1、19.2.3正方形（一）,正方形,正方形,有一個角是 直角,創(chuàng)設(shè)情景一,正方形是特殊的菱形,問題:,圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？,當(dāng)CD移動到CD位置，此時ADAB，四邊形ABCD還是矩形嗎？,A,B, 正方形是特殊的矩形,兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD,有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。,一、正方形的定義：,_的菱形是正方形,_的矩形是正方形,由正方形的定義可知：,有一個角是直角,有一組鄰邊相等,四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形,完成下圖：,特殊的平行四邊形 特殊的矩形 特殊的菱形,二、正方形的性質(zhì):,四條邊都相等且對邊平行;,兩條對角線互相垂

2、直平分且相等,并且每一條對角線平分一組對角.,四個角都是直角;,1、邊：,2. 角:,3.對角線:,(A),(B),(C),(D),4、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,有四條對稱軸,對稱性,特征,正方形是中心對稱圖形,對稱中心為點O,它也是軸對稱圖形,有4條對稱軸,(1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì),兩組對邊分別平行且相等，兩組對角相等，對角線互相平分,(2)具有矩形的一切性質(zhì),四個角都是直角，對角線相等,(3)具有菱形的一切性質(zhì),四條邊相等；對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角,(A),(B),(C),(D),歸納：,為什么說正方形是一個完美的圖形？,對稱性,特征,正方形是中心對稱圖形,對稱

3、中心為點O,它也是軸對稱圖形,有4條對稱軸,(1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì),兩組對邊分別平行且相等，兩組對角相等，對角線互相平分,(2)具有矩形的一切性質(zhì),四個角都是直角，對角線相等,(3)具有菱形的一切性質(zhì),四條邊相等；對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角,(A),(B),(C),(D),例題解析,例題,例4.求證：正方形的兩條對角線把 這個正方形分成四個全等的等腰直 角三角形。,分析,分,析,：,這是一道幾何命題的證明,該怎么做? 你會做嗎?,第一步:根據(jù)題意畫出圖形 第二步:寫出已知 第三步：寫出求證 第四步:進行證明,圖中共有多少個 等腰直角三角形？,例4,求證: 正方形的兩條對角

4、線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.,第一步:根據(jù)題意畫出圖形 第二步:寫出已知 第三步：寫出求證 第四步:進行證明,這是一道文字證明題,該怎么做?你會做嗎?,已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.,求證:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,證明: 四邊形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO,分析:利用正方形的性質(zhì),對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角.平分可以產(chǎn)生線段等量關(guān)系,垂直可以產(chǎn)生直角,于是

5、可以得到四個全等的等腰直角三角形.,1、正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是( ) A、四個角相等. B、對角線互相垂直平分 C、對角互補. D、對角線相等.,2、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A、四條邊相等. B、對角線互相垂直平分. C、對角線平分一組對角. D、對角線相等.,B,D,嘗試練習(xí)：,4,36,24,2,30,（7),15,9、正方形ABCD中，M為AD中點，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF =8cm，則AC=_.,16cm,5,數(shù)一數(shù)圖中正方形的個數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？,多,多,多,（）個（）個（）個 （）個,第n個圖中正方形有 個,3n-1,長見識,第十九章 四

6、邊形,1.如圖，正方形ABCD中，兩對角線交 于O,E是AC上一點，CE=AB， 則ACB=_DOC=_, BEC=_,EBO=_,A D,B C,E,O,2.如圖，正方形OPQR的一個頂點O是邊長為2的正方形ABCD對角線AC與BD的交點，則兩 正方形重合部分的 面積是,A D,B C,O,P,Q,R,3.如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連接AE交對角線BD于點F，則圖中全等三角形共有（ ）,A B,C D,E,F,A.1對 B.2對 C.3對 D.4對,大顯身手,如圖，四邊形ABCD.DEFG都是正方 形，連接AE.CG。 （1）求證：AE=CG （2）觀察圖形， 猜想AE與C

7、G的位置 關(guān)系，并證明你的 猜想。,A,B D E,C,G F,12、如圖，四邊形ABCD.DEFG都是正方形，連接AE.CG。 （1）求證：AE=CG （2）觀察圖形，猜想AE與CG的位置 關(guān)系，并證明你的猜想。,(1)證ADECDG(SAS),(2)AECG,如圖，四邊形ABCD和DEFG都是正方形 試說明AE=CG,拓廣探索,10.如圖，正方形OPQR的一個頂點O是邊長為2的正方形ABCD對角線AC與BD的交點，則兩正方形重合部分的面積是多少？,E,F,證D0EC0F(ASA),1,11.已知：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，M、N在OB和OC上，且MNBC，連結(jié)DN、MC，試猜

8、想DN與MC有什么關(guān)系？并證明你的猜想。,1,2,H,3,答：DNMC DNMC,13.在正方形ABCD中，點P是對角線AC上一點，PEAB，PFBC，垂足分別是點E、F.求證：DP=EF,證明：,連接PB,又PEAB ， PFBC,四邊形ABCD是正方形,ABC=90,AD=AB, DAP=BAP=45,PEB=PFB=90,四邊形PEBF是矩形,PB=EF,又AP=AP,APDAPB(SAS),PD=PB,PD=EF,14.在正方形ABCD中，P為BC邊上一點，Q為CD邊上一點，如果PQ=BP+DQ，求PAQ的度數(shù).,15.如圖，四邊形ABCD為正方形,EBAC，EC=AC，E在FB上，求ECB