1、3.2導數(shù)的計算 第1課時幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本 初等函數(shù)的導數(shù)公式,主題基本初等函數(shù)的導數(shù) 1.函數(shù)y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)= 的導 數(shù)分別是什么? 提示:y=f(x)=c的導數(shù)是y=0,y=f(x)=x的導數(shù)是 y=1,y=f(x)=x2的導數(shù)是y=2x,y=f(x)= 的導數(shù)是 y=- .,2.結(jié)合1中探究你能總結(jié)出函數(shù)f(x)=x的導數(shù)嗎? 提示:由于0=0 x0-1,1=1x1-1,2x=2x2-1,- =-1 x-1-1,由此可猜想:y=f(x)=x的導數(shù)是y=x-1.,3.怎樣理解常見函數(shù)f(x)=c,f(x)=x,f(x)=x2的導

2、數(shù)的物理意義? 提示:對于f(x)=c,由于f(x)=0,其物理意義為某物體的瞬時速度始終為0,即一直處于靜止狀態(tài);對于f(x)=x,由于f(x)=1,其物理意義為某物體的瞬時速度為1的勻速運動;對于f(x)=x2,由于f(x)=2x,其物理意義為物體的變速運動.,結(jié)論:對于有些基本初等函數(shù),由于不方便用定義法求導數(shù),可直接使用下面的求導數(shù)公式: f(x)=cf(x)=_, f(x)=xf(x)=x-1(Q*), f(x)=sinxf(x)=_, f(x)=cosxf(x)=_.,0,cosx,-sinx,f(x)=axf(x)=_(a0), f(x)=exf(x)=_, f(x)=logax

3、_(a0,且a1), f(x)=lnxf(x)=_.,axlna,ex,【微思考】 1.在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y=2x,y=3x,y=4x的圖象,并根據(jù)導數(shù)定義,求它們的導數(shù). (1)從圖象上看,它們的導數(shù)分別表示什么? (2)這三個函數(shù)中,哪一個增加得最快?哪一個增加得最慢? (3)函數(shù)y=kx(k0)增(減)的快慢與什么有關(guān)?,提示:(1)函數(shù)y=2x,y=3x,y=4x的圖象如圖所示,導數(shù)分別為y=2,y=3,y=4.從圖象上看,函數(shù)y=2x,y=3x, y=4x的導數(shù)分別表示這三條直線的斜率.,(2)在這三個函數(shù)中y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢. (3)函數(shù)y=kx(

4、k0)增加的快慢與k有關(guān)系,即與函數(shù)的導數(shù)有關(guān)系,k越大,函數(shù)增加得越快,k越小,函數(shù)增加得越慢. 函數(shù)y=kx(k0)減少的快慢與|k|有關(guān)系,即與函數(shù)導數(shù)的絕對值有關(guān)系,|k|越大,函數(shù)減少得越快,|k|越小,函數(shù)減少得越慢.,2.如何區(qū)分f(x)=sinx與f(x)=cosx的導數(shù)特征? 提示:從導數(shù)公式(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx看出:一要注意函數(shù)名稱的變化,二要注意符號的變化,特別注意(cosx)=-sinx,而不是(cosx)=sinx.,3.函數(shù)f(x)=lnx與f(x)=logax的導數(shù)公式之間有哪些差異與聯(lián)系? 提示:函數(shù)f(x)=logax的導數(shù)公式為f

5、(x)=(logax) = ,當a=e時,上述公式就變?yōu)?lnx)= . 即f(x)=lnx的導數(shù)公式是f(x)=logax的導數(shù)公式的特例.,【預習自測】 1.函數(shù)f(x)=0的導數(shù)是() A.0 B.1 C.不存在 D.不確定 【解析】選A.常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0.,2.已知函數(shù)f(x)= ,則f(-2)=() A.4 B. C.-4 D.- 【解析】選D.因為f(x)= 所以f(-2)=,3.曲線y=-x3+3x2在點(1,2)處的切線方程為() A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 【解析】選A.因為y=-3x2+6x,y|x=1=-312 +61=3,即所

6、求切線的斜率等于3,故所求直線的方程是y-2=3(x-1),即y=3x-1.,4.曲線y=xn在x=2處的導數(shù)為12,則n等于_. 【解析】y=nxn-1,所以y|x=2=n2n-1=12, 所以n=3. 答案:3,5.一木塊沿某一斜面自由下滑,測得下滑的水平距離scm與時間ts之間的函數(shù)關(guān)系為:s=t2,試求t=2(s)時,此木塊的瞬時速度.(仿照教材P83例1的解析過程) 【解析】由冪函數(shù)導數(shù)公式得s(t)=2t, 故s(2)=4, 因此當t=2(s)時,木塊的瞬時速度為4cm/s.,類型一常用函數(shù)的導數(shù) 【典例1】(1)下列結(jié)論中正確的個數(shù)為() y=ln2,則y= ;y= ,則y|x=

