1、第五章 靜力學(xué)應(yīng)用專題,第一節(jié) 桁 架,一、概述,桁架是由許多直桿按適當(dāng)方式分別在兩端連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。,特點(diǎn)：桿件截面受力均勻，因而可節(jié)省材料，減少自重，所以在工程上應(yīng)用很廣。,第一節(jié) 桁 架,房屋和橋梁上常采用桁架結(jié)構(gòu)；水利工程上的閘門以及起重機(jī)、高壓輸電線塔等采用桁架結(jié)構(gòu)的也很多。,圖5-1 房屋結(jié)構(gòu),第一節(jié) 桁 架,圖5-2 橋梁結(jié)構(gòu),第一節(jié) 桁 架,第一節(jié) 桁 架,鐵 塔,桁架中桿件與桿件的連接點(diǎn)，稱為結(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)。所有桿件的軸線都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架；桿件軸線不在同一平面內(nèi)的桁架則稱為空間桁架。,設(shè)計桁架時，必須首先根據(jù)作用于桁架的荷載，確定各桿件所受的力內(nèi)力。

2、桿件內(nèi)力可用靜力學(xué)平衡方程求得的桁架，稱為架靜定桁。,第一節(jié) 桁 架,實(shí)際桁架的構(gòu)造和受力情況較復(fù)雜，作為初步分析，為了簡化計算，通常采用如下基本假設(shè)：,桿端用光滑鉸連接，鉸的中心就是節(jié)點(diǎn) 的位置；各桿的軸線都通過節(jié)點(diǎn)。,所有外力（包括荷載和支座反力）都集中作用于節(jié)點(diǎn)。對于平面桁架，還假設(shè)所有荷載都在各桿軸線所在的中央平面內(nèi)。,第一節(jié) 桁 架,假設(shè)所有外力都作用于節(jié)點(diǎn)，而且各桿是光鉸鏈連接，所以每一桿件只在兩端受力，是二力桿。 作用于桿件兩端的兩個力必定沿著桿件的軸線作用，這種力稱為軸向力。它們只在桿件內(nèi)引起拉力或壓力。,第一節(jié) 桁 架,考察桁架中的任一桿件AB 。該桿兩端A、B各受力F1及F

3、2；由桿AB的平衡可知，F(xiàn)1及F2必須大小相等，方向相反，并沿軸線AB作用。 現(xiàn)在假想在任一處M將桿截斷，則由左邊部分AM的平衡可知，橫截面M上必受到右邊部分的作用力FN，而且FN= - F1 ，力FN就是桿AB的內(nèi)力。,第一節(jié) 桁 架,桿件的內(nèi)力是沿著桿件軸線作用的拉力或壓力，而且，對于同一桿件來說，各橫截面上的內(nèi)力是相同的。進(jìn)行計算時，總是假想在任一處將桿件截斷，求出它的內(nèi)力。,注意：上述結(jié)論是根據(jù)兩個假設(shè)，通過簡化得到的，與實(shí)際情況并不完全相符。 首先，桿件的連接方法多半不是鉸接，而是榫接（木材）或鉚接、焊接（鋼材）或剛性連接（鋼筋混凝土）；即使采用鉸接，鉸與桿件之間也總有些摩擦等。 其

4、次，假設(shè)外力集中于節(jié)點(diǎn)也并不完全可能，桿件本身的重量就無法使其集中于兩端。 再次，使桿件的軸線準(zhǔn)確地通過節(jié)點(diǎn)，在施工上也有困難。,第一節(jié) 桁 架,在以上的討論中，都沒有考慮桿件的變形。事實(shí)上，桿件并非剛體，受力后必將發(fā)生變形。實(shí)踐證明，對于一般的結(jié)構(gòu)物用的桁架不考慮桿件變形，并根據(jù)上述假設(shè)進(jìn)行分析計算，所得結(jié)果已能滿足設(shè)計要求。,一般來說，實(shí)際結(jié)構(gòu)中的桿件受力情況比較復(fù)雜，除了桿端不是光滑鉸連接外，所受外力沿桿軸線的變化也各不相同。 計算桿件橫截面上的內(nèi)力，常采用截面法：即用一假想截面在需求內(nèi)力的截面處將桿件切斷，考慮其中任一部分的平衡，求該截面上的內(nèi)力。,第一節(jié) 桁 架,設(shè)向截面形心O點(diǎn)簡化

