1、南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,1,第八章 橢球面元素歸算至高斯平面 高斯投影 高斯在18201830年間在對(duì)德國(guó)漢諾威三角測(cè)量成果進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)提出。 史賴(lài)伯于1866年出版的名著漢諾威大地測(cè)量投影方法的理論中進(jìn)行了整理和加工。 克呂格1912年對(duì)高斯投影進(jìn)行了比較深入的研究和補(bǔ)充，從而使之在許多國(guó)家得以應(yīng)用，稱(chēng)之為高斯.克呂格投影。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,2,8.1 高斯投影概述 8.1.1控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求 應(yīng)當(dāng)采用等角投影(又稱(chēng)為正形投影) 長(zhǎng)度和面積變形不大 能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,3,8.1.2高斯投影描述 想象有一個(gè)橢圓柱面橫套在地

2、球橢球體外面，并與某一條子午線(xiàn)(此子午線(xiàn)稱(chēng)為中央子午線(xiàn)或軸子午線(xiàn))相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線(xiàn)兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面 。 我國(guó)規(guī)定按經(jīng)差 6和3進(jìn)行投 影分帶。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,4,工程測(cè)量控制網(wǎng)也可采用.5帶或任意帶，但為了測(cè)量成果的通用，需同國(guó)家6或3帶相聯(lián)系。 高斯投影6帶，自0子午線(xiàn)起每隔經(jīng)差6自西向東分帶，依次編號(hào)1，2，3，。 我國(guó)6帶中央子午線(xiàn)的經(jīng)度，由69起每隔6而至135，共計(jì)12帶，帶號(hào)用n表示，中央子午線(xiàn)的經(jīng)度用表示，它們的關(guān)系是 高斯投影3帶， L,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,5,高

3、斯平面直角坐標(biāo),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,6,在投影面上，中央子午線(xiàn)和赤道的投影都是直線(xiàn)，并且以中央子午線(xiàn)和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線(xiàn)的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,7,在我國(guó)x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱(chēng)為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。 Y=19 123 456.789m，該點(diǎn)位在19帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線(xiàn)而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500 000m，最后得y=-376 543.211m。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,8,高斯投影由于是正

4、形投影，故保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上的長(zhǎng)度比的同一性。由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長(zhǎng)度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡(jiǎn)便公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進(jìn)行。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,9,8.1.3 橢球面元素化算到高斯投影面 橢球面三角形投影后變?yōu)檫呴L(zhǎng)si的曲線(xiàn)三角形，且這些曲線(xiàn)都凹向縱坐標(biāo)軸,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,10,將橢球面三角系歸算到高斯投影面 1) 將起始點(diǎn)P的大地坐標(biāo)(L，B)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x,y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x,y反算B，L，這項(xiàng)工作統(tǒng)稱(chēng)為高斯投影坐

5、標(biāo)計(jì)算。 2) 將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊PK的坐標(biāo)方位角，這是通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線(xiàn)收斂角及方向改化實(shí)現(xiàn)的。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,11,3)將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線(xiàn)組成的三角形內(nèi)角。這是通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改化即方向改化來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 4) 將橢球面上起算邊PK的長(zhǎng)度S歸算到高斯平面上的直線(xiàn)長(zhǎng)度s。這是通過(guò)計(jì)算距離改化實(shí)現(xiàn)的。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,12,要將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、距離改化和子午線(xiàn)收斂角等項(xiàng)計(jì)算工作。 當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，以及為將各投影帶?lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。,南京工業(yè)大學(xué)土木

6、學(xué)院,13,8.2 正形投影的一般條件 特點(diǎn):正形投影中長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)但隨點(diǎn)位而異 8.2.1 長(zhǎng)度比的通用公式 投影前長(zhǎng)度 投影后長(zhǎng)度,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,14,令: 則:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,15,則長(zhǎng)度比 的表達(dá)式為: 由上式全微分得: 將其代入上式并令,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,16,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,17,8.2.2 柯西.黎曼條件 代入 式:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,18,并化簡(jiǎn)得: 如前所述,欲使投影為正形投影,則 應(yīng)與 無(wú)關(guān),為此,必須滿(mǎn)足:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,19,即: 由第一式得: 代入第二式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,20,得: 消去共同項(xiàng)得:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,

7、21,將上式開(kāi)方并代入由第一式得到的表達(dá)式得: 上式就是著名的柯西黎曼微分方程式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,22,通常我們?cè)谶x取橢球面和平面的坐標(biāo)軸時(shí) 要求橢球面上沿經(jīng)線(xiàn)方向 增加時(shí),平面上的 也增加，即 要求為正， 沿經(jīng)線(xiàn)方向 增加時(shí),平面上的也增加，即 要求 也為正。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,23,順便指出，在滿(mǎn)足 的條 件下： 上式在今后推導(dǎo)長(zhǎng)度比公式時(shí)常用到,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,24,8.3 高斯投影坐標(biāo)正反算公式 8.3.1高斯投影坐標(biāo)正算公式 高斯投影必須滿(mǎn)足以下三個(gè)條件： (1)中央子午線(xiàn)投影后為直線(xiàn)； (2)中央子午線(xiàn)投影后長(zhǎng)度不變； (3)投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。,南京

