2y24，(x3)2y2100，當動圓

6、與圓O1相外切時，有|O1M|R2 當動圓與圓O2相內(nèi)切時，有|O2M|10R 將兩式相加，得|O1M|O2M|12|O1O2|，,動圓圓心M(x，y)到點O1(3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12， 所以點M的軌跡是焦點為O1(3,0)、O2(3,0)， 長軸長等于12的橢圓 2c6,2a12，c3，a6， b236927，,【方法點評】1.運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程 2用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義，靈活應用定義同時用定義法求軌跡方程也是近幾年來高考的熱點之一

7、,即x2(y2)232. 所以點Q的軌跡是以C(0,2)為圓心，以3為半徑的圓 點P是點Q關(guān)于直線y2(x4)的對稱點 動點P的軌跡是一個以C0(x0，y0)為圓心，半徑為3的圓，其中C0(x0，y0)是點C(0,2)關(guān)于直線y2(x4)的對稱點，即直線y2(x4)過CC0的中點，且與CC0垂直， 故動點P的軌跡方程為(x8)2(y2)29.,代入方程(*)得 (3u4v32)2(4u3v26)2(35)2， 化簡得u2v216u4v590 (u8)2(v2)29. 故動點P的軌跡方程為(x8)2(y2)29. 【方法點評】1.動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另

8、一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡方程為給定或容易求得，則可,先將x、y表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法 2用代入法求軌跡方程的關(guān)鍵是尋求關(guān)系式：xf(x，y)，yg(x，y)，然后代入已知曲線而求對稱曲線(軸對稱、中心對稱等)方程實質(zhì)上也是用代入法(相關(guān)點法)解題,3如圖所示，已知P(4,0)是圓x2y236內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB90. (1)求AB中點R的軌跡方程； (2)求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 【解析】(1)設AB的中點R的坐標為(x，y)， 則在RtAPB中， |AR|PR|，即|AR|

9、 又點R是弦AB的中點，依勾股定理， 在RtORA中，,又點R是弦AB的中點，依勾股定理， 在RtORA中， |AR|2|AO|2|OR|236(x2y2)， (x4)2y236(x2y2)， 即x2y24x100， 故AB中點R的軌跡方程為x2y24x100. (2)設矩形APBQ的頂點Q的坐標為(x，y)，AB中點R的坐標為(x1，y1)，,整理得x2y256， 故矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程為x2y256.,1(2008年北京高考)若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小于1，則點P的軌跡為() A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 【解析】由題意知，點P到點(2,0)的距離與P到

10、直線x2的距離相等，由拋物線定義得點P的軌跡是以(2,0)為焦點，以直線x2為準線的拋物線，故選D.,【答案】D,2(2008年重慶高考)如圖所示，M(2,0)和N(2,0)是平面上的兩點，動點P滿足：|PM|PN|6. (1)求點P的軌跡方程；,(2)由|PM|PN|= |PM|PN|cosMPN|PM|PN|2. 因為cosMPN1，P不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構(gòu)成三角形在PMN中， |MN|4，由余弦定理有 |MN|2|PM|2|PN|22|PM|PN|cosMPN. 將代入，得42|PM|2|PN|22(|PM|PN|2),3(2009年湖南高考)在平面直角坐標系xOy中，點P到點

11、F(3,0)的距離的4倍與它到直線x2的距離的3倍之和記為d.當點P運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和 (1)求點P的軌跡C； (2)設過點F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值,C2：y2=12x在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點)所組成的曲線，參見圖1 (2)如圖2所示，易知直線x=2與C1，C2的交點都是A(2,2 )，B(2，-2 )，直線AF，BF的斜率分別為kAF=-2，kBF=2，當點P在C1上時，由知 |PF|=6- x.,1求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡時的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，就可直接得出方程 2要注意一些軌跡問題，都包含一定的隱含條件，也就是曲線上點的坐標的取值范圍,3解答這類試題首先要明確圓錐曲線的性質(zhì)，作