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1、信息理論與編碼,第2章 熵和互信息 許海霞 xu_,重 點,事件的自信息 2個事件間的互信息 條件互信息 聯(lián)合互信息 熵,事件的自信息,2個事件間的互信息,例 X=0男性 X=1女性；Y=0抽煙 Y=1不抽煙,條件互信息,聯(lián)合互信息,重點,熵的定義及性質(zhì) 平均互信息 熵和平均互信息之間的關系（圖）,隨機變量的平均自信息熵 例,熵的定義 例,條件熵 X和Y統(tǒng)計獨立時,聯(lián)合熵 聯(lián)合熵的鏈法則,例：設箱中有m個黑球，n-m0個白球，現(xiàn)從箱子中做不放回取球，用X表示取出第一個球的顏色，Y表示取出第二個球的顏色。 求,熵的性質(zhì) 對稱性 非負性 確定性 可擴展性 可加性 極值性 嚴格上凸性,隨機變量間的平

2、均互信息,互信息的性質(zhì) 非負性 對稱性,例 已知平均每100人中有2人患有某種病，為了查明病情，必須進行某項指標的化驗。這種化驗的結果對于有病的人總是陽性的，對于健康人來說有一半可能為陽性、一半可能為陰性。試問這項化驗對于查明病情提供多少信息？,例 有兩個硬幣，一個是正常硬幣，另一個的兩面都是面值。現(xiàn)隨機抽取一個硬幣，拋擲2次。問出現(xiàn)面值的次數(shù)對于硬幣的識別提供多少信息？,重點,數(shù)據(jù)處理定理 連續(xù)隨機變量的互信息和微分熵 平穩(wěn)離散信源的熵,概率分布的散度（相對熵） 平均互信息的散度表示,關于疑義度的Fano不等式 兩個在相同字符表 中取值的隨機變量 和 滿足 其中,馬爾可夫鏈 記為 特別地，考

3、慮三個隨機變量的馬爾可夫鏈,數(shù)據(jù)處理定理：如果有馬爾可夫鏈 則 如果有馬爾可夫鏈 ，則,定理：條件分布 給定時，互信息 是輸入分布 的上凸函數(shù)。 定理：當隨機變量X的概率分布給定時，平均互信息 是條件概率分布 的下凸函數(shù)。,連續(xù)隨機變量的互信息,條件互信息 聯(lián)合互信息,連續(xù)隨機變量互信息的性質(zhì) 若 ，則,連續(xù)隨機變量的熵-微分熵,微分熵的極大化 峰值受限：設 ，即 ，這時 微分熵 ，等號在均勻分布時達到。 平均功率受限：在方差 一定的條件下，當X 服從正態(tài)分布時，微分熵最大，即,平穩(wěn)離散信源的熵,隨機序列平穩(wěn)的概念 平穩(wěn)信源的熵,離散平穩(wěn)信源熵的性質(zhì) 隨N的增大而單調(diào)不增。 也隨N的增大而單調(diào)不增。,熵的相對率

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