1、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,一、復(fù)習(xí)與引入：,1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.,2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.,3.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則.,4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方式 展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo).然后能否用其它 的辦法求導(dǎo)呢?,為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運算法則,這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,1.復(fù)合函數(shù)的概念:,2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)

2、,等于已知函數(shù)對中間 變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).,法則可以推廣到兩個以上的中間變量.,求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo),一般地,如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo),就不必再選中間變量.,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則要有機的結(jié)合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.,三、例題選講：,解:設(shè)y=u5,u=2x+1,則:,解:設(shè)y=u-4,u=1-3x,則:,解:設(shè)y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則:,說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.,例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)

3、數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;,(3)y=tan3x;,(5):y=sin2(2x+/3),例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R= 10cm時,圓面積增加的速度.,故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.,解:設(shè)所求點為P(x0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:,把x0=0代入曲線方程得:y0=1.,所以點P的坐標為(0,1),切線方程為y-1=0.,例5:求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交 點處的切線互相垂直.,證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標軸對稱,故只需證明其中一 個交點處的切線互相垂直即可.,聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,

4、2),不妨 證明過P點的兩條切線互相垂直.,因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.,說明:對于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其 結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法 則.,我們曾經(jīng)利用導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個結(jié)論: “可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明:,同理可證另一個命題.,我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).,證:設(shè)f(x)為可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個周期,則對定義 域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x).,說明:這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表

5、達 式,求出在各可導(dǎo)(開)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后再用 定義來討論分段點的可導(dǎo)性.,從而f(x)在x=1處不可導(dǎo).,四、小結(jié)：,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時,選擇中間變 量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其間的復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時當(dāng)作一個整體, 這個暫時的整體,就是中間變量.求導(dǎo)時需要記住中間變量,注意逐層求導(dǎo),不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導(dǎo)后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).,在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切線 問題,但在上面的解法中回避了點在第二、三、四象限 的情況.可能有同學(xué)會提出對于二次曲線

6、在任意點的切線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.我們不便去過多的去研究.,下面舉一個例子使同學(xué)們了解一下求一般曲線在任意點的切線的方法.(說明:這個內(nèi)容不屬于考查范圍.),備用,利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:,(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P0(x0,y0)的切線方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,(2)過橢圓 上一點P0(x0,y0)的切線方程是:,(4)過拋物線y2=2px上一點P0(x0,y0)的切線方程是:y0y =p(x+x0).,證:設(shè)x有增量x,則對應(yīng)的u,y分別有增量u, y.,當(dāng)u=0時,公式也成立.,上面的證明其實不是一個很嚴格的證明,而且中間還會有不少的疑問