5、，得到主矢FR和主矩MO。根據(jù)工程上的需要，也為了便于計算，常將主矢FR和MO主矩沿直角坐標(biāo)軸分解得到各個內(nèi)力分量。,若考察桿件左邊部分（如圖），右邊部分將對其有作用力，無論桿件橫截面上內(nèi)力分布如何復(fù)雜，根據(jù)力系簡化理論，總可以向該截面內(nèi)某一點(diǎn)簡化，得到一主矢量和一主矩，分別稱為內(nèi)力主矢和內(nèi)力主矩。,第一節(jié) 桁 架,圖5-5 內(nèi)力分量,過點(diǎn)作直角坐標(biāo)系Oxyz，使橫截面位于yz平面內(nèi)，x軸沿桿軸線，其正向與截面的外法線一致，可得FR的三個分量為Fx、Fy、Fz，MO的三個分量為Mx、My、Mz，如圖5-5所示。,第一節(jié) 桁 架,力Fx 垂直于截面，稱為軸力； 力Fy、Fz 平行于截面，稱為剪力

6、； 力偶 Mx 有使截面繞桿軸線轉(zhuǎn)動的趨勢，稱為扭矩； 力偶 My、Mz 分別有使截面繞 y 軸和 z 軸轉(zhuǎn)動（使桿 發(fā)生彎曲）的趨勢，稱為彎矩。,第一節(jié) 桁 架,二、桁架內(nèi)力分析的節(jié)點(diǎn)法,桁架受到外力作用時，整個桁架保持平衡，如截取桁架的任一部分來考察，該部分也必然處于平衡狀態(tài)。,節(jié)點(diǎn)法就是假想將某一節(jié)點(diǎn)周圍的桿件截斷，取該節(jié)點(diǎn)作為考察的對象，則節(jié)點(diǎn)在外力和被截斷的那些桿件的內(nèi)力作用下保持平衡。,作用于節(jié)點(diǎn)的外力和桿件的內(nèi)力組成一平衡的匯交力系,由平衡條件可以求出未知的桿件內(nèi)力。,第一節(jié) 桁 架,對于平面桁架，因?yàn)槠矫鎱R交力系只有兩個獨(dú)立的平衡方程，所以，在選取節(jié)點(diǎn)時應(yīng)使匯交于該節(jié)點(diǎn)的未知力

7、不超過兩個。對于空間桁架，則一般不應(yīng)超過三個。,計算內(nèi)力時，總是假設(shè)每一桿件都受拉力；如果某一桿件的內(nèi)力計算結(jié)果是負(fù)值，就表示桿件的內(nèi)力是壓力。 由于桿件承受拉力的能力與承受壓力的能力不同，設(shè)計時對受壓桿件的考慮與對受拉桿件的考慮大不一樣，必須十分重視。,第一節(jié) 桁 架,試求圖5-6 (a)所示桁架中各桿的內(nèi)力。,圖5-6 例5-1附圖,解： 首先考慮整個桁架的平衡，求支座反力。,例5-1,第一節(jié) 桁 架,解得：,由于桁架結(jié)構(gòu)及所受外力(包括荷載和約束反力)都對稱于中線DE，所以桁架中對稱桿件的內(nèi)力必定相同。 因此，只需計算其右半部分(或左半部分)各桿的內(nèi)力?，F(xiàn)列表計算如下：,例5-1,第一節(jié)

8、 桁 架,表5-1 桿件內(nèi)力計算,例5-1,第一節(jié) 桁 架,注意：計算時構(gòu)件內(nèi)力均設(shè)為拉力，如果算得某桿件內(nèi)力為負(fù)值，即為壓力。,桁架各桿的內(nèi)力常用圖5-6b的形式表示出來。,例5-1,通常，無需計算，根據(jù)觀察即可判定哪些桿件是零桿。,本例中有兩根桿件BC及FG的內(nèi)力是零，在結(jié)構(gòu)上常將內(nèi)力為零的桿件稱為零桿。,第一節(jié) 桁 架,判斷平面桁架零桿的準(zhǔn)則：,如果某一結(jié)點(diǎn)有三根桿件相交，其中兩根在一直線上，且該節(jié)點(diǎn)不受外力作用，則第三根桿件（不必一定與另兩根桿件垂直）必為零桿。,如果一結(jié)點(diǎn)只有兩根不共線的桿件，又別無外力，該兩桿件必然都是零桿。,例5-1,第一節(jié) 桁 架,空間桁架如圖5-7a所示。已知

