1、第19章 用不確定信息進(jìn)行推理,第三部分 知識的表示和推理,在一般邏輯中，我們能從P和P Q中推導(dǎo)出Q，即，如果一個agent知道P Q，它隨后學(xué)會了P，那么它也能推導(dǎo)出Q。當(dāng)信息不確定時有類似的推理過程嗎? 在本章的開始，先回顧一下概率論的基礎(chǔ)知識。,概率論簡介,基本思想,隨機變量代表一個所討論領(lǐng)域的特征。隨機變量的值可以是不同類型。如果變量代表命題，它們的值為True或False(或者，1或0)；如果變量代表物理度量(如高度、密度和速度等)，則值是數(shù)字；如果變量代表分類(如顏色、字母表巾的字母等)，則值是范疇。 我們用表達(dá)p(V1=v1， V2=v2，Vk=vk)指稱一個聯(lián)合概率，即變量V

2、1，V2，Vk 的值分別是v1，v2，vk 時的概率。表達(dá)式p(V1， V2，Vk)叫做變量V1， V2，Vk 的聯(lián)合概率函數(shù)。它把變量集合映射為一個在0和1之間的實數(shù)。把p(V1， V2，Vk)的變量替換為特定的值，以給我們一個表達(dá)式p(v1，v2，vk)p(V1=v1， V2=v2，Vk=vk)的縮寫形式。,概率論簡介,基本思想,概率函數(shù)必須滿足一定的屬性，它們是： (a) 0 p(V1， V2，Vk)1 上式適用于變量的任何分配值，且 (b) p(V1， V2，Vk)1 其中的和是建立在變量的所有值的基礎(chǔ)之上。 就像在命題演算中由合式公式指稱的各種命題的真假是基于應(yīng)用領(lǐng)域的專家主觀判斷(

3、或者傳感數(shù)據(jù)的知覺處理)，隨機變量的概率值也同樣依賴專家判斷或知覺處理。相反，我們主要關(guān)心的是怎么執(zhí)行計算，以讓它告訴我們所感興趣的變量的概率。,概率論簡介,基本思想,在本章的應(yīng)用例子中，變量對應(yīng)一個域的命題。這些命題或為真或為假，相應(yīng)的命題變量將有True或False值。我們可能不確定關(guān)于這些命題的一個或多個的事實，這種不確定性能用相應(yīng)變量的值的概率表示。因此，本章描述的技術(shù)可以認(rèn)為是第13章和第14章討論的使用謂詞邏輯進(jìn)行表示和推理的概率方案。,B : BAT_OK L : LIFTABLE M : MOVES G : GAUGE,概率論簡介,基本思想,當(dāng)我們知道一個隨機變量集合的聯(lián)合概率

4、的所有值時，就能計算這些隨機變量之一的邊緣概率(marginal probability)。例如，邊緣概率p(Bb)被定義為是16個聯(lián)合概率中Bb的8個概率之和： p(Bb)p(B，M，L，G) 用這個公式，邊緣概率p(BTrue)0.95，這是B值為True的8個聯(lián)合概率之和。 更低階數(shù)的聯(lián)合概率也能通過對所有聯(lián)合概率的合適項相加而計算得到。例如，對于Bb， Mm，聯(lián)合概率(Bb，Mm)是所有聯(lián)合概率中4項之和。 P(Bb，Mm) P(B，M，L，G) 當(dāng)已知更低階數(shù)的聯(lián)合概率時，我們也能用它們計算邊界和其他更低階的聯(lián)合概率。因此，例如 P(B=b)P(B，M) 和 P(Bb，Mm) P(B

5、，M，L),概率論簡介,基本思想,當(dāng)處理命題變量(有True或False值)時，常常利用一個簡潔符號，例如，不必再寫為p(BTrue , MFalse)的形式，而將它記為p(B，M)假定沒有取反的變量已被實例化為True，取反變量被實例化為False。只有當(dāng)上下文清楚地表明正指示一個實例化變量的概率值，而不是那些變量上的概率函數(shù)時，才能使用這種縮寫符號。 因此。給定一個隨機變量集合的完全聯(lián)合概率函數(shù)(如一個表)，從理論上講，就能計算所有的邊緣概率和所有的更低階的聯(lián)合概率。然而，當(dāng)我們有一個極大的隨機變量集合時，指定所有的聯(lián)合概率的任務(wù)就變得不可處理，更不用說低階概率了。幸運的是，在大多數(shù)應(yīng)用中

