1、第二章 模糊聚類分析,一、模糊關(guān)系,什么是關(guān)系,同學(xué)集合 X=張三，李四，王五 外語選修課程集合 Y=英，法，德，日 R= (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英),關(guān)系,定義1：集合A,B的直積AB=(a,b)|aA,bB的一個子集R稱為A到B的一個二元關(guān)系，簡稱關(guān)系。 可見，關(guān)系也是個集合。,關(guān)系example1,設(shè)X為橫軸，Y為縱軸，直積XY是整個平面，其上的普通關(guān)系xy：,模糊關(guān)系,定義：以集合A,B的直積AB為論域，其上的一個模糊子集R稱為A,B的一個模糊關(guān)系。若A=B，則稱為“A上的模糊關(guān)系R”，,模糊關(guān)系example1,其上的模糊關(guān)

2、系R=“x遠(yuǎn)遠(yuǎn) 大于y”，怎么表示？ 當(dāng)x=1000,y=100時，R(x,y)=0.999 當(dāng)x=20,y=10時，R(x,y)=0.5 當(dāng)x=20,y=18時，R(x,y)=0.0358,模糊關(guān)系example2,例：設(shè)身高論域U=140，150，160，170，180，體重論域V=40，50，60，70，80，則身高與體重之間的模糊關(guān)系：,模糊關(guān)系的運算,模糊關(guān)系就是模糊子集，只不過其論域是直積AB罷了 模糊關(guān)系的運算法則完全服從模糊集合的運算法則,模糊關(guān)系的運算,設(shè)R,S都是XY上的模糊關(guān)系，則 1) 2),模糊關(guān)系的運算,3) 4),模糊關(guān)系的運算,5),模糊矩陣的概念,模糊關(guān)系的表

3、示模糊矩陣,經(jīng)典有限集合上的關(guān)系，可以使用矩陣來表示。 若論域XY是有限集，模糊關(guān)系可以表示為模糊矩陣。 模糊矩陣元素表示關(guān)系的隸屬值。 若論域XY是連續(xù)或無限的，則該論域上的(模糊)關(guān)系不能用(模糊)矩陣來表示。,模糊矩陣的定義,如果對于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,則稱矩陣R=(rij)mn為模糊矩陣。若rij0,1,則模糊矩陣變成Boole矩陣。 模糊矩陣可以表示模糊關(guān)系，對于“A上的模糊關(guān)系”用模糊方陣來表示。,模糊矩陣Example,設(shè)有四種物品，蘋果、乒乓球、書、花組成的論域U，分別用x1,x2，,xn表示，它們的相似程度可以用模糊關(guān)系R來表示：,模糊關(guān)系

4、與模糊矩陣,如果給定X上的模糊關(guān)系I滿足 則稱I為X的“恒等關(guān)系”，表示恒等關(guān)系I的矩陣為單位矩陣。,模糊關(guān)系與模糊矩陣,若給定XY上的模糊關(guān)系O，滿足 則稱O為XY的“零關(guān)系”， 表示零關(guān)系O的矩陣為零矩陣。,模糊關(guān)系與模糊矩陣,如果給定XY上的模糊關(guān)系E滿足 稱E為XY的“全稱關(guān)系”，表示全稱關(guān)系E的矩陣為全稱矩陣。,模糊關(guān)系與模糊矩陣,如果給定XY上的模糊關(guān)系R，定義 稱RT為R的“倒置關(guān)系”,表示模糊關(guān)系RT的矩陣為R矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。,模糊矩陣的運算及性質(zhì),模糊矩陣的關(guān)系,設(shè)A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m,j=1,2,n, 則 (1)相等：A=B

5、對任意i,j 有 aij=bij (2)包含：AB 對任意i,j 有 aijbij,模糊矩陣的運算,設(shè)A、B為模糊矩陣，記A=(aij),B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)并：AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn,模糊矩陣的運算,求,模糊矩陣的運算性質(zhì),（1）冪等律：AAA , AA=A; （2）交換律：AB=BA, AB=BA; （3）結(jié)合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC); （4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; （5）分配律: (AB)C=( AC)(BC),

6、 (AB)C= ( AC)(BC);,模糊矩陣的運算性質(zhì),（6）0-1律：AOA, AOO; EA=E,EA=A; （7）還原律：(Ac)c=A; （8）對偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc.,排中律不成立！ AcA E, AAc O,注意,模糊矩陣的包含性質(zhì),模糊關(guān)系的合成,模糊關(guān)系的合成,設(shè)有三個論域X、Y、Z，R1是X到Y(jié)上的模糊關(guān)系，R2是Y到Z上的模糊關(guān)系，則R1與R2的合成R1。R2是X到Z的一個模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為,模糊關(guān)系的合成,當(dāng)論域為有限時，模糊關(guān)系的合成轉(zhuǎn)化為模糊矩陣的合成，合成運算相當(dāng)于矩陣的合成運算。,模糊矩陣的合成運算,不滿足交換律。 例：設(shè) 求,模糊方陣,模糊方陣的冪：,合成運算的性質(zhì),性質(zhì)1（結(jié)合律）： 性質(zhì)2： 性質(zhì)3（分配律）可以推廣到多個： 性質(zhì)4（01律）：,合成運算的性質(zhì),合成運算的交運算的分配律不成立,注意,合成運算的性質(zhì),性質(zhì)5： 性質(zhì)6：,模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,與線性代數(shù)中，模糊矩陣的轉(zhuǎn)置相同。 性質(zhì)1： 性質(zhì)2： 性質(zhì)3： 性質(zhì)4： 性質(zhì)5：,模糊矩陣的截