8、工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,25,復(fù)變函數(shù)中有關(guān)保角映射的定義及定理 定義：凡是具有保角性和伸縮率不變性的映 射稱(chēng)為保角映射。 定理：如果函數(shù) 在 處解析，且 那么這個(gè)映射 在 處是保角的。 定理（關(guān)于函數(shù)解析的充要條件） 函數(shù) 在其定義 域 內(nèi)解析的充要條件是： 和,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,26,在 內(nèi)任意一點(diǎn) 可 微，且滿(mǎn)足柯西黎曼條件方程式： 由于高斯投影是正形投影，故 和 必須滿(mǎn)足正形投影公式： 用復(fù)變函數(shù)理論可證明上式是保角映射，即 可證明：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,27,說(shuō)明： 是將橢球面正 形投影到平面上的一般公式 在橢球面上過(guò) 作一平行圈與中央子午線(xiàn) 相交于 處，設(shè)赤道到 的子午線(xiàn)弧 長(zhǎng)為,

9、南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,28,點(diǎn) 在平面上的投影點(diǎn)為 ，它的縱坐標(biāo) 為 由于高斯投影規(guī)定中央子午線(xiàn)投影為 軸， 且長(zhǎng)度保持不變，即 則 且 高斯投影中規(guī)定 為一小量，故 可按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在 點(diǎn)上展開(kāi)，得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,29,因?yàn)椋?故上式可改寫(xiě)為： 有復(fù)數(shù)相等的條件得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,30,因?yàn)椋?所以： 其次：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,31,繼續(xù)求得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,32,代入,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,33,得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,34,得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,35,8.3.2高斯投影坐標(biāo)反算公式 在高斯投影坐標(biāo)反算時(shí)，原面是高斯平 面，投影面是橢球面，已知的是平面坐

10、標(biāo) (x,y)，要求的是大地坐標(biāo)(B，L)，相應(yīng)地有 如下投影方程: 同正算一樣，對(duì)投影函數(shù)提出三個(gè)條件： (1)x坐標(biāo)軸投影成中央子午線(xiàn)，是投影的對(duì)稱(chēng)軸;,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,36,(2)x軸上的長(zhǎng)度投影保持不變； (3)正形投影條件。 反算公式的推導(dǎo)基本思路是:首先根據(jù) 計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的垂足緯度 , 接著計(jì)算 及經(jīng)差 ,最后得到:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,37,已知 求 ，這是高斯投影的反 算問(wèn)題。因投影是正形的，故 與 必須滿(mǎn)足： 式中 值和橢球半 徑相比也是不大的，故 上式可在點(diǎn) 的底點(diǎn) 處按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)， 點(diǎn)的坐標(biāo)為,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,38,于是有: 根據(jù)高斯投影條件

11、2：中央子午線(xiàn)投影后應(yīng) 為 軸，且長(zhǎng)度保持不變，故有 則： 即： 且: ( 為底點(diǎn) 的子午線(xiàn)弧長(zhǎng)) 故:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,39,所以有: 再根據(jù): 可進(jìn)一步導(dǎo)出其他各階導(dǎo)數(shù),將各階導(dǎo)數(shù)代入,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,40,并把虛實(shí)兩部分分開(kāi),可得:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,41,實(shí)際應(yīng)用時(shí),還應(yīng)把 換以 ，為此要運(yùn)用下面兩式：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,42,先將該兩式中凡有下標(biāo)0的各量換以下標(biāo) 隨后將上式中的 一律用推導(dǎo) 出來(lái)的結(jié)果代入，經(jīng)整理后便得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,43,8.3.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,44,反算公式：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,45,高斯

12、投影的特點(diǎn) (1)當(dāng) 等于常數(shù)時(shí)，隨著B(niǎo)的增加x值增大，y值減?。挥忠?，所以無(wú)論B值為正或負(fù)，y值不變。這就是說(shuō)，橢球面 上除中央子午線(xiàn)外，其他子 午線(xiàn)投影后，均向中央子午 線(xiàn)彎曲，并向兩極收斂，同 時(shí)還對(duì)稱(chēng)于中央子午線(xiàn)和 赤道。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,46,(2)當(dāng)B等于常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對(duì)稱(chēng)于赤道的緯圈，投影后仍成為對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，同時(shí)與子午線(xiàn)的投影曲線(xiàn)互相垂直凹向兩極。 (3)距中央子午線(xiàn)愈遠(yuǎn)的子午線(xiàn)，投影后彎曲愈厲害，長(zhǎng)度變形也愈大。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,47,8.4 高斯投影坐標(biāo)計(jì)算的實(shí)用公式及 算例 8.4.1 高斯投影正算公式: 縱坐標(biāo)：,南京工

