1、2008屆全國(guó)百套高考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編02函數(shù)三、解答題1、(江蘇省啟東中學(xué)2008年高三綜合測(cè)試一)已知函數(shù)（1）求反函數(shù)（2）判斷是奇函數(shù)還是偶函數(shù)并證明。解：（1）令則 （2） 為奇函數(shù)2、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試二) 解：設(shè),則f(t)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為,屬于,故f(t)在上是減函數(shù),在為增函數(shù),所以最小值在達(dá)到,為,當(dāng)時(shí)達(dá)到最小值,該函數(shù)沒有最大值3、(陜西長(zhǎng)安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)求函數(shù)的定義域：解：由題意得 4、(陜西長(zhǎng)安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)已知函數(shù) (1)判斷函數(shù)的奇偶性。 (2)判斷函數(shù)的單調(diào)性。解：（1） = 為奇函數(shù) （2）是R上的增

2、函數(shù)，（證明略）5、(陜西長(zhǎng)安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)已知函數(shù)=的圖像過(guò)點(diǎn)(-4，4)，且關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，試確定的解析式.解：由題意得又 b=1代入得，6、(陜西長(zhǎng)安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)為了保護(hù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)城市綠化，某房地產(chǎn)公司要在拆遷地長(zhǎng)方形上規(guī)劃出一塊長(zhǎng)方形地面建造公園，公園一邊落在CD上，但不得越過(guò)文物保護(hù)區(qū)的EF.問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使公園占地面積最大，并求這最大面積.（ 其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.）解：設(shè)CG=X，矩形CGPH面積為Y，如圖HC=160 當(dāng)（m）即CG長(zhǎng)為190m時(shí)，最大面積為（m2）7、(陜西長(zhǎng)安二

3、中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求證：f(0)=1；（2）求證：對(duì)任意的xR，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范圍。解：（1）令a=b=0，則f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0時(shí)，f(x)10，當(dāng)x0，f(-x)0 又x=0時(shí)，f(0)=10 對(duì)任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x

4、10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上遞增 由f(3x-x2)f(0)得：x-x20 0x0 ,只需，且9、(四川省成都市新都一中高2008級(jí)一診適應(yīng)性測(cè)試)某機(jī)床廠今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬(wàn)元（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利（盈利額為正值）（3）使用若干

5、年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：（）當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；（）當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床請(qǐng)你研究一下哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）依題得： 3分（2）解不等式 6分（3）（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=7時(shí)等號(hào)成立到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利127+30114萬(wàn)元10分（）故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠獲利102+12114萬(wàn)元 11分盈利額達(dá)到的最大值相同，而方案所用的時(shí)間較短，故方案比較合理10、(四川省成都市一診)已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，其圖像均在x軸的上方，對(duì)任意的，都有，且，又當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)恒成立。

6、（）求的值；（）解關(guān)于x的不等式：，其中解：(1)由f(mn)f(m)n得：f(0)f(00)f(0)0函數(shù)f(x)的圖象均在x軸的上方,f(0)0,f(0)13分f(2)f(12)f(1)24，又f(x)0f(1)2,f(1)f(1)23分(2)又當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)恒成立，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。11、(四川省成都市新都一中高2008級(jí)12月月考)通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間，講座開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析

7、結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越強(qiáng))，x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位：分)，可以有以下公式：f(x)(1)開講多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？(2)開講5分鐘與開講20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？(3)一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題？解：(1)當(dāng)0x10時(shí)，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9故f(x)在0x10時(shí)遞增，最大值為f(10)0.1(1013)259.959當(dāng)10x16時(shí)，f(x)59當(dāng)x16時(shí)，f(

8、x)為減函數(shù)，且f(x)59因此，開講10分鐘后，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)接受能力(為59)，能維持6分鐘時(shí)間.5分(2)f(5)0.1(513)259.953.5 f(20)3201074753.5故開講5分鐘時(shí)學(xué)生的接受能力比開講20分鐘時(shí)要強(qiáng)一些.8分(3)當(dāng)0x10時(shí)，令f(x)55，解得x6或20(舍) 當(dāng)x16時(shí)，令f(x)55，解得x17因此學(xué)生達(dá)到(含超過(guò))55的接受能力的時(shí)間為1761113(分)老師來(lái)不及在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題.12、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)已知函數(shù)滿足下列條件：函數(shù)的定義域?yàn)?，1；對(duì)于任意； 對(duì)于滿足條件的任意兩個(gè)數(shù) （1）

9、證明：對(duì)于任意的； （2）證明：于任意的； （3）不等式對(duì)于一切x0，1都成立嗎？試說(shuō)明理由. （1）證明：對(duì)于任意的即對(duì)于任意的 5分 （2）證明：由已知條件可得所以對(duì)于任意的 10分 （3）解：取函數(shù)則顯然滿足題目中的（1），（2）兩個(gè)條件， 任意取兩個(gè)數(shù)即不等式 13、(北京市海淀區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)一個(gè)函數(shù)，如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)都在的定義域內(nèi)，就有也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“保三角形函數(shù)”（I）判斷，中，哪些是“保三角形函數(shù)”，哪些不是，并說(shuō)明理由；（II）如果是定義在上的周期函數(shù)，且值域?yàn)椋C明不是“保三角形函數(shù)”；（III）若函數(shù)，是“保三角形函數(shù)”，求