6、，聯(lián)合概率要滿足一定的特殊條件，這些條件使得對它們的說明和計算變得可行。,概率論簡介,條件概率,我們想能夠用一些變量值的信息來獲得其他變量值的概率。例如，如果搬積木的機器人感知到自己手臂不能移動，它可能想計算(給定那個事實)電池要被充電的概率。和邏輯推理方法相似，這樣的計算叫做概率推理。在解釋如何執(zhí)行概率推理前，必須先定義什么是條件概率。,給定Vi，Vj 的條件概率函數(shù)由p(Vi |Vj)表示。對變量Vi和Vj的任何值，可以給出 其中p(Vi，Vj) 是Vi和Vj 的聯(lián)合概率，p(Vj )是Vj 的邊緣概率。從這個表達(dá)式，我們也能按照條件概率表示一個聯(lián)合概率 p(Vi，Vj)=p(Vi| Vj

7、)p(Vj),概率論簡介,條件概率,回到搬積木的例子，給定條件手臂不能移動，我們能計算電池被充電的概率 這個表達(dá)式的分子分母都能用前面解釋的聯(lián)合概率的求和計算得到。,概率論簡介,條件概率,我們也有幾個變量基于另外幾個變量的組合條件概率。例如，(用簡寫符號) 在計算任何條件概率時，出現(xiàn)在計算中的聯(lián)合概率和邊緣概率能從前面描述的包含所有必需變量的任何完全聯(lián)合概率集中計算得到。,我們也能按照一個條件概率鏈表達(dá)一個聯(lián)合概率。例如 F(B，L，G，M)=p(B|L，G，M)p(L|G，m)p(G|M)p(M) 這個鏈規(guī)則的一般形式是 鏈規(guī)則表達(dá)式依賴于我們選擇對Vi排序的方式。不向的排序給出不同的表達(dá)式

8、，但對變量值的相同集合它們都有相同的值。,概率論簡介,條件概率,由于在一個聯(lián)合概率函數(shù)中變量排序的方式并不重要(只要跟蹤誰是誰就行了)，我們能寫出： p(Vi，Vj)=p(Vi|Vj)p(Vj)=p(Vj|Vi)p(Vi)=p(Vj, Vi) 注意到 后面這個等式是非常重要的，叫做貝葉斯法則。,符號約定 : 當(dāng)有一個變量集合的聯(lián)合概率或一個變量集合的條件概率時，使用集合符號將很方便。因此p( v)有時被用伸p(V1，V2，Vk)的一個縮寫，其中v= V1，V2，Vk。同樣地，我們可以用p( v|vj )，其中vj 也是一個變量集合。如果變量(V1，V2，Vk)分別有值v1，v2，vk，我們用表

9、達(dá)式Vv表示這個事實， V和v都是有序列表。,概率推理,一個一般的方法,我們有命題變量V1，V2，Vk 的一個集合v，并給定了v的子集中的變量的某些值e(True或False)作為證據(jù)。在agent應(yīng)用中，這些“給定”的變量通常有由感知過程決定的值。我們希望計算條件概率p(Vi=vi | =e)，即給定證據(jù)時變量Vi的值為vi條件概率。我們把這個過程叫概率推理。,由于Vi有值True或False，故我們對兩個條件概率感興趣，它們是p(ViTrue | =e)和p(ViFalse | e)。當(dāng)然，我們只要計算它們中的一個就行了，因為p(ViTrue | e)+p(ViFalse | e)1，不管

10、為何值。用“笨”方法說明p(ViTrue | =e)的計算。用條件概率的定義，我們有 其中，p(Vi=True，= e)通過使用從高階聯(lián)合概率計算低階聯(lián)合概率的方法獲得: 其中Vi，i1，k構(gòu)成了命題變量集合。即，對 ViTrue，證據(jù)變量有它們的給定值。對所有的聯(lián)合概率值求和。p(=e)的計算能用同樣的方式進(jìn)行，然而像下一個例子演示的一樣，它不需要明確地計算。,概率推理,一個一般的方法,作為一個例子，假如我們有下面給出的聯(lián)合概率： p( P， Q，R)0.3 p(P， Q，R)0.05 p(P， Q，R)0.2 p(P， Q，R)0.1 p(P，Q，R)0.2 p(P， Q，R)0.05 p

