1、2020/8/30,試驗(yàn)四 數(shù)列與級(jí)數(shù)(series),數(shù)列(sequence) 級(jí)數(shù) 數(shù)列與級(jí)數(shù)的關(guān)系 給定數(shù)列（1），令 ，則數(shù)列 （1）等價(jià)于級(jí)數(shù)（2）。反之，給定級(jí)數(shù)（2） 令 則級(jí)數(shù)（2）等價(jià)于數(shù)列（1）。,3n+1,2020/8/30,給定數(shù)列（1），回答以下問題： 1、數(shù)列有什么規(guī)律與性質(zhì)？ 2、數(shù)列的極限是否存在？ 3、如果數(shù)列的極限趨于無窮，那么它趨于無 窮的階是多大？ 4、如果數(shù)列的極限不存在，那它在無窮大時(shí)的極限狀態(tài)又如何？,2020/8/30,1、Fibonacci數(shù)列,Fibonacci數(shù)列由遞推關(guān)系(recurrence relation) 確定。其前十項(xiàng)為： 1，

2、1，2，3，5，8，13，21，34，55,1,2,3,4,5,2020/8/30,為研究Fibonacci數(shù)列的規(guī)律，我們?cè)诙S平面上畫出順次連接點(diǎn)列 的折線圖。,2020/8/30,易知 故有 的階在 與 之間。 為進(jìn)一步研究 的特性，在平面坐標(biāo)系中畫連接 的折線圖。然后用直線去擬合之.,2020/8/30,2020/8/30,猜測(cè) 將上式代入遞推公式中得 由此 然而,上式并不滿足 進(jìn)一步猜測(cè),2020/8/30,由此得 可以驗(yàn)證上式是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng). 由此， Fibonacci數(shù)列趨于無窮的階為,2020/8/30,一般地, 給定數(shù)列的遞推關(guān)系 假設(shè) 則 滿足,2020/8

3、/30,因此 的通項(xiàng)為 其中 是上述方程的根。,2020/8/30,2、調(diào)和級(jí)數(shù) Harmonic Series,調(diào)和級(jí)數(shù) 研究數(shù)列 的極限階.,2020/8/30,首先研究 的折線圖.,2020/8/30,由于 下面研究 的極限. 從上圖猜測(cè), 極限 存在. 實(shí)際上,易知,2020/8/30,故知極限存在. 進(jìn)而 由此猜測(cè) 用數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn), 稱為Euler常數(shù).,2020/8/30,也可以直接從數(shù)列 出發(fā). 猜測(cè),2020/8/30,關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)的幾個(gè)思考,任意0 , 均收斂 在直觀上看來,好像調(diào)和級(jí)數(shù)下面的n只要大了一小點(diǎn),或者說調(diào)和級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)只要小一小點(diǎn)點(diǎn),那么這個(gè)級(jí)數(shù)就是收斂的 發(fā)散

4、，但是sin(1/n)1/n 所有的素?cái)?shù)的倒數(shù)和: s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+. 發(fā)散,2020/8/30,所有孿生素?cái)?shù)的倒數(shù)和: b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+. 這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的,現(xiàn)在這個(gè)常數(shù)就被稱為布隆常數(shù):b=1.90216054. 取調(diào)和級(jí)數(shù)的一個(gè)子數(shù)列,例如取n=4k,級(jí)數(shù)仍然是發(fā)散的 如果取n為所有不含有數(shù)字8的自然數(shù),所得的級(jí)數(shù)是收斂的,這個(gè)事實(shí)可以這樣解釋,在無限的范圍以內(nèi),每個(gè)自然數(shù)幾乎含有所有的10個(gè)數(shù)字.,2020/8/30,3、3N+1問題(3N+1 Problem),問題：任給自然數(shù)n，如果n是偶數(shù)，則將n除