10、的最大值（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函數(shù)”，不是“保三角形函數(shù)” 1分任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為，則，不妨假設(shè)，由于，所以是“保三角形函數(shù)”. 3分對(duì)于，3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但，所以不存在三角形以為三邊長(zhǎng)，故不是“保三角形函數(shù)” 4分（II）設(shè)為的一個(gè)周期，由于其值域?yàn)?，所以，存在，使得，取正整?shù)，可知這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但，不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)故不是“保三角形函數(shù)” 8分（III）的最大值為 9分一方面，若，下證不是“保三角形函數(shù)”.取，顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，故不是“保三角形函數(shù)”.另一方

11、面，以下證明時(shí)，是“保三角形函數(shù)”對(duì)任意三角形的三邊，若，則分類討論如下：（1），此時(shí)，同理，故，同理可證其余兩式.可作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)（2）此時(shí)，可得如下兩種情況：時(shí)，由于，所以，.由在上的單調(diào)性可得；時(shí)，同樣，由在上的單調(diào)性可得；總之，.又由及余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，同理可證其余兩式，所以也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)故時(shí)，是“保三角形函數(shù)”綜上，的最大值為14、(北京市十一學(xué)校2008屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題)對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、，且（）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列滿足，求證：；（）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：解：（）設(shè) 由 又 3分

12、于是 由得或； 由得或 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和 4分（）由已知可得， 當(dāng)時(shí)， 兩式相減得或當(dāng)時(shí)，若，則這與矛盾 6分于是，待證不等式即為為此，我們考慮證明不等式令則，再令， 由知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 于是即 令， 由知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 于是即 由、可知 10分所以，即 11分（）由（）可知 則 在中令，并將各式相加得 即15、(山東省博興二中高三第三次月考)已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤| x k，k Z，且對(duì)于定義域內(nèi)的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a為正常數(shù)），當(dāng)0 x 0（I）判斷f（x）奇偶性；（II）證明f（x）為周期函數(shù)；（III）求f （x

13、）在2a，3a 上的最小值和最大值解：（1）定義域x| x k，kZ 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（- x） = f （a - x） - a= = = = = = - f （x），對(duì)于定義域內(nèi)的每個(gè)x值都成立 f（x）為奇函數(shù)-（4分）（2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為4a-（8分）（3）f（2a）= f（a + a）= f a -（- a）= = = 0，f（3a）= f（2a + a）= f 2a -（- a）= = = - 1先證明f（x）在2a，3a上單調(diào)遞減為此，必須證明x（2a，3a）時(shí)，f（x） 0，設(shè)2a x 3a，則0 x - 2a 0， f（x） 0-（10分）設(shè)2

14、a x1 x2 3a，則0 x2 - x1 a， f（x1） 0 f（x2） 0， f（x1）- f（x2）= 0， f（x1） f（x2）， f（x）在2a，3a上單調(diào)遞減-（12分） f（x）在2a，3a上的最大值為f（2a = 0，最小值為f（3a）= - 116、(四川省成都市高2008屆畢業(yè)班摸底測(cè)試)已知向量的圖象按向量m平移后得到函數(shù)的圖象。 （）求函數(shù)的表達(dá)式； （）若函數(shù)上的最小值為的最大值。解：（）設(shè)P（x，y）是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，它在函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則由平移公式，得 2分 代入函數(shù)中，得 2分 函數(shù)的表達(dá)式為 1分（）函數(shù)的對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)， 2分當(dāng)

15、時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)； 2分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)， 2分綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為 17、（本小題滿分12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?）求M （2）當(dāng) 時(shí)，求 的最小值.解 (1) （4分）(2)=又，（6分）若，即時(shí)，=，（8分）若，即時(shí)，所以當(dāng)即時(shí)，=（11分）18、(福建省師大附中2008年高三上期期末考試)已知函數(shù)， （1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由。 （2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍。19、(福建省師大附中2008年高三上期期末考試)設(shè)函數(shù)。 （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）是否存在正實(shí)數(shù)，使函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)值域?yàn)?？若存在，?的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。20、(甘肅省蘭州

16、一中2008屆高三上期期末考試)已知函數(shù)成等差數(shù)列. （）求的值； （）若a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解：（）由成等差數(shù)列，得，即 5分（） 7分 8分 10分 21、(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體, 存在非零常數(shù), 對(duì)任意, 有成立.(1) 函數(shù)是否屬于集合? 說(shuō)明理由;(2) 設(shè), 且, 已知當(dāng)時(shí), , 求當(dāng)時(shí), 的解析式.解: (1) 假設(shè)函數(shù)屬于集合, 則存在非零常數(shù), 對(duì)任意, 有成立,即: 成立. 令, 則, 與題矛盾. 故.(2) , 且, 則對(duì)任意, 有,設(shè), 則, 當(dāng)時(shí), ,