11、(P，Q，R)0.1 p(P，Q，R)0.0 R作為證據(jù)，我們希望計算p(Q | R)。用剛剛給定的過程，我們計算 現(xiàn)在我們既可直接計算邊緣p(R)，也可(像通常所做的一樣)用剛剛使用的相同方法計算p(Q|R)通過利用p(Q|R)+p(Q|R) l 來避免計算p(R)。,概率推理,一個一般的方法,下面用后一種方式進(jìn)行： 由于這兩個量的和為1，我們得p(Q|R)0.75。,一般地講，使用這個方法的概率推理是難處理的，因為在有k個變量的情況下執(zhí)行它，我們需要聯(lián)合概率p(V1，V2，Vk )的2k個值的一個顯式列表。對很多問題，即使我們知道這樣一個列表也不能寫出它(一般不這樣做)。 考慮到這種難處理

12、性，我們可能要問：“人是如何對不確定信息有效地推理的?” Pearl推測人類通過一個特殊的方式把一個領(lǐng)域的知識公式化來做推理。這種方式能極大地簡化一定變量在給定證據(jù)下的條件概率的計算。這些有效的知識公式化涉及到各種變量中的條件獨立性馬上要講的一個主題。,概率推理,條件獨立,給定變量集合vj，如果p(V|vi，vj )=p(V|vj )，那么我們就說變量V條件獨立于變量集vi ，用符號I(V，vi|vj )闡述這個事實。條件獨立后面的直覺知識是如果I(V, vi|vj)，那么vi不會告訴我們比我們通過vj知道的任何更多的東西。對V而言，如果我們知道vj ，可以忽略vj 。在舉積木的例子中，這應(yīng)該

13、是合理的：如果我們已知(通過其他的一些方式)電池有電(BTrue)，那么在手臂移動的范圍內(nèi)，我們不需要有關(guān)G的(量規(guī)指示電池有電)明確知識。即p(M|B，G)=p(M|B)。 給定一個集合v，如果一個變量Vi是條件獨立于另一個變量Vj，則有(按照定義)p(Vi| Vj，v)=p(Vi|v)。根據(jù)條件概率的定義，有p(Vi |Vj，v)p(Vi |v)=p(Vi，Vj |v)。對I(Vi，Vj |v)。組合這兩個結(jié)果產(chǎn)生： 注意到Vi和Vj 對稱地出現(xiàn)。因此，給定v，說Vi條件獨立于Vj ，也就是說Vj 條件獨立于Vi。它足以說明給定v， Vi和Vj 是條件獨立的。相同的結(jié)果可用于集合，即給定v

14、，如果Vi和Vj 是條件獨立的，那么p(vi，vj |v)=p(vi|v)p(vj |v)。如果v是空集，我們簡單地說vi和vj 是獨立的。,概率推理,條件獨立,不失一般性，我們說給定集合v，如果每個變量條件獨立于所有其他的變量，那么變量V1，V2，Vk是相互條件獨立的。由于 且每個Vi是條件獨立于其他給定的，于是我們有 當(dāng)v為空時，我們有 故我們說變量是元條件獨立的。 條件獨立性能用貝葉斯網(wǎng)(也叫信念網(wǎng))結(jié)構(gòu)方便地表示。這些結(jié)構(gòu)對概率推理是非常有用的。用貝葉斯網(wǎng)表示的條件獨立能大量地節(jié)約概率推理計算。,貝葉斯網(wǎng),一個貝葉斯網(wǎng)是一個有向無環(huán)圖(DAG)，它的節(jié)點用隨機變量標(biāo)識。一個貝葉斯網(wǎng)規(guī)定

15、圖中的每個節(jié)點Vi條件獨立于由Vi的父節(jié)點給定的Vi的非后代節(jié)點構(gòu)成的任何節(jié)點了集。也就是說，假設(shè)A(Vi)是圖中非Vi后代節(jié)點的任何節(jié)點集合，設(shè)p(Vi)是圖中Vi的直接雙親。圖僅僅是陳述對圖中的所有Vi，I(Vi，I(Vi )|p(Vi)的一種方式，I(Vi，A(Vi)|p(Vi)的意思是p(Vi |A(Vi) ，p(Vi)=P(Vi |p(Vi) 。 假設(shè)V1，V2，Vk是貝葉斯網(wǎng)中的節(jié)點，給定由網(wǎng)絡(luò)假設(shè)的條件獨立性，我們能寫出網(wǎng)中所有節(jié)點的聯(lián)合概率如下： 這個表達(dá)式能用一個直接的方式推導(dǎo)出，利用與貝葉斯網(wǎng)DAG蘊含的部分序一致的鏈規(guī)則序，將條件獨立性應(yīng)用于鏈規(guī)則表達(dá)式，可計算所有變量的

