1、第三章 結構地震反應分析 與抗震計算,3.1 概述 3.2 單自由度體系的彈性地震反應分析 3.3 單自由度體系的水平地震作用與反應譜 3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析 3.5 多自由度彈性體系最大地震反應與水平地震作用 3.6 豎向地震作用 3.7 結構平扭耦合地震反應與雙向水平地震影響 3.8 結構非彈性地震反應分析 3.9 結構抗震驗算,主要內(nèi)容,3.1 概述,由地震動引起的結構內(nèi)力、變形、 位移及結構運動速度與加速度等,一、結構地震反應,：由地震動引起的結構位移,地面運動,結構動力特性：自振周期，振型和阻尼,1.結構地震反應,2.結構地震位移反應,：,結構地震反應 影響因素,3.

2、1 概述,：能引起結構內(nèi)力、變形等反應的各種因素,二、地震作用,作用分類,各種荷載：如重力、風載、土壓力等,各種非荷載作用：如溫度、基礎沉降、地震等,等效地震荷載,：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用,作用,直接作用,間接作用,3.1 概述,1. 連續(xù)化描述（分布質(zhì)量）,三、結構動力計算簡圖及體系自由度,描述結構質(zhì)量的兩種方法,采用集中質(zhì)量方法確定結構計算簡圖 （步驟）：,2. 集中化描述（集中質(zhì)量）,工程上常用,定出結構質(zhì)量集中 位置（質(zhì)心）,將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心； 將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點上去,集中化描述舉例,a、水塔建筑,主要質(zhì)量：水箱部分 次要質(zhì)量：塔柱部分,水

3、箱全部質(zhì)量 部分塔柱質(zhì)量,集中到水箱質(zhì)心,單質(zhì)點體系,b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）,主要質(zhì)量：屋面部分,廠房各跨質(zhì)量,集中到各跨屋蓋標高處,集中化描述舉例,c、多、高層建筑,主要質(zhì)量：樓蓋部分,多質(zhì)點體系,d、煙囪,結構無主要質(zhì)量部分,結構分成若干區(qū)域,集中到各區(qū)域質(zhì)心,多質(zhì)點體系,返回目錄,慣性力 、阻尼力 、彈性恢復力,3.2 單自由度體系的彈性地震反應分析,一、運動方程,作用在質(zhì)點上的三種力：,慣性力,阻尼力,由結構內(nèi)摩擦及結構周圍介質(zhì)（如空氣 水等）對結構運動的阻礙造成,彈性恢復力,由結構彈性變形產(chǎn)生,C 阻尼系數(shù),k 體系剛度,力的平衡條件：,令,二、運動方程的解,1.方程的齊次

4、解自由振動,齊次方程：,自由振動：在沒有外界激勵的情況下結構體系的運動,為共軛復數(shù),，,（2）若,方程的解：,特征方程,特征根,（4）若 ， 、 為負實數(shù),（3）若,，,、,體系不振動 過阻尼狀態(tài),體系不振動 臨界阻尼狀態(tài),體系產(chǎn)生振動 欠阻尼狀態(tài),其中,圖 各種阻尼下單自由度體系的自由振動,當,臨界阻尼系數(shù)：,臨界阻尼比（簡稱阻尼比）,（1）若,體系自由振動 無阻尼狀態(tài),初始條件:, 初始速度,則,體系自由振動位移時程,初始位移,當 （無阻尼）,固有頻率,固有周期,無阻尼單自由度體系 自由振動為簡諧振動,自振的振幅將不斷衰減，直至消失,有阻尼體系,例題3-1,已知一水塔結構，可簡化為單自由度