13、業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,48,橫坐標(biāo)：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,49,在編表時(shí)引用下列符號(hào):,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,50,同樣,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,51,于是有: 這就是用于查表的實(shí)用公式 都可以緯度為引數(shù), 和 以 為引數(shù)。其中 需進(jìn) 行二次內(nèi)插,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,52,8.4.2.高斯投影反算公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,53,經(jīng)差 ：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,54,在編表時(shí)引用下列符號(hào):,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,55,同樣：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,56,于是有:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,57,8.4.3.適用于電算的高斯坐標(biāo)計(jì)算公式 1.高斯投影正算公式: 令：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,58,式中有關(guān)

14、參數(shù)如下： 對(duì)于克拉索夫斯基橢球,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,59,對(duì)于1975國(guó)際橢球： 其中子午線(xiàn)弧長(zhǎng) 可按下式計(jì)算： 對(duì)于克拉索夫斯基橢球：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,60,對(duì)于克拉索夫斯基橢球： 對(duì)于1975國(guó)際橢球：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,61,當(dāng)把有關(guān)克氏橢球參數(shù)代入原始式后，經(jīng) 過(guò)簡(jiǎn)單變化，可以得到更實(shí)用的正算電算公 式：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,62,式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,63,當(dāng)把1975國(guó)際橢球參數(shù)代入原始式后，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn) 單變化，可以得到更實(shí)用的正算電算公式：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,64,式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,65,2.高斯投影反算公式:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,66,底點(diǎn)

15、緯度 可直接按下式求解： 對(duì)于克拉索夫橢球，當(dāng) 時(shí),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,67,當(dāng) 時(shí)：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,68,對(duì)于1975國(guó)際橢球：當(dāng) 時(shí),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,69,當(dāng) 時(shí) 式中 均以“千公里”為單位。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,70,當(dāng)把有關(guān)克氏橢球參數(shù)代入原始式后，經(jīng) 過(guò)簡(jiǎn)單變化，可以得到更實(shí)用的正算電算公 式：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,71,式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,72,且：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,73,當(dāng)把1975國(guó)際橢球參數(shù)代入原始式后，經(jīng)過(guò) 簡(jiǎn)單變化，可以得到更實(shí)用的正算電算公式： 式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,74,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,75,8.5平面子午線(xiàn)收斂角公式

16、 8.5.1平面子午線(xiàn)收斂角的定義,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,76,8.5.2公式推導(dǎo) 1.由大地坐標(biāo)L、B計(jì)算平面子午線(xiàn)收斂角的公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,77,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,78,(1) 為 的奇函數(shù)，而且 愈大， 也愈大； (2) 有正負(fù)，當(dāng)描寫(xiě)點(diǎn)在中央子午線(xiàn)以東時(shí)， 為正；在西時(shí)， 為負(fù)； (3)當(dāng) 不變時(shí)，則 隨緯度增加而增大。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,79,2.由平面坐標(biāo) 計(jì)算平面子午線(xiàn)收斂角的公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,80,8.6 方向改化公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,81,8.6.1方向改化近似公式的推導(dǎo) 在球面上四邊形ABED的內(nèi)角之和等于 由于是等角投影，所以這兩個(gè)四邊形

17、內(nèi)角之和應(yīng)該相等，即,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,82,而:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,83,8.6.2方向改化較精密公式 ： 上式精確至 ，故通常用于二等三角 測(cè)量計(jì)算。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,84,若 ，則需用下面的精密公式計(jì)算：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,85,8.6.3實(shí)用公式及算例,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,86,于是，可把方向改正的實(shí)用公式匯總?cè)缦拢?對(duì)于一等三角測(cè)量，有 對(duì)于二等三角測(cè)量，有,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,87,對(duì)于三、四等三角測(cè)量，有,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,88,8.7 距離改化公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,89,8.7.1 s與D的關(guān)系,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,90,8.7.2長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度

18、變形 1.用大地坐標(biāo) 表示的長(zhǎng)度比 的公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,91,對(duì) 求偏導(dǎo)： 或,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,92,上式即為用大地坐標(biāo) 求長(zhǎng)度比的 近似公式，現(xiàn)不加推導(dǎo)直接寫(xiě)出更精確的長(zhǎng) 度比的計(jì)算公式：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,93,或?qū)懗桑?式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,94,2.用平面坐標(biāo) 表示的長(zhǎng)度比 的公式 為此取下式的主項(xiàng)， 解出,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,95,代入： 得： 因?yàn)椋?所以上式變?yōu)椋?南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,96,同理也可以得到更精確的長(zhǎng)度比公式： 或?qū)懗桑?式中,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,97,下表給出長(zhǎng)度比的大約數(shù)值 (1)長(zhǎng)度比 只與點(diǎn)的位置 或 有關(guān) (2)中央子午線(xiàn)