16、聯(lián)合概率。,貝葉斯網(wǎng),貝葉斯網(wǎng)有時叫做因果網(wǎng)，因為可以將連接節(jié)點的弧認(rèn)為是表達(dá)了直接的因果關(guān)系。,用舉積木的例子演示一個貝葉斯網(wǎng)的構(gòu)造。我們首先想象這個例子的“第一個原因”，即和命題“電池被充電”(D)和“積木是可舉起來的”(L)相對應(yīng)的變量。 B和L對M(“手臂移動”)有一個因果影響， B對G(“量規(guī)指示電池被充電了”)也有因果影響。因此，我們將為這個問題畫一個如后圖所示的貝葉斯網(wǎng)。注意，除了其他的，網(wǎng)絡(luò)陳述了p(M|G， B， L) =p(M|B，L)。 如果在網(wǎng)絡(luò)中有另外的節(jié)點U(意指積木被舉起)，將不會有p(M|G， B， L，U)=p(M|B，L)，因為U是她的一個后繼(積木被拿起影

17、響了手臂移動的概率)。網(wǎng)中所有節(jié)點的聯(lián)合概率函數(shù)的表達(dá)式都在圖中給出。,貝葉斯網(wǎng),為了計算給定貝葉斯網(wǎng)的聯(lián)合概率值，如圖所示，我們需要知道恰恰以它的父節(jié)點為條件的每個節(jié)點的條件概率函數(shù)。對沒有父節(jié)點的節(jié)點，概率不以其他節(jié)點為條件，這些叫做這些變量的先驗概率。因此，一個隨機變量集合的概率的一個完整說明涉及到這些變量的一個貝葉斯網(wǎng)及網(wǎng)中每個變量的條件概率表(CPT)。,貝葉斯網(wǎng),舉積木例子中聯(lián)合概率的貝葉斯網(wǎng)公式應(yīng)該與由使用鏈規(guī)則： 獲得的一個相似公式(假定沒有任何條件獨立)進(jìn)行比較。注意到貝葉斯網(wǎng)公式更簡單。 沒有貝葉斯網(wǎng)規(guī)定的條件獨立性，對這個例子的所有4個變量的一個聯(lián)合概率的規(guī)范涉及到指定1

18、6個獨立的聯(lián)合概率(實際僅需要15個，因為它們的和必須為1)。從圖中可以明顯看到，由貝葉斯網(wǎng)所做的假設(shè)要求我們僅指定8個概率。當(dāng)在領(lǐng)域中的變量中有幾個條件獨立時，從貝葉斯網(wǎng)計算的聯(lián)合概率表達(dá)式要求的概率規(guī)范比沒有這些獨立時的還要少。這種減少有時會使難處理則可題變得可處理。,貝葉斯網(wǎng)的推理模式,在貝葉斯網(wǎng)中有三種重要的推理模式。為了解釋它們，繼續(xù)我們的例子。 因果推理或由上向下推理。給定積木是可舉起的，假如我們想計算手臂能移動的概率p(M|L)。由于積木可舉起是手臂能移動的原因之一。我們說這個計算是因果推理的一個例子。 L稱作用于推理的證據(jù)， M叫詢問節(jié)點。下面說明我們在這種情況下如何執(zhí)行推理：

19、,貝葉斯網(wǎng)的推理模式,首先。我們把p(M|L)(一個邊緣概率)擴展成兩個聯(lián)合概率的和(因為我們想提及M的另一個雙親B)： 接下來，我們希望M以另一雙親為條件，因此我們用一個鏈規(guī)則形式得到 但是p(B|L)=p(B)(從網(wǎng)結(jié)構(gòu)而來，注意B沒有任何雙親)。同樣地， p(B|L)= p(B) 因此， p(M|L)= p(M|B，L) p(B) + p(M|B，L)p(B)。由于所有的這些數(shù)值與網(wǎng)絡(luò)一同給出，我們能計算 p(M|L)0.855,我們在這個例子中執(zhí)行的操作值得注意，因為它們能被一般化為如我們后面看到的更復(fù)雜的因果推理。主要操作如下： a)按照給定證據(jù)的V和它的所有雙親(它們不是證據(jù))的聯(lián)