5、體系（見圖）。,，,求該結構的自振周期。,解：直接由式,并采用國際單位可得:,2.方程的特解I簡諧強迫振動,地面簡諧運動,使體系產(chǎn)生簡諧強迫振動,設,，代入運動方程,方程的特解（零初始條件,化簡為,振幅放大系數(shù),A 地面運動振幅,B 體系質(zhì)點的振幅,）：,0.2,0.5,1,2,5,圖 單自由度體系簡諧地面強迫振動振幅放大系數(shù),達到最大值,共振,2.方程的特解II沖擊強迫振動,圖 地面沖擊運動,地面沖擊運動：,對質(zhì)點沖擊力：,質(zhì)點加速度（0dt）：,dt時刻的速度：,dt時刻的位移：,地面沖擊作用后，體系不再受外界任何作用，將做自由振動,根據(jù)自由振動位移方程，可得,自由振動初速度為,圖 體系自

6、由振動,地震地面運動一般為不規(guī)則往復運動,求解方法：,將地面運動分解為很多個脈沖運動,時刻的地面運動脈沖,4.方程的特解III 一般強迫振動,地面運動加速度時程曲線,引起的體系反應為：,疊加：體系在t時刻的地震反應為：,方程通解（單自由度體系）：,體系地震反應（通解）=自由振動（齊次解）+強迫振動（特解）,初位移、初速度引起 迅速衰減，可不考慮,地面運動引起,返回目錄,地面運動脈沖引起的單自由度體系反應,杜哈密積分,3.3單自由度體系的水平地震作用與反應譜,一、水平地震作用的定義,單自由度體系的地震作用,單自由度體系運動方程,位移最大,F =,地震作用,求得地震作用后，即可按靜力分析方法計算結

7、構的最大位移反應,質(zhì)點所受最大慣性力，即,單自由度體系的地震最大絕對加速度反應與其自振周期T 的關系，記為,二、地震反應譜,地震加速度反應譜（地震反應譜）：,杜哈密積分,求導,一般結構阻尼比較小,；,得到地震反應譜,地震加速度反應譜的意義,地震（加速度）反應譜可理解為一個確定的地面運動，通過一組阻尼比 相同但自振周期各不相同的單自由度體系，所引起的各體系最大加速度反應 與相應體系自振周期間的關系曲線,T1,T1,T2,T2,T3,T3,T4,T4,T5,T5,=0,影響地震反應譜的因素：,兩個影響因素：1.體系阻尼比 2.地震動,1.體系阻尼比,體系阻尼比越大,體系地震加速度反應越小 地震反應

8、譜值越小,圖 阻尼比對地震反應譜的影響,2.地震動,不同的地震動將有不同的地震反應譜,地震動特性三要素 : 振幅 、頻譜 、持時,地震動振幅 僅對 地震反應譜值 大小 有影響,振幅,振幅越大,地震反應譜值越大,呈線性比例關系,頻譜：地面運動各種頻率（周期）成分的加速度幅值的對應關系,不同場地條件下的平均反應譜,不同震中距條件下的平均反應譜,地震反應譜峰值 對應的周期也越長,場地越軟,震中距越大,地震動主要頻率成份越小 （或主要周期成份越長）,地震動頻譜對地震反應譜的 形狀 有影響,持時,對最大反應或地震反應譜影響不大,G 體系的重量； 地震系數(shù)； 動力系數(shù),二、地震反應譜,設計反應譜：,地震反

9、應譜直接用于結構的抗震設計有一定的困難， 而需專門研究可供結構抗震設計用的反應譜，稱之為設計反應譜,地震系數(shù),定義：,可將地震動振幅對地震反應譜的影響分離出來,烈度每增加一度地震 系數(shù)大致增加一倍,動力系數(shù),定義,意義：體系最大加速度的放大系數(shù),體系最大加速度,地面最大加速度,是規(guī)則化的地震反應譜,為使動力系數(shù)能用于結構抗震設計，采取以下措施：,1.取確定的阻尼比,，因大多數(shù)實際建筑結構的阻尼比在0.05左右,考慮阻尼比對地震反應譜的影響,2.按場地、震中距將地震動記錄分類,3.計算每一類地震動記錄動力系數(shù)的平均值,考慮地震動頻譜的影響因素,考慮類別相同的 不同地震動記錄 地震反應譜的變異性,