19、投影后長(zhǎng)度不變 (3)當(dāng) (或 )時(shí)， 恒大于1,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,98,(4)長(zhǎng)度變形 與 （或 ）成比例地增大 ,而對(duì)某一條子午線(xiàn)來(lái)說(shuō)，在赤道處有最大的變形。 8.7.3 距離改化公式 將橢球面上大地線(xiàn)長(zhǎng)度 描寫(xiě)在高斯投影 面上，變?yōu)槠矫骈L(zhǎng)度,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,99,故距離改化公式為 更精密的距離改化公式為 上式計(jì)算精度可達(dá) 。要使計(jì)算要求達(dá) ，則有更精確的距離改化公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,100,即：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,101,8.8 高斯投影的鄰帶坐標(biāo)換算 (1)位于兩個(gè)相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個(gè)投影帶(東、西帶)的控制網(wǎng),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,102,(2)在分界子午線(xiàn)附

20、近地區(qū)測(cè)圖時(shí)，往往需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中 (3)當(dāng)大比例尺(110 000或更大)測(cè)圖時(shí)，特別是在工程測(cè)量中，要求采用3帶、1.5帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有6帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了6帶同3帶(或1.5帶、任意帶)之間的相互坐標(biāo)換算問(wèn)題。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,103,8.8.1用高斯投影正、反算公式進(jìn)行鄰帶換算 - 間接換帶 利用高斯投影正反算公式進(jìn)行鄰帶坐標(biāo)換 算的實(shí)質(zhì)是把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過(guò)渡 坐標(biāo)。 計(jì)算步驟: (1) (2)求出 (對(duì)于相鄰帶中央子 午線(xiàn)的經(jīng)差) (3),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,104,8.8.2 直接換帶法-金揚(yáng)善換

21、帶公式 1.基本原理 將 (1)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的選擇及其作用 設(shè): 則: 將一點(diǎn)兩帶的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)一帶,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,105,如圖:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,106,如圖: 為西帶的坐標(biāo)系 和 分別為 點(diǎn)和 點(diǎn)在西帶的投 影。 （2）輔助點(diǎn)的選擇 建立 和 間的關(guān)系，通過(guò)選擇 輔助點(diǎn)實(shí)現(xiàn)之。 將輔助點(diǎn)選擇在 分帶子午線(xiàn)上。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,107,（3）公式的建立： 有圖知： 則： 而：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,108,由坐標(biāo)增量公式得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,109,顯然：欲求 只要求得 為已知 而欲求 只要求得 即可，因?yàn)?也是已知的。 也是可求的,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,110,若令：

22、 （見(jiàn)圖），則公式推導(dǎo)就簡(jiǎn)單了。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,111,以上就是鄰帶換算的基本原理 下面進(jìn)一步討論求得 和 的方法： 2.公式推導(dǎo) 由 得,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,112,得 ： 因?yàn)?很小，略去 項(xiàng)，并展開(kāi),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,113,得： 由于： 則：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,114,所以： 同理： 則：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,115,略去： 和 項(xiàng)得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,116,顧及： 式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,117,而：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,118,所以： 略去： 得：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,119,同理：,同理：,同理：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,120,上式不能直接應(yīng)

23、用，因?yàn)橛叶撕?和 因此，必須用逐次趨近法來(lái)求它們。有上式 右端第一項(xiàng)作為 和 的近似值，即： 代入上式得,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,121,即:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,122,又因?yàn)? 故: 以上我們推出了公式的主要項(xiàng),實(shí)際上上式中 項(xiàng)的系數(shù)比這里寫(xiě)的要復(fù)雜得多。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,123,于是得到換帶公式： 用上面推導(dǎo)的公式進(jìn)行換帶計(jì)算時(shí)，在最 不利的情況下，誤差不超過(guò)一米，若需換算 誤差不大于0.002m的公式則有:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,124,有:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,125,同樣:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,126,3.三度帶與六度帶的相互換算 有圖可知: 三度帶和六度帶有以 下關(guān)系: 即半數(shù)三度帶(帶號(hào) 為奇數(shù))的中央子午 線(xiàn)和六度帶的中央子 午線(xiàn)重合;而半數(shù)三 度帶(帶號(hào)為偶數(shù)) 的中央子午線(xiàn)和六 度帶的分帶子午線(xiàn),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,127,重合。因此，對(duì)于前者，由于軸子午線(xiàn)