5、2；如果n是奇數(shù)，則將n乘3加1。重復(fù)上述過程得到一個(gè)無窮數(shù)列。例如， 上述數(shù)列可遞歸地定義為 如果n為偶 如果n為奇,2020/8/30,我們來研究上述數(shù)列的規(guī)律。先從簡(jiǎn)單的示例開始。,2020/8/30,用Mathematica編程驗(yàn)證： 1、是否對(duì)任意n，從n開始產(chǎn)生的數(shù)列最后都落于421的循環(huán)中？ 2、數(shù)列在落于421循環(huán)之前，有什么規(guī)律？,2020/8/30,對(duì)n=27得,2020/8/30,2020/8/30,該問題起源于20世紀(jì)50年代，被稱為Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz問題，Hasse算法問題，Ulam問題，Thwaites猜想，簡(jiǎn)稱3x+1問題。 目前有人驗(yàn)

6、證到 猜想仍然成立。,2020/8/30,一些觀察： 如果 ，則 對(duì) ， 為奇數(shù)，則,2020/8/30,如果對(duì)每個(gè)n, 數(shù)列中有某一項(xiàng)小于n, 則猜想成立。 對(duì) n=4k+1, 有 對(duì) n=16k+3, 有,2020/8/30,如果猜想不成立，則只有下列兩種情況之一 1、數(shù)列落于有別于421的循環(huán)中； 2、不存在循環(huán)。此時(shí)，數(shù)列總趨勢(shì)會(huì)越來越大。,2020/8/30,引入一些概念： 航班(trajectory)：從n開始迭代產(chǎn)生的數(shù)列（直至1為止）。如第5次航班為5168421. 航程(flying range)：航班的長(zhǎng)度。如航班5168421的長(zhǎng)度為5 最大飛行高度(maximum ex

7、cursion )：一個(gè)航班中的最大數(shù)字。如第5航班的最大飛行高度為16,2020/8/30,保持高度航程 excursion-holding range: 從起點(diǎn)起連續(xù)不小于起點(diǎn)的數(shù)字的個(gè)數(shù)。如3105168421的保持高度航程為5。如果所有航班的保持高度航程有限，則3n+1問題成立。 航程記錄航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第7航班，它的航程為16。目前航程紀(jì)錄航班有118個(gè)，航程最長(zhǎng)的是2234047405400065次航班，它的航程是1871 保持高度航程記錄航班:,2020/8/30,保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。今天已知的保持高度航程紀(jì)錄航班有30個(gè)，航程最長(zhǎng)

8、是1008932249296231次航班，它的保持高度航程是1445。 最大飛行高度記錄航班(maximum excursion record-holder): 最大飛行高度大于所有它前面的航班的最大飛行高度. 對(duì)于一個(gè)固定航班N, 考慮它著陸前的表示奇變換。其中除2的變換稱為偶變換，乘3加1的變換成為奇變換。用E(N)表示偶變換數(shù)，O(N)表示奇變換數(shù)。,2020/8/30,一些記錄： 保持高度航程：N=118303688851791519, G(N)=1471 留數(shù)：N=993, R(N)=1.253142 航程：N=1269884180266527, F(N)=2039,2020/8/3

9、0,顯然3N+1問題與下列問題等價(jià)： 1）所有航班的航程有限； 2）所有航班的保持高度航程有限； 3）對(duì)所有N, E(N)有限； 4）對(duì)所有N, O(N)有限。 一些探索： 1）航程與起點(diǎn)的關(guān)系。,2020/8/30,2020/8/30,上述圖形中有沒有規(guī)律？ 用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界與n存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？例如，當(dāng)n適當(dāng)大后，是否有f(n)n？ 一些航程記錄： 航班 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 航程 0 1 7 2 5 8 16 3 19 6 14 9 航班 13 14 15 16 17 18 19 20 21 航程 9 17 17 4 12 2

10、0 20 7 7,2020/8/30,2）保持高度航程與起點(diǎn)關(guān)系。,2020/8/30,2020/8/30,上述圖形中能看出什么規(guī)律？用G(N)表示保持高度航程。G(N)的上界是否不超過c*log(N)? 對(duì) N=2p-1, a_2=3*2p-2, a_4=32*2p-1, a_2p=3p-1. 于是，G(2p-1)2p. 一些保持高度航程記錄： G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132.,2020/8/30,3）最大飛行高度與起點(diǎn)的關(guān)系。,2020/8/30,用t(n)表示航班n的最高飛行高度。上述圖形中有什么規(guī)律？t(n)與n的關(guān)系如何？例如，是否有t(n