7、3=- ;y=2x, 則y=2xln2;y=log2x,則y= A.0 B.1 C.2 D.3,(2)函數(shù)y= 在點 處的導數(shù)值是() A.4 B.-4 C.- D.,【解題指南】(1)直接利用常用函數(shù)的導數(shù)即可.(2)可先求出函數(shù)y= 的導數(shù),再代入求值.,【解析】(1)選D.若y=ln2,則y=0,故錯;若y= , 則y=- ,所以y|x=3=- ,對;若y=2x,則y=2xln2,對,也對. (2)選B.因為y=- ,所以當x= 時,y=-4.,【延伸探究】 1.若把本例(2)中的點“ ”改為“ ”,則結(jié)果 如何? 【解析】因為y=- ,所以當x=2時,y=,2.若把本例(2)中的條件改

8、為“函數(shù)y= 在點(m,n)處 的導數(shù)值為-1”,則m+n的值是多少? 【解析】因為y=- ,又在點(m,n)處的導數(shù)值為-1, 所以 =-1,故m2=1,所以m=1.當m=1時,n=1,當m=-1 時,n=-1,故m+n=2或m+n=-2.,【方法總結(jié)】定義法求導與公式法求導的對比 (1)定義法求導:導函數(shù)定義本身就是函數(shù)求導的最基本方法,但導函數(shù)是用極限定義的,所以該方法求導最終歸結(jié)為求極限,在運算上很麻煩,運算會很困難. (2)公式法求導:用導數(shù)定義推導出常見函數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式后,就可以用公式直接求導,該方法簡捷迅速.,【補償訓練】如果函數(shù)f(x)=x2,則 的值等于_. 【解

9、析】因為f(x)=x2,所以f(x)=2x, =f(4)=8. 答案:8,類型二利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導數(shù) 【典例2】(1)已知函數(shù)f(x) =lnx,f(x)是f(x)的導數(shù),f(x)的大致圖象是(),(2)f(x)= ,則f (-1)=(),【解題指南】(1)先求出函數(shù)f(x)=lnx的導數(shù),再觀察其圖象,注意定義域. (2)注意先對式子f(x)= 轉(zhuǎn)化,再利用冪函數(shù)導數(shù)公式求導.,【解析】(1)選C.因為函數(shù)f(x)=lnx的定義域為(0,+),所以f(x)= 的定義域也為(0,+),所以其圖象為反比例函數(shù)在第一象限的部分. (2)選D.因為原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為:f(x)= 所以f (x

10、)= 所以f (-1)=,【方法總結(jié)】求簡單函數(shù)導數(shù)的策略 (1)看形式:首先觀察函數(shù)的形式,看是否符合基本初等函數(shù)的形式,如對于形如 的函數(shù)一般先轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的形式,再用冪函數(shù)的求導公式求導.,(2)化簡:對于不具備基本初等函數(shù)特征的函數(shù)可進行適當變形,將其化成基本初等函數(shù)或與之相接近的函數(shù)形式,如將根式、分式化為指數(shù)式,利用冪函數(shù)求導. (3)選公式:選擇恰當?shù)墓角蠼夂瘮?shù)的導數(shù). 提醒:區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導公式,以免在運用時混淆.,【鞏固訓練】(2017鄭州高二檢測)已知f(x)= 且f(1)=- ,求n.,【解析】f(x)= 所以f(1)=- , 由f(1)=- 得- =- ,

11、得n=3.,【補償訓練】已知曲線y= -3lnx的一條切線的斜率 為 ,則切點的橫坐標為() A.3 B.2 C.1 D.,【解析】選A.因為y= ,所以 解得x=3(x=-2不合題意,舍去).,類型三利用導數(shù)公式求切線方程 【典例3】已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(2-x)- x2+8x-8,則曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程是 () A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3,【解題指南】先根據(jù)f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8求出函數(shù)f(x)的解析式,然后對函數(shù)f(x)進行求導,進而可得到y(tǒng)=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程的斜

12、率,最后根據(jù)點斜式可求切線方程.,【解析】選A.因為f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, 所以f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 所以f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8, 將f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,所以f(x)=x2,f(x)=2x,所以y=f(x)在(1,f(1)處的切線斜率y=2,所以y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.,【方法總結(jié)】求切線方程的步驟 (1)利用導數(shù)公式求導數(shù). (2)求斜率. (3)寫出切線方程. 求解時注意導數(shù)為0和導數(shù)不存在的情形.,【鞏固訓練】1.(2017廣州高二檢測)曲線y=ex在點(0,1)處的切線斜率為() A.1 B.2 C.e D.0 【解析】選A.因為y=ex,所以y=ex, 所以曲線y=ex在點(0,1)處的切線斜率k=e0=1.,2.求函數(shù)y=6x在x=1處的切線方程. 【解析】因為y=(6x)=6xln6,所以當x=1時,y=6ln6, 又x=1時,y=6,所以切線方程為y-6=6ln6(x-1), 即6xln6-y-6ln6+6=0.,【補償訓練】曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為_. 【解析】由y=-5ex+3,