1、2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（三）（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：（1）掌握換底公式，會(huì)用換底公式將一般的對(duì)數(shù)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，并能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)和證明.（2）能將一些生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問題并加以解答.2過程與方法：（1）結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生探究換底公式，并通過換底公式的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.（2）通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相交流探討，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)共同學(xué)習(xí)的能力.（3）通過應(yīng)用對(duì)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生確立科學(xué)思想，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的重要作用.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀（1）通過探究換底公式的概念，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)

2、習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.（2）在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的相互交流，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用換底公式的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生傾聽并接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì).（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：（1）換底公式及其應(yīng)用.（2）對(duì)數(shù)的應(yīng)用問題.2教學(xué)難點(diǎn)： 換底公式的靈活應(yīng)用.（三）教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式通過實(shí)例研究引出換底公式，既明確學(xué)習(xí)換底公式的必要性，同時(shí)也在公式推導(dǎo)中應(yīng)用對(duì)數(shù)的概念和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，在教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)適當(dāng)?shù)卦黾泳唧w實(shí)例，便于學(xué)生理解換底公式的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從具體的實(shí)例中抽象出一般公式的能力.利用換底公式“化異為同”是解決有關(guān)對(duì)數(shù)問題的基本思想方法，它在求值或恒

3、等變形中起著重要作用，在解題過程中應(yīng)注意：（1）針對(duì)具體問題，選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)；（2）注意換底公式與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合使用；（3）換底公式的正用與逆用.（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖提出問題我們學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可以看到對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則僅適用于對(duì)數(shù)的底數(shù)相同的情形，若在解題過程中，遇到對(duì)數(shù)的底數(shù)不相同時(shí)怎么辦？ 師：從對(duì)數(shù)的定義可以知道，任何不等于1的正數(shù)都可以作為對(duì)數(shù)的底.數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù).這樣，如果能將其他底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或e為底的對(duì)數(shù)，就能方便地求出任意不為1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù).產(chǎn)生認(rèn)

4、知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.概念形成1. 探求換底公式，明確換底公式的意義和作用.例如，求我國(guó)人口達(dá)到18億的年份，就是計(jì)算x=log1.01的值，利用換底公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得x=log1.01=32.883733（年）.由此可得，如果人口年增長(zhǎng)率控制在1%，那么從2000年初開始，大約經(jīng)過33年，即到2032年底我國(guó)的人口總數(shù)可達(dá)到18億.師：你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？logaN=（a0，且a1；c0，且c1；N0）.（師生討論并完成）當(dāng)a0，且a1時(shí)，若ab=N，則logaN=b.在的兩邊取以c（c0，且c1）為底的對(duì)數(shù)，則logcab=logcN，即blogca=l

5、ogcN.b=.由得logaN=（c0，且c1）.一般地，logaN=（a0，且a1；c0，且c1；N0），這個(gè)公式稱為換底公式.推導(dǎo)換底公式應(yīng)用舉例（多媒體顯示如下例題，生板演，師組織學(xué)生進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)）例1 計(jì)算：（1）log34log48log8m=log416，求m的值.（2）log89log2732.（3）（log25+log4125）.合作探究：現(xiàn)在我們來用已學(xué)過的對(duì)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.例2 20世紀(jì)30年代，里克特（C.F.Richter）制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級(jí)M，

6、其計(jì)算公式為M=lgAlgA0，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.（1）假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級(jí)（精確到0.1）；（2）5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍（精確到1）.例3 科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳14.碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”.動(dòng)植物在生長(zhǎng)過程中衰變的碳14，可以通過與大氣的相互作用得到補(bǔ)充，所以活著的動(dòng)植

7、物每克組織中的碳14含量保持不變.死亡后的動(dòng)植物，停止了與外界環(huán)境的相互作用，機(jī)體中原有的碳14按確定的規(guī)律衰減，我們已經(jīng)知道其“半衰期”為5730年.湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代.課堂練習(xí)1.課本P79練習(xí)第4題.2.在，log，logan，（a0，a1，b0，b1，ab1，nN）中和logab相等的有A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.1個(gè)3.若log34log48log8m=log42，求m.4.（1）已知log53=a，log54=b，試用a、b表示log2512；（2）已知log1227=a，求log616.例1分析：在利用

8、換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況是根據(jù)題中所給的對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果所給的對(duì)數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇以10為底數(shù)進(jìn)行換底.（1）解：原方程等價(jià)于=2，即log3m=2，m=9.（2）解法一：原式=.解法二：原式=.（3）解：原式=（log25+log25）=log225log52=log25log52=log25log52=.小結(jié)（1）不同底的對(duì)數(shù)要盡量化為同底的對(duì)數(shù)來計(jì)算；（2）在第（3）小題的計(jì)算過程中，用到了性質(zhì)logMn=logaM及換底公式logaN=.利用換底公式可以證明：logab=，即logablogba=1.例2解：（1）M=lg20l

9、g0.001=lg=lg20000=lg2+lg1044.3.因此，這是一次約為里氏4.3級(jí)的地震.（2）由M=lgAlgA0可得M=lg=10MA=A010M.當(dāng)M=7.6時(shí)，地震的最大振幅為A1=A0107.6；當(dāng)M=5時(shí)，地震的最大振幅為A2=A0105.所以，兩次地震的最大振幅之比是=107.65=102.6398.答：7.6級(jí)地震的最大振幅大約是5級(jí)地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，雖然7.6級(jí)地震和5級(jí)地震僅相差2.6級(jí)，但7.6級(jí)地震的最大振幅卻是5級(jí)地震最大振幅的398倍.所以，7.6級(jí)地震的破壞性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5級(jí)地震的破壞性.例3解：我們先推算生物死亡t年后每克組織中

10、的碳14含量.設(shè)生物體死亡時(shí)，體內(nèi)每克組織中的碳14的含量為1，1年后的殘留量為x，由于死亡機(jī)體中原有的碳14按確定的規(guī)律衰減，所以生物體的死亡年數(shù)t與其體內(nèi)每克組織的碳14含量P有如下關(guān)系：死亡年數(shù)t12碳14含量Pxx23tx3xt因此，生物死亡t年后體內(nèi)碳14的含量P=xt.由于大約每過5730年，死亡生物體的碳14含量衰減為原來的一半，所以=x5730，于是x=（），這樣生物死亡t年后體內(nèi)碳14的含量P=（）.由對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，指數(shù)式P=（）可寫成對(duì)數(shù)式t=logP.湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，由計(jì)算

11、器可得t2193.所以，馬王堆古墓是近2200年前的遺址.課堂練習(xí)答案1.（1）1；（2）1；（3）.2. A3. .4. （1）.（2）.掌握換底公式的應(yīng)用.掌握利用對(duì)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.歸納總結(jié)1.換底公式及其應(yīng)用條件（注意字母的范圍）.2.解決實(shí)際問題的一般步驟：學(xué)生先自回顧反思，教師點(diǎn)評(píng)完善形成知識(shí)體系.課后作業(yè)作業(yè)：2.2 第三課時(shí) 習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固新知提升能力備選例題例1 已知log189 = a，18b = 5，求log3645.【解析】方法一：log189 = a，18b = 5，log185 = b，于是=.方法二：log189 = a，18b = 5，lg9 = alg18，lg5 = blg8， =.【小結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)；（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)與對(duì)數(shù)互化，統(tǒng)一成一種形式.例2 我們都處于有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)音量會(huì)有不同的要求，音量大小的單位是分貝(dB)，對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，分貝的定義是：y = 10lg. 這里I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度，I0 = 1012w/m2，當(dāng)I = I0時(shí)，y = 0，