9、ABC與DEF為全等等邊三角形，AD、BE、CF三桿等長并垂直于水平面，桿1 、2、3與鉛直線的夾角均等于30。求桿1、2、3、4、5、6的內(nèi)力。,圖5-7a 例5-2附圖,例5-2,第一節(jié) 桁 架,解：首先考慮節(jié)點(diǎn)G 的平衡，如圖5-7b。 由對稱條件可知FN1=FN2=FN3,又由:,圖5-7 b 例5-2附圖,例5-2,第一節(jié) 桁 架,圖5-7c 例5-2附圖c,例5-2,再考慮節(jié)點(diǎn)D的平衡，取直角坐標(biāo)系Dxyz如圖。 列出平衡方程:,第一節(jié) 桁 架,解得 :,匯交于一節(jié)點(diǎn)的各桿中，除某一桿外其余各桿都在同一平面內(nèi)，且該節(jié)點(diǎn)不受外力，或者外力也與其余各桿共面，則不共面的那一直桿必為零桿。

10、,如果一節(jié)點(diǎn)只有不共面的三根桿件，又別無外力，該三桿都是零桿。,空間桁架有時也會出現(xiàn)零桿。判斷空間桁架零桿的準(zhǔn)則：,例5-2,第一節(jié) 桁 架,三、平面桁架內(nèi)力分析的截面法,因?yàn)槠矫嫒我饬ο抵挥腥齻€獨(dú)立的平衡方程，所以被截斷的桿件的未知內(nèi)力一般不超過三個。但在特殊情況下可以多于三個。,第一節(jié) 桁 架,應(yīng)用截面法時，必須注意截面的選取，對截面形狀并無任何限制，可以是平面，也可以是曲面。,對某些較復(fù)雜的桁架，有時需要聯(lián)合應(yīng)用截面法與結(jié)點(diǎn)法，才能較方便地求出各桿內(nèi)力。,截面法適用于 只需求出某幾 根桿件的內(nèi)力 的情況。,第一節(jié) 桁 架,試求圖(5-8a)所示桁架中、桿的內(nèi)力。,圖5-8 例5-3附圖,

11、解：首先考慮整個桁架的平衡，求出支座反力FA=0.8FP，F(xiàn)K=0.2FP。 然后用截面m-m將桁架分截成兩部分，取右邊部分考察其平衡。,例5-3,第一節(jié) 桁 架,例5-3,由,第一節(jié) 桁 架,得到 ：,由,求得 ：,例5-3,第一節(jié) 桁 架,試求圖(5-9a)所示的懸臂桁架中桿的內(nèi)力。,圖5-9 例5-4附圖,解： 對于懸臂式桁架，不必先求反力。 用截面n-n將桿及、截斷，取右邊部分考察。,例5-4,第一節(jié) 桁 架,圖5-9（b） 例5-4附圖,于是有：,解得 :,例5-4,第一節(jié) 桁 架,求上例中懸臂桁架的及兩桿的內(nèi)力。,解: 如用結(jié)點(diǎn)法，從結(jié)點(diǎn)L開始，依LKJI 的次序考慮各結(jié)點(diǎn)的平衡，

12、必能求得DF及EF的內(nèi)力，但計算太多，過于麻煩。,例5-5,如用截面將DF、EF兩桿截斷，則同時被截斷的桿件將在根以上，不能直接求得。聯(lián)合應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法與截面法。,第一節(jié) 桁 架,解得：,然后再用截面將DG、DF、EF、EH各桿截斷，取右邊為考察對象，如圖5-10 b。,例5-5,先考慮結(jié)點(diǎn)F：,第一節(jié) 桁 架,取軸鉛直，由,得,將 FNFDFNFE 代入， 解得:,例5-5,第一節(jié) 桁 架,第一節(jié) 桁 架,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,一、概述,前面討論物體平衡時，兩物體間的接觸面都假設(shè)是完全光滑的。由經(jīng)驗(yàn)可知，這種完全光滑的接觸是不存在的，兩物體的接觸面之間一般都有摩擦。 只是在有些問題中，

13、摩擦力可能很小，對所研究的問題屬于次要因素，可以忽略不計，因而也就可以把接觸面看作是光滑的。但是，對于另外一些實(shí)際問題，摩擦卻是重要的甚至是決定性的因素，必須加以考慮。例如重力壩與擋土墻的滑動穩(wěn)定問題，帶輪和摩擦輪的轉(zhuǎn)動等等，,當(dāng)兩物體接觸處有相對滑動或有相對滑動趨勢時，在接觸處的公切面內(nèi)所受到的阻礙稱為滑動摩擦。,按照接觸物體之間相對運(yùn)動的情況分類，摩擦可分為滑動摩擦與滾動摩擦兩類。,如活塞在汽缸中滑動，軸在滑動軸承中轉(zhuǎn)動等。,當(dāng)兩物體有相對滾動或有相對滾動趨勢時，物體間產(chǎn)生的對滾動的阻礙稱為滾動摩擦。,如車輪在地面上滾動，滾動軸承中的滾珠在軸承中滾動等。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,當(dāng)