20、合概率，重新表達(dá)給定證據(jù)的詢問節(jié)點V的所求條件概率。 b)回到以所有雙親為條件的V的概率，重新表達(dá)這個聯(lián)合概率。,貝葉斯網(wǎng)的推理模式,貝葉斯網(wǎng)的推理模式, 診斷推理或自底向上推理?，F(xiàn)在我們計算p(L|M)，即給定手臂未移動時積木不可舉起的概率。其中詢問和證據(jù)的角色剛好和它們在上一個例子中的相反。由于我們用一個結(jié)果(或癥狀)來推理一個起因，我們稱這類推理叫診斷推理。 現(xiàn)在我們計算p(M|L)=0.9525(用因果推理)，并計算 同樣地， 。 由于這兩個表達(dá)的和必須為l，得到p(L|M) =0.88632。 用在這個簡單例子中的診斷推理計算也能被一般化。主要步驟是使用貝葉斯規(guī)則把問題轉(zhuǎn)化成因果推理

21、。,貝葉斯網(wǎng)的推理模式, 辯解。如果我們的證據(jù)僅僅是M(手臂不能移動)，像剛做的那樣，我們能計算積木不能舉起的概率。但是如果也給定B(電池沒被充電)，那么L應(yīng)該變得不確定。在這種 情況下，我們說B解釋M，使L不確定。這類推理使用嵌入在一個自底而上或診斷推理中的自頂而下或因果推理。 從這個表達(dá)式，使用內(nèi)中給定的概率，用普通方式求解p(B，M)，我們可以計算p(L|B，M)0.030。像預(yù)期的一樣，它比前面計算的p(L|M)更小。再次注意貝葉斯法則的使用，它是辯解過程中的一個重要步驟。,不確定證據(jù),當(dāng)證據(jù)本身不確定時，表達(dá)式p(V|)（V是一個詢問節(jié)點），不會給出正確的概率。 在貝葉斯網(wǎng)計算中，為

22、了“給定”證據(jù)節(jié)點，必須確定它們表示的命題的真假。我們能通過讓每個證據(jù)節(jié)點(我們不能確定的)有一個確定的子節(jié)點來獲得那個要求。因此，在上一個例子中(辯解)，假定機器人對它的手臂不能移動不確定，它可能有一個有點不可靠的關(guān)節(jié)傳感器。在這種情況下，證據(jù)能被一個節(jié)點M提供， M代表命題“手臂傳感器說手臂可以移動”。依賴它的讀數(shù)，我們能確定命題是真還是假。然后用貝葉斯網(wǎng)計算p(L|B，M)，而不是p(L|B，M)。當(dāng)然，網(wǎng)絡(luò)將需要p(M|M)和p(M|M)的值，它們描述了傳感器的可靠性。,D分離,從直覺上講，在左圖的網(wǎng)中， G的知識(結(jié)果)能影響B(tài)的知識(起因)， B會影響M的知識(另一個結(jié)果)。但是如

23、果給定原因B，G并不能告訴我們有關(guān)M更多的事情。在這種情況下，我們說B d分離(依賴方向的分離) G和M。,D分離,如果對貝葉斯網(wǎng)中的節(jié)點Vi和Vj 之間的每個無向路徑，在路徑上有某個節(jié)點Vb，它有如下的三個屬性之一(見下圖)，就說節(jié)點Vi和Vj 條件獨立于給定的節(jié)點集(即I(Vi，Vj |)。三個屬性是： 1) Vb在中，且路徑上的兩條弧都從Vb開始。 2) Vb在中，路徑上的一條弧以Vb為頭，另一個以Vb為尾。 3) Vb和它的任何后繼都不在中，路徑上的兩條弧都以Vb為頭。,給定，當(dāng)這些條件中的任何一個占據(jù)條路徑時，我們說Vb阻塞那條路徑。注意，在這個結(jié)果中引用的路徑是無向路徑，即路徑忽略

