1、連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.,第二章 第三節(jié) 連續(xù)型隨機變量,(I) 連續(xù)型r.v.及其概率密度函數(shù)的定義,(一) 概率密度函數(shù),1 o,2 o,這兩條性質是判定一個 函數(shù) f(x)是否為某r.vX的 概率密度函數(shù)的充要條件.,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質量， f (x)相當于線密度.,3. 對 f(

2、x)的進一步理解:,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,若不計高階無窮小，有：,它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .,4. 連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.,即：,a為任一指定值,這是因為,由此得，,1) 對連續(xù)型 r.v X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,可見，,由P(A)=0, 不能推出,并非必然事件,由P(B)=1, 不能推出 B=,（二）、隨機變量的分布函數(shù),設X()是一個隨機變量.

3、稱函數(shù) F(x):= PXx,-x 為隨機變量X的分布函數(shù).,分布函數(shù)的性質,（1）ab,總有F(a)F(b)(單調非減性) （2）F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù) （3） xR1 ,總有0F(x)1(有界性),且,定義,證明: 僅證(1),aa =Xb-Xa,而XaXb. PaXb= PXb- PXa =F(b)- F(a). 又PaXb0, F(a)F(b).,上述證明中我們得到一個重要公式: PaXb=F(b)- F(a). 它表明隨機變量落在區(qū)間(a,b上的概 率可以通過它的分布函數(shù)來計算.,注意,設離散型隨機變量X的分布律為 pk:= PX=xk , k=1,2, X的分布函數(shù),離散型隨機

4、變量的分布函數(shù),分布函數(shù)F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù),在x=xk(k=1,2)處有跳躍值 pk=PX=xk,如下圖(圖2.2.1)所示,連續(xù)型 r.v.的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的 定積分.,由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點，,下面我們來求一個連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù).,F(x) = P(X x) =,解：,對x -1，F(xiàn)(x) = 0,對,對 x1， F (x) = 1,即,(三)常見的連續(xù)型隨機變量,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布,正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.,正態(tài)分布在十九世紀前葉由 高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布.,德莫佛,德莫佛（De Mo

5、ivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項分布的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.,一、正態(tài)分布,你們是否見過街頭的一種賭博游戲? 用一個釘板作賭具。,下面我們在計算機上模擬這個游戲：,街頭賭博,高爾頓釘板試驗,高 爾 頓 釘 板 試 驗,這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。,(I)、正態(tài)分布的定義,若r.v. X 的概率密度為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.,其中 和 都是常數(shù)， 任意， 0， 則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布.,(Normal),(II)、正態(tài)分布 的圖形特點,正態(tài)分布的密度曲線是一條關于 對稱的鐘形曲線.,特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.,決定了

6、圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點,這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f (x)以x軸為漸近線。,當x 時，f(x) 0,實例 年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。,從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。,下面是我們用某大學大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。,紅線是擬合的正態(tài)密度曲線,可見，某大學大學生的身高應服從正態(tài)分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。,除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高

7、外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.,(IV)、標準正態(tài)分布,的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：,它的依據(jù)是下面的定理：,標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個 一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為 標準正態(tài)分布.,根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,定理1,書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.,（V）、正態(tài)分布表,表中給的是x0時,

8、(x)的值.,當-x0時,若,N(0,1),若 XN(0,1),由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，,這說明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間 內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.,當XN(0,1)時，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,（VI）、3 準則,將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,時，,這在統(tǒng)計學上稱作“3 準則” （三倍標準差原則）.,例1 假設某地區(qū)成年男性的身高（單 位：cm）XN(170,7.692)，求該地區(qū)成年 男性的身高超過175cm的概率。,解: 根據(jù)假設XN(170,7.692)，則,故事件X175的概率為,P X175=,=0.2578,若 r.v. X的概率密度為：,則稱X服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：,X Ua, b,二、均勻分布(Uniform),（注：X U（a, b）,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對小數(shù)點后第一位進行四舍五 入時，那么一般認為誤差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。,則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.,三、指數(shù)分布：若 r.v X具有概率密度,常簡記