14、兩物體接觸處沿著接觸點(diǎn)的公切面有相對滑動或有相對滑動趨勢時，彼此作用著阻礙相對滑動的力，稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。,二、滑動摩擦,由于摩擦力阻礙兩物體相對滑動，所以它的方向必與物體相對滑動的方向或相對滑動趨勢的方向相反。 摩擦力的大小，則將隨不同的情況而各異。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,設(shè)將重F 的物體放在水平面上，并施加一水平力FT 。當(dāng)FT 的大小不超過某一數(shù)值時，物體仍可保持靜止。水平面對物體除了有法向反力FN 外，還有一摩擦力F。這時的摩擦力F 稱為靜摩擦力。,根據(jù)物體的平衡條件， 有： FFT,當(dāng)FT 增大到一定數(shù)值時，物體就將開始滑動。這說明摩擦力不能無限增大而有一極限值。

15、,當(dāng)靜摩擦力達(dá)到極限值時，物體處于滑動臨界狀態(tài)，這時的摩擦力稱為極限摩擦力或最大靜摩擦力。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,可見，靜摩擦力的大小，由平衡條件決定，但必介于零與極限摩擦力的大小之間。 如以FL表示極限摩擦力 ，則靜摩擦力F 的變化范圍為 FL,（5-1）,這一關(guān)系稱為庫倫摩擦定律。 式中比例常數(shù) fs 稱為靜摩擦因數(shù)，它的大小與接觸體的材料以及接觸面狀況（粗糙度、濕度、溫度等）有關(guān)。,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：極限摩擦力的大小與接觸面之間的正壓力（即法向反力）FN 成正比，即：,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,物體間有相對滑動時的摩擦力稱為動摩擦力。,動摩擦力與法向反力也有與式（5-1）相同

16、的近似關(guān)系：動摩擦力的大小與接觸面之間的正壓力（法向反力）成正比。如以 F 代表動摩擦力 F 的大小，則有:,（5-2）,式中 f 也是一個無量綱的比例常數(shù)，稱為動摩擦因數(shù)。動摩擦因數(shù) f 隨兩物體相對滑動的速度而變化。 動摩擦因數(shù)一般比靜摩擦因數(shù)略小,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,當(dāng)存在摩擦?xí)r，支承面對物體的約束力包括法向反力FN與摩擦力F，這兩個力的合力FR 就是支承面對物體作用的全約束反力。 當(dāng)摩擦力達(dá)到極限摩擦力FL時， FR與FN所成的角達(dá)到最大值m ， m稱為靜摩擦角，簡稱摩擦角。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,由上圖可見,與式（5-1）比較得：,即：摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)

17、。,如通過接觸點(diǎn)在不同的方向畫出在極限摩擦情況下的全約束反力的作用線，則這些直線將形成一個錐面，稱為摩擦錐。,如沿接觸面的各個方向的摩擦因數(shù)都相同，則摩擦錐是一個頂角為2m的圓錐(圖5-13)。,圖5-13 摩擦錐,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,全約束反力FR的作用線不可能超出摩擦錐，所以物體所受的主動力的合力FQ的作用線必須在摩擦錐內(nèi)，物體才不致滑動。,而且，只要 FQ 的作用線在摩擦錐內(nèi)，不論 FQ 多么大，物體總能保持靜止，這種現(xiàn)象稱為“自鎖”。,圖5-13 摩擦錐,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,有摩擦的平衡問題與無摩擦的平衡問題求解過程相同，只是由于

18、靜摩擦力的大小可在F Fmax范圍變化，因而物體平衡位置或所受的力也有一個變化范圍。 通?？梢匀∥矬w的臨界狀態(tài)進(jìn)行分析，來確定平衡位置或受力大小的邊界值。這個過程，可稱之為臨界狀態(tài)分析法。 這時極限摩擦力的方向不能任意假設(shè)，必須根據(jù)相對滑的動趨勢確定。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,3 有摩擦的平衡問題,另一種情況是：需要確定物體在某一位置或在一定力作用下能否保持平衡。 此時，可以把摩擦力看成是約束力，假設(shè)物體是平衡的，通過平衡方程求出摩擦力F 和法向約束力FN ，然后將F與極限摩擦力Fmax 進(jìn)行比較，如|F|Fmax，則物體能保持平衡；否則物體不能保持平衡。這個過程可稱之為假設(shè)狀態(tài)分析法