10、工程設計采用的動力系數(shù)譜曲線, 特征周期， 與場地條件和設計地震分組有關, 結構自振周期,衰減指數(shù)，取0.9,直線下降段斜率調(diào)整系數(shù)， 取0.02,阻尼調(diào)整系數(shù)，取1.0,值：,地震影響系數(shù),定義,圖 地震影響系數(shù)譜曲線,圖中,我國建筑抗震采用兩階段設計，各設計階段的,注：括號中數(shù)值分別用于設計基本地震加速度取,和,的地區(qū),阻尼對地震影響系數(shù)的影響,當結構阻尼比不等于0.05時，其形狀參數(shù)作如下調(diào)整 ：,1.曲線下降段衰減指數(shù)的調(diào)整,2.直線下降段斜率的調(diào)整,的調(diào)整：,3.,表中值應乘以阻尼調(diào)整系數(shù),當,取,地震作用計算,由,例題3-2,水塔結構，同例3-1。,，,位于II類場地第二組，基本烈

11、度為7度 （地震加速度為0.10g),阻尼比,求該結構多遇地震下的水平地震作用,解；查表3-3，,查表3-2，,由圖3-12（地震影響系數(shù)譜曲線）,此時應考慮阻尼比對地震影響系數(shù)形狀的調(diào)整。,返回目錄,3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析,一、多自由度彈性體系的運動方程,圖 多自由度體系的變形,在單向水平地面運動作用下，多自由度體系 的變形如圖所示。 設該體系各質(zhì)點的相對水平位移為xi(i=1,2,n), 其中n為體系自由度數(shù)， 則各質(zhì)點所受的水平慣性力為,體系水平慣性力,其中,剛度方程：,多自由度體系無阻尼運動方程,多自由度有阻尼體系運動方程,圖 多自由度體系的變形,( 各質(zhì)點振幅）,二、

12、多自由度體系的自由振動,自由振動方程,不考慮阻尼的影響，體系不受外界作用，令,多自由度自由振動方程,動力特征方程,設方程的解為,關于時間t微分兩次得,代入振動方程得：,由于,則須有：,自振頻率,體系發(fā)生振動，,有非零解，則必有：,多自由度體系的動力特征值方程,其解由小到大排列為,為體系第i階自由振動圓頻率,一個n自由度體系，有n個自振圓頻率，即有n種自由振動方式或狀態(tài),動力特征方程,例題3-3,計算僅有兩個自由度體系的自由振動頻率,解：由式,解上方程得：,可得：,多自由度體系以某一階圓頻率,振型,自由振動時，,將有一特定的振幅,與之相應,它們之間應滿足動力特征方程,設,與,相應，用分塊矩陣表達

13、,則動力特征方程,展開得,解得,（*）,（*）,將（*）代入（*），可用以復驗,求解結果的正確性,由此得體系以,頻率自由振動的解為,體系在自由振動過程中的形狀保持不變,定義：振型,把反映體系自由振動形狀的向量,稱為振型,稱為規(guī)則化的振型，也可簡稱為振型,把,也稱為第i 階振型,令,例題3-4,三層剪切型結構如圖所示， 求該結構的自振圓頻率和振型,解：該結構為3自由度體系， 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為,先由特征值方程求自振圓頻率，令,得,或,由上式可解得,從而由,得,由自振周期與自振頻率的關系,，可得結構的各階自振,周期分別為,由,得,代入,校核,則第一階振型為,同樣可求得第二階和第三階振型為,為