24、了弧方向。如果Vi和Vj之間的所有路徑被阻塞，我們說 d分離Vi和Vj (依賴方向的分離)且得出結(jié)論： Vi和 Vj 條件獨立于給定的。,D分離,上圖中d分離產(chǎn)生的其他條件獨立的例子如下： I(G，L|B)，因為根據(jù)規(guī)則1，給定B阻塞了G和L之間的惟一的路徑。根據(jù)規(guī)則3，給定B，M也阻塞了這個路徑，因為M不是證據(jù)集的一個成員。 I(G，L)和I(B，L)，因為按規(guī)則了3，給定空的證據(jù)集合，M阻塞了G和L之間、 B和L之間的(惟一)路徑(M不是空的證據(jù)集的一個成員)。,D分離,然而，注意， B和L不是條件獨立于給定的M的。因為雖然M在B和L的路徑上，但這個路徑上的兩條弧都指向M，且M在證據(jù)集合中

25、因此在這種情況下，M沒有阻塞路徑。 d分離的概念也能應(yīng)用到集合。給定，如果兩個節(jié)點集Vi和Vj被 d分離，則它們是條件獨立的。給定，如果Vi中的所有節(jié)點和Vj中的所有節(jié)點之間的每條無向路徑被阻塞，則Vi和Vj被 d分離。 即使使用了d分離，一般地講，在貝葉斯網(wǎng)中，概率推理仍是NP難題。然而，有些簡化能在一個叫 polytree 的重要網(wǎng)絡(luò)分類中使用。一個polytree 網(wǎng)是一個DAG，在該DAG的任何兩個節(jié)點之間，順著弧的每一個方向只有一條路徑。,在polytree中的概率推理,左圖中的網(wǎng)絡(luò)是polytree的一個典型例子。在這個網(wǎng)絡(luò)中，給定一些其他的節(jié)點，我們想計算Q的概率。注意，有些節(jié)點

26、僅通過Q的雙親連到Q，我們說這些節(jié)點在Q的上方。其他的節(jié)點僅通過Q的直接后繼(它的孩子)連到Q，我們說這些節(jié)點在Q的下方。我們也注意到?jīng)]有任何路徑(除了通過Q連接Q上的一個節(jié)點和Q下的一個節(jié)點外因為不這樣的話，網(wǎng)絡(luò)將不是一個polytree)將這些定義和連接屬性應(yīng)用到polytree中的每一個節(jié)點!,我們的例子將有三種類型： 1)所有的證據(jù)節(jié)點在Q的上方。作為這種類型的一個典型例子，我們將計算 p(Q|P5， P4)。 2)所有的證據(jù)節(jié)點在Q的下方。作為這種類型的一個典型例子，我們將計算p(Q |P12， P13， P14， P11)。 3)在Q的上方和下方均有證據(jù)節(jié)點。,在polytree中

27、的概率推理,證據(jù)在上方,我們先計算 p(Q | P5， P4)，其中所有的證據(jù)節(jié)點均在Q的上方。我們的計算是沿著一個“自底向上”的遞歸算法執(zhí)行的。這個算法在給定證據(jù)的情況下，計算Q的每個祖先的概率，直到我們到達(dá)證據(jù)節(jié)點或證據(jù)節(jié)點在那個祖先的下面。算法過程如下： 首先，我們“包括雙親”(Q的)： (這個求和特殊符號的意思是相加p(Q， P6， P7|P5， P4)的4個形式原始的、用 P6代替P6、用P7代替P7以及兩個都代替。) 下面，我們用條件獨立的定義產(chǎn)生Q的雙親部分的證據(jù)，記為 替換產(chǎn)生,在polytree中的概率推理,證據(jù)在上方,現(xiàn)在，因為一個節(jié)點條件獨立于它的雙親給定的非后繼節(jié)點，

28、那么，d分離允許我們分割雙親： 最后，在計算其他的概率中，d分離允許我們忽略一個雙親上的證據(jù)： 它是非常重要的注意到正被求和的項是：(a)給定的父節(jié)點的各個值，詢問節(jié)點的概率(父節(jié)點的概率與貝葉斯網(wǎng)一同給出)；(b)只要給出那個父節(jié)點上的部分證據(jù)，它是每個父節(jié)點的概率(遞歸調(diào)用我們正在執(zhí)行的算法)。這些結(jié)果直接利用了我們用一個polytree產(chǎn)生的事實。,在polytree中的概率推理,證據(jù)在上方,這個相同的過程被遞歸應(yīng)用，直到最終到達(dá)一個有一證據(jù)節(jié)點作為父節(jié)點的節(jié)點，或到達(dá)沒有父節(jié)點的節(jié)點(不是自身證據(jù)節(jié)點的節(jié)點)。在計算p(P7|P4)中，我們有這兩種情況的第一種，證據(jù)節(jié)點P4是詢問節(jié)點P