19、。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,重FP 的物塊放在傾角大于摩擦角m的斜面上(圖5-14a)，另加一水平力FT 使物塊保持靜止。求的 FT 最小值與最大值。設(shè)摩擦因數(shù)為 fs 。,圖5-14a,解: 因m，如FT 太小，則物塊將下滑；如 FT 過大，又將使物塊上滑，所以需要分兩種情形加以討論。,先求恰能維持物塊不下滑所需力的最小值FTmin。,例5-6,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,圖5-14 b,這時物塊有下滑的趨勢，所以摩擦力向上，如圖5-14b。寫出平衡方程：,由式（）得：,例5-6,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,代入（）式，得 ：,（d）,其次，求不使物塊向上滑動的最大值FTma

20、x。這時摩擦力指向下（如圖）。,例5-6,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,由式（）、（）及,可見，要使物塊在斜面上保持靜止，力 FT 必須滿足以下條件：,例5-6,寫出平衡方程：,（e）,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,本題若用摩擦角求解，則更簡單。 當(dāng)FT 有最小值時，物體受力如圖5-15a所示， 其中FR 是斜面對物塊的全約束反力。這時FP、FTmin 及FR 三力成平衡，力三角形應(yīng)閉合(圖5-15b)。于是得到:,例5-6,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,圖5-15,如果=m，則FTmin，無須施加力FT 物塊已能平衡。這時，只要略為增加，物塊即將下滑。,在臨界狀態(tài)下的角稱為休止角，它可

21、用來測定摩擦因數(shù)。,例5-6,當(dāng)FT有最大值時，物塊受力如圖5-15c所示，力三角形如圖5-15d，于是有:,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,梯子AB長l，一端支于地板，另一端靠在墻上，梯與地板成角 (圖5-16)。若梯與地板及墻壁之間的靜摩擦角都等于m，不計梯重，求重為FP的人沿梯上行而梯不滑倒的距離。設(shè)墻壁與地板垂直。,圖5-16 例5-7附圖,例5-7,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,解: 當(dāng)人上行的距離達(dá)到極限值xmax，梯子即將開始滑動時，、兩點(diǎn)的全反力都與接觸面的法線成角m (圖5-16)。,由直角三角形ABC及BCD中的幾何關(guān)系可知:,例5-7,延長FRA及FRB的作用線交于點(diǎn)C

22、，重力FP必須通過點(diǎn)C，三力才能平衡。這時，人所在位置就是極限位置。因墻壁與地板垂直，所以ACBC。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,因此，要使梯不滑倒，人上行的距離應(yīng)為xmax，即:,故當(dāng)有一定值時，人上行的最大距離決定于摩擦角，而與人重FP無關(guān)。,例5-7,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,一皮帶傳動裝置采用摩擦制動器制動，各部分尺寸如圖示，已知l =1m， a0.4m，R=0.3m，r=0.15m，r1=0.2m，b=0.02m。皮帶輪與摩擦輪固結(jié)在一起并套在同一軸上。若已知作用在輪上的轉(zhuǎn)動力矩M=60kN，閘塊與摩擦輪之間的摩擦因數(shù) fs0.8，制動力FP332kN。,圖5-17a,例5

23、-8,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,解: 分別取輪、輪、輪及桿AB來考慮，各部分受力如圖 所示。首先假設(shè)系統(tǒng)能保持平衡 (即能制動）,例5-8,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,由圖(5-17b)列平衡方程 :,解得:,再由圖(5-17c)列平衡方程:,例5-8,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,又因F1 =F1，F(xiàn)2 = F2 ，于是由式，,可得:,由圖(5-17d)列平衡方程:,又因F1 =F1，F(xiàn)2 = F2 ，故求得：,例5-8,解得:,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,此時閘塊處所能產(chǎn)生的極限摩擦力大小FL=fsFN=0.8800=640kN， 假設(shè)能制動情況下，摩擦力F=600kNFL，所以在制動力FP=332kN作用下，系統(tǒng)能制動。,例5-8,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,將一半徑為r、重為FQ 的輪子放在水平面上，在輪心加一水平力FT 如圖所示，并假定接觸處有足夠的摩擦阻止輪子滑動。 假如輪子與地面都是剛體，則兩者接觸于I點(diǎn)，法向反力FN 和摩擦力 F 都作用于 I 點(diǎn)。,第二節(jié) 摩擦及有摩擦的平衡問題,顯然FN FQ，由輪子不滑動的條件知F FT。這時FN與FQ互成平衡，而F與FT則組成一力偶,不論FT的值多么小，都將使輪子滾動。 但由經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)力FT較小時，輪子并不滾動，可見必另有一個力偶阻礙輪子滾動，該