17、故當(dāng)時(shí), .22、（廣東省佛山市2008年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)一）佛山某公司生產(chǎn)陶瓷，根據(jù)歷年的情況可知，生產(chǎn)陶瓷每天的固定成本為14000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加210元已知該產(chǎn)品的日銷售量與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為 ，每件產(chǎn)品的售價(jià)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為（）寫出該陶瓷廠的日銷售利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式；（）若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，并求出最大利潤(rùn)解：()總成本為 1分所以日銷售利潤(rùn) 6分()當(dāng)時(shí)， 7分令，解得或 8分于是在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取到最大值，且最大值為30000； 10分當(dāng)時(shí)， 12分綜上所述，若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)400件產(chǎn)品，其

18、最大利潤(rùn)為30000元23、(廣東省汕頭市澄海區(qū)2008年第一學(xué)期期末考試)通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間。講座開始時(shí)，學(xué)生興趣激增；中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散。分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和講授概念的時(shí)間（單位：分），可有以下的關(guān)系式：(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時(shí)間？(2)一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55(或以上)的接受能力，上課開始30分鐘內(nèi), 求能達(dá)到該接受能力要求的時(shí)間共有多少分鐘? (3)如果每隔5分鐘測(cè)量一次學(xué)生

19、的接受能力，再計(jì)算平均值M=，它能高于45嗎？解：（1）0x10時(shí)，有f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9故當(dāng)0x10時(shí)，時(shí)，f(x)遞增，最大值為f(10)=-0.1(-3)2+59.9=59;顯然，當(dāng)16x30時(shí)，f(x)遞減，f(x)-316+107=59. 因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力（值為59），并維持6分鐘； （5分） (2) 依題意, 當(dāng)0x10時(shí)，令f(x)55,則(x-13)249, 6x10; （7分） 當(dāng)10x16時(shí)，f(x)=59符合要求；（8分）當(dāng)16x30時(shí)，令f(x)55,則x17 （9分） 因此，學(xué)生達(dá)到（或超

20、過(guò)）55的接受能力的時(shí)間為17611 (分鐘)；（11分） (3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17所以M=44.60；對(duì)任意x1，x2(0，1)，恒有2.()求證：對(duì)任意x(0，1)，恒有f(x)f (1x)；()求證：對(duì)任意的x1、x2(0，1)，恒有f (x1)f (x2)25、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級(jí)期末考試)某市的出租車的價(jià)格規(guī)定：起步費(fèi)11元，可行3千米；3千米后按每千米2.1元計(jì)價(jià),可再行7千米;以后每千米都按3.15元計(jì)價(jià),設(shè)每一次乘車的車費(fèi)由行車?yán)锍檀_定.(1)請(qǐng)寫出一次乘車的車費(fèi)y

21、元與行車的里程x千米的函數(shù)關(guān)系;(2)計(jì)算如果一次乘車費(fèi)為32元,那么汽車行程為多少千米?(3)請(qǐng)問(wèn)當(dāng)行程為28千米時(shí),請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種乘車方案,使總費(fèi)用最省.解：（1） （4分） （2）=32， 千米（6分） （3）當(dāng)行程為3千米時(shí)，平均每千米為11/3元，顯然當(dāng)行程為10千米時(shí)，費(fèi)用最省，即行程10千米時(shí)下車，重新上車計(jì)費(fèi)，故當(dāng)行程為28千米時(shí)，兩次分別行程10千米時(shí)下車，重新上車計(jì)費(fèi)，其費(fèi)用為72.9元。26、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級(jí)期末考試)已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在（0，）上減函數(shù)，在是增函數(shù)。（1）如果函數(shù)的值域?yàn)椋蟮闹?；?）研究函數(shù)（常數(shù)）在定義域的單

22、調(diào)性，并說(shuō)明理由；（3）對(duì)函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例。研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間，2上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）。解：（1）函數(shù)的最小值是，則=6，（2分） （2）設(shè) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是增函數(shù)；（4分） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)（5分） 又是偶函數(shù)，于是，該函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù) （3）可以把函數(shù)推廣為（常數(shù)），其中a是正整數(shù)。（7分）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（9分）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；工協(xié)作（11分）因此在

23、上減函數(shù)，在1，2上是增函數(shù)。反以，當(dāng)或時(shí)，取得最大值當(dāng)x=1時(shí)取得最小值。27、(湖北省荊門市2008屆上期末)設(shè)函數(shù)（、）(1)若，且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有0成立，求實(shí)數(shù)、的值.(2)在(1)的條件下，當(dāng)2，2時(shí)，是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 ：(1) 又對(duì)任意實(shí)數(shù)均有0成立恒成立，即恒成立 6分(2)由（1）可知在2，2時(shí)是單調(diào)函數(shù)， 即實(shí)數(shù)的取值范圍為28、(黃家中學(xué)高08級(jí)十二月月考)設(shè)函數(shù)是R上的奇函數(shù)。（）求a的值； （）求的反函數(shù)；（）若k,解不等式： 【解】：（）： f(x) 是R上的奇函數(shù)，f(0)=0 得a=1() y= y+y2x=2x-1 2x(y-1)=-1-y,2x= 即：f-1(x)=lo