29、7的一個父節(jié)點。此時，“包括雙親”的步驟比較簡單，因為其中之一已經(jīng)被包括了。因為p(P7，P3|P4)，p(P7|P3，P4) p(P3|P4)，我們能寫出 (因為I(P3， P4)，故有最后一步。) 這個求和中的所有項由貝葉斯網(wǎng)給出，因此過程連同這個例子的分枝一同結(jié)束。 在計算p(P6|P5)時，得到 下一步必須計算 p(P1 | P5)，注意到證據(jù)節(jié)點不在詢問節(jié)點的“上方”，而是在“下面”，我們不能再用這個遞歸過程，而必須用“證據(jù)在下方”的過程將要描述。在這個例子中，我們僅僅用貝葉斯法則獲得 現(xiàn)在計算p(P6|P5)需要的所有量都由貝葉斯網(wǎng)給出了。我們能集成所有的這些結(jié)果(執(zhí)行所有的求和)

30、得到 p(Q | P5， P4)的最終結(jié)果。,在polytree中的概率推理,證據(jù)在下方,接著，我們計算p(Q|Pl2， P13， P14， P11)，其中，所有的證據(jù)節(jié)點都在Q的下方。我們的計算再次沿著一個遞歸算法執(zhí)行。它按如下進(jìn)行：在頂級，我們用貝葉斯規(guī)則寫出 其中 是一個在后面要按與前面的例子同樣的方式計算的標(biāo)準(zhǔn)化因子。用d分離， I(P12， P13，P14， P11|Q)，產(chǎn)生 注意我們已把集合P12， P13， P14， P11分割成對應(yīng)Q的兩個孩子的子集。 p(P12，P13|Q)和p(P14， P11|Q)的每一項包括給定其上的一個單一證據(jù)節(jié)點，計算一個詢問節(jié)點集合的概率，因此

31、，我們能使用類似于前面的算法。因為只有一個證據(jù)節(jié)點，故使用一個自頂而下的遞歸算法，而不用前面所用的自底而上算法。,在polytree中的概率推理,證據(jù)在下方,通過首先計算p(P12，P13 | Q)，說明自頂而下方案是如何進(jìn)行的。關(guān)鍵步驟是包括Q的單一孩子P9，它在詢問節(jié)點集P12， P13的上方。注意，根據(jù)條件獨定的定義， p(P12，P13， P9| Q)= p( P12， P13| P9， Q) p( P9| Q)。 那么， 現(xiàn)在，用d分離， I(P12，P13)，Q |P9)，故 這個求和中的項 p(P9 | Q)的計算涉及到P9的所有父節(jié)點： p(P9 | P8，Q)由網(wǎng)絡(luò)給出。另一

32、項p(P12， P13 | P9)是對相同的自頂而下的過程的遞歸調(diào)用，該過程在給定詢問節(jié)點集上的一個單一證據(jù)節(jié)點的情況下，計算它們的概率。在這種情況下，遞歸調(diào)用在一步后終止，因為P9的孩子是證據(jù)節(jié)點。由于P12和P13獨立于給定的P9，因此有p(P12，P13 P9)=p(P12 | P9) p(P13 | P9)。這兩個概率都內(nèi)網(wǎng)絡(luò)給出。,在polytree中的概率推理,證據(jù)在下方,把自頂而下過程應(yīng)用到p(P14， P11 | Q)，產(chǎn)生 那么由于I(P14， P11 | P10)， 僅僅這個結(jié)果的中間項不是由網(wǎng)絡(luò)直接給出。我們再次用自頂向下過程計算該項： 其中,證據(jù)在下方,在polytree中的概率推理,但在p(P11 | P15， P10)中，詢問節(jié)點P11在證據(jù)節(jié)點的上方，因此我們必須再次應(yīng)用這個過程的頂級(用貝葉斯規(guī)則)： 其中 p(P11)由網(wǎng)絡(luò)直接給出；因為P10和P