11、)K*n2 ?,It is remarkable that the t(n) records are always close ton2. Only a few are actually larger than n2 (the blue dots). In fact, it appears that t(n)n2f(n), where f(n) is either a constant or a very slowly increasing function ofn.,2020/8/30,偶變換與奇變換的關(guān)系：,2020/8/30,O(N)/E(N)的上界是什么？當(dāng)N趨于無窮時(shí)，O(N)/E(

12、N)的極限是什么？ 簡(jiǎn)單分析： 其中 R(N)稱為留數(shù)，它是所有形如 的項(xiàng)的積，這里 ai是航程中的奇數(shù)。例如，,2020/8/30,對(duì)于航班3105168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15) 取對(duì)數(shù)得 故,2020/8/30,且 如果 則,Log2/Log3 ,2020/8/30,一些猜測(cè)： (1) R(N)= R(993) (2) 令 C(N)=O(N)/E(N), 則 C(N)C, Clog2/log3為常數(shù)。 對(duì)有些航班來說，O(N)/E(N)非常接近于log2/log3。有猜想認(rèn)為它會(huì)越來越接近這個(gè)數(shù)字（也有相反的猜想，認(rèn)為不會(huì)無限接近）

13、，所以大家為此設(shè)立了另一個(gè)紀(jì)錄，就是這個(gè)比值比所有以前的航班更接近log2/log3的航班,2020/8/30,現(xiàn)在已知的有15個(gè)，其中最后一個(gè)是 N=100759293214567I(N)/P(N)0.604938。值得一提的是N=104899295810901231，它的這個(gè)比值還要更靠近，達(dá)到0.605413，但是我們不知道它是否是一個(gè)紀(jì)錄，也就是說，我們不知道所有比它小的航班里，是否還有比這個(gè)比值更靠近log2/log3的。,2020/8/30,啟發(fā)式論證： 注意每一次奇變換后必然是偶變換，但每一次偶變換后可以是奇變換，也可能是偶變換。假設(shè)這種可能性是一樣的。從某一個(gè)N開始，我們考察航

14、班高度的變化： （1）奇變換后做偶變換的結(jié)果為奇數(shù)，可能性1/2，高度變換 3/2； （2）奇變換后做偶變換的結(jié)果為偶數(shù)，可能性為1/4，高度變化3/4；,2020/8/30,奇變換后再作三次偶變化，可能性1/8，高度變化3/8； . 平均變化高度： 高度最終下降。,2020/8/30,用c 表示保持高度航程中奇變換的次數(shù)的平均值。利用上述模型可以證明，c=3.49265. 對(duì)3到2000000000之間航班的保持高度航程中奇次變換取平均值，可得到3.4926。這兩個(gè)結(jié)果的驚人的一致性使我們相信上述啟發(fā)式模型的正確性。,2020/8/30,一些理論結(jié)果： （1）R. Terra 和 C. Ev

15、ertt證明了：幾乎所有的航班都會(huì)下降到它的起點(diǎn)以下。 （2）存在常數(shù)c, 當(dāng)n 足夠大時(shí)，在比n小的航班中，能夠在1上著陸的航班個(gè)數(shù)大于或等于nc. 1978年，R. Crandal首先給出c=0.05; 1989年I. Krasikov得到c=0.43; 1993年G. Wirsching給出c=0.48; 1995年D. Applegate 和J. Lagarias得到c=0.81.,2020/8/30,會(huì)不會(huì)永遠(yuǎn)證不出來？ 自從哥德爾發(fā)表他的著名的不完備定理以來，每次數(shù)學(xué)家碰到一個(gè)困難的問題，都會(huì)疑神疑鬼這會(huì)不會(huì)證不出來？ 哥德爾的不完備定理:在包含皮亞諾的自然數(shù)公理的系統(tǒng)中，總有不可證明的命題存在。因而3N+1問題有可能不能證明，即使它是錯(cuò)誤的。比如，我們可能發(fā)現(xiàn)一個(gè)航班，,2020/8/30,它非得越來越高，但無論如何不能證明它永遠(yuǎn)也不會(huì)著陸到1。 數(shù)學(xué)家J. Conway（發(fā)明了生命游戲）定義了一個(gè)類似3N+1問題的不可證明的命題。但他的方法仍然不能說明3N+1是否可以證明。,2020/8/30,各種變化