14、求第一階振型，將,代入,將各階振型用圖形表示:,第一階振型,第二階振型,第三階振型,振型具有如下特征:,對于串聯(lián)多質(zhì)點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖 上就有幾個節(jié)點（振型曲線與體系平衡位置的交點 ),利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否,模型 第一振型 第二振型 第三振型 第四振型 第五振型 第六振型 第七振型,上海環(huán)球金融中心,第一振型 第二振型 第三振型 第四振型 第五振型,振型的正交性,體系動力特征方程改寫為,上式對體系任意第i 階和第j 階頻率和振型均應成立,兩邊左乘,式(2)兩邊轉(zhuǎn)置,兩邊左乘,剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的對稱性,(1),(2),(3),（1）、（3）兩式

15、相減得：,如,則,(4),（4）式代入（1）式 ，得：,(5),三、地震反應分析的振型分解法,運動方程的求解,由振型的正交性，體系地震位移反應向量,稱為 振型正則坐標,唯一對應，是時間的函數(shù),與,代入多自由度體系一般有阻尼運動方程得：,將上式兩邊左乘,得,（1）,（2）,注意到振型關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性式，并設振型關于 阻尼矩陣也正交，即,則式（2）成為：,由,可得：,令,（3）,計算可得：,分解,n自由度體系的n 維聯(lián)立運動微分方程,n個獨立的關于正則坐標的單自由度體系運動微分方程,與一單自由度體系的運動方程相同,則將式（3）兩邊同除以,由杜哈密積分，可得式（4）的解為,（4）,其中

16、,阻尼比為i、自斟頻率為i的單自由度體系的地震位移反應,多自由度體系地震位移反應的解,多自由度體系的地震反應可通過分解為各階振型地震反應求解， 故稱振型分解法,體系的第j 階振型 地震反應,阻尼矩陣的處理,振型關于下列矩陣正交：,剛度矩陣,阻尼矩陣,振型分解法的前提：,質(zhì)量矩陣,無條件滿足,采用瑞雷阻尼矩陣,返回目錄,由于,得,實際計算時， 可取對結構地震反應 影響最大的兩個振型的頻率， 并取,確定瑞雷阻尼矩陣中待定系數(shù)a、b：,任取體系兩階振型,、,3.5 多自由度彈性體系的最大地震反應 與 水平地震作用,一、振型分解反應譜法,理論基礎：地震反應分析的振型分解法 及地震反應譜概念,由于各階振

17、型,的線性組合，即,是相互獨立的向量，則可將單位向量,表示成,其中,為待定系數(shù)，為確定,將式（1）兩邊左乘,得,（1）,由上式解得,（2）,質(zhì)點i任意時刻的地震慣性力,其中,圖 多質(zhì)點體系,對于右圖所示的多質(zhì)點體系，質(zhì)點i任意時刻的 水平相對位移反應為,則質(zhì)點i在任意時刻的水平相對加速度反應為,將水平地面運動加速度表達成,將式（2）代入式（1）得如下以后有用的表達式,振型j在質(zhì)點i處的位移,為質(zhì)點i 的第j 振型水平地震慣性力,則可得質(zhì)點i任意時刻的水平地震慣性力為,質(zhì)點i的第j振型水平地震作用,將質(zhì)點i的第j振型水平地震作用定義為該階振型最大慣性力，即,則,根據(jù)地震反應譜的定義,采用設計反應譜，則由,質(zhì)點i的重量；,按體系第j 階周期計算的 第j 振型地震影響系數(shù),可得,可得,通過各振型反應,振型組合,由振型j各質(zhì)點水平地震作用,，此稱為振型組合,由各振型產(chǎn)生的地震作用效應，采用“平方和開方”法確定：,注：由于各振型最大反應不在 同一時刻發(fā)生，因此直接 由各振型最大反應疊加估計 體系最大反應，結果會偏大,，按靜力分析方法計算，,可得體系振型j某特定最大地震反應,估計體系最大地震反應,SRSS法,例題3-5,三層剪切型結構同例3-4。,結構處于8度區(qū)（地震加速度為0.20g），I類場地第一組， 結構阻尼比為0.05。試采用振