1、第五節(jié) 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程,這是一類(lèi)有專(zhuān)門(mén)的求解方法微分方程,定義 形如ypyqyf(x)的方程稱(chēng)為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程 其中p, q是常數(shù), f(x)稱(chēng)為自由項(xiàng).,特別地, 當(dāng)f(x)=0時(shí), ypyqy0稱(chēng)為二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程 否則稱(chēng)為線(xiàn)性非齊次微分方程.,證畢,是方程,的兩個(gè)解,也是該方程,證:,代入方程左邊, 得,定理.(疊加原理),的解.,定理表明, 二階線(xiàn)性齊次微分方程任何兩個(gè)解 y1(x), y2(x) 的線(xiàn)性組合,那么,是不是方程的通解呢？,仍是方程的解.,例. 對(duì)于二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程,容易驗(yàn)證:,也是它的解. 但這個(gè)解中只含有一個(gè)任意常數(shù)C, 顯然它

2、不是所給方程的通解.,由定理知,都是它的解.,問(wèn)題: 方程的兩個(gè)特解 y1(x), y2(x) 滿(mǎn)足什么條件時(shí),的通解？,由例7-12的分析可知, 如果方程的兩個(gè)特解y1(x), y2(x)之間不是常數(shù)倍的關(guān)系, 那么它們線(xiàn)性組合得到的解,就必定是方程的通解.,才是方程,定義 設(shè)y1(x) 與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù), 如果存在不為零的常數(shù)k (或存在不全為零的常數(shù)k1, k2), 使得對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的一切x, 有,成立, 則稱(chēng)函數(shù)y1(x) 與y2(x) 在該區(qū)間內(nèi)線(xiàn)性相關(guān), 否則稱(chēng)y1(x)與y2(x)線(xiàn)性無(wú)關(guān).,思考:,中有一個(gè)恒為0, 則,必線(xiàn)性,相關(guān),定理. (二階齊次線(xiàn)性

3、方程通解的結(jié)構(gòu)),是二階線(xiàn)性齊次方程的兩個(gè),線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解, 則,數(shù)) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常數(shù),故方程的通解為,將yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0,分析 考慮到當(dāng)y, y, y為同類(lèi)函數(shù)時(shí) 有可能使ypyqy 恒等于零 而函數(shù)erx具有這種性質(zhì) 所以猜想erx是方程的解,二階齊次線(xiàn)性方程通解的求法,由此可見(jiàn) 只要r滿(mǎn)足代數(shù)方程r2prq0 函數(shù)yerx 就是微分方程的解,r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程的求根公式為,(1) 當(dāng),時(shí), 方程有兩個(gè)相異實(shí)根,則微分方程有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解:,因此方程的通解為,設(shè)r1, r2是

4、特征方程的兩個(gè)根.,(2) 當(dāng),時(shí), 特征方程有兩相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解為, ( u(x) 待定).,是特征方程的重根,取u=x, 得,因此原方程的通解為,得:,代入原微分方程,(3) 當(dāng),時(shí), 方程有一對(duì)共軛復(fù)根,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理, 得原方程線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解:,因此原方程的通解為,實(shí)根,特 征 根,通 解,(1) 寫(xiě)出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 (2) 求出特征方程的兩個(gè)根r1, r2,求y+py+qy=0的通解的步驟:,(3) 根據(jù)特征方程根的不同情況, 寫(xiě)出微分方 程的通解.,因此微分方程的通解為yC1exC2e3x,例1 求微分方程y2y3y0的通解,解:,微分方程的特征方程為,r22r30,特征方程有兩個(gè)不等的實(shí)根r11 r23,即(r1)(r3)0,例2 求解初值問(wèn)題,解: 特征方程, 特征根為,因此原方程的通解為,由初始條件得,于是所求初值問(wèn)題的解為,例3 求微分方