1、船舶結(jié)構(gòu)有限元分析Finite Element Analysis of Ship Structure,上海海事大學(xué)商船學(xué)院 江國和,第三章 等參單元,3.1等參單元的引入,采用等參變換的單元稱之為等參單元，即單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)，采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。 基本思想：現(xiàn)在具有規(guī)則形狀的單元（區(qū)域）上構(gòu)造位移插值函數(shù)，然后把這個(gè)具有規(guī)則形狀的坐標(biāo)變換映射為物理平面上的一個(gè)形狀比較復(fù)雜的單元，因而，等參單元也被稱為映射單元。,3.2四節(jié)點(diǎn)矩形雙線性單元3.21位移插值函數(shù),對(duì)于某些有規(guī)則邊界的區(qū)域，可以把所討論的 區(qū)域劃分成若干個(gè)矩形單元，設(shè)一個(gè)中心位于坐標(biāo)

2、原點(diǎn)，變長為2的正方形，如圖 取正方形的四個(gè)角點(diǎn)作為單元 節(jié)點(diǎn)，單元的位移模式為,式中所示的位移插值函數(shù)的特點(diǎn)：固定x，它 是y的線性函數(shù)；固定y，它是x的線性函數(shù)。因而， 我們稱它為雙線性插值函數(shù)，把采用這種位移插值 函數(shù)的四節(jié)點(diǎn)矩形單元稱為矩形雙線性單元。 矩形雙線性單元有著常應(yīng)變?nèi)切螁卧痪?有的反映單元彎曲變形的能力，從而計(jì)算精度有望 提高。 由于上式滿足常應(yīng)變準(zhǔn)則即完備性條件，又滿 足位移連續(xù)性條件即協(xié)調(diào)性條件。因而，矩形雙線 性單元是完備的協(xié)調(diào)單元。,3.2.2形函數(shù)的確定,建立以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的有限元方程，把u和v表示成形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)位移乘積之和的形式 形函數(shù)確定的條件：

3、 （1）每個(gè)形函數(shù)都仍然是坐標(biāo)的雙線性函數(shù)； （2）Ni在結(jié)點(diǎn)i處等于1，在其他節(jié)點(diǎn)處等于0。,根據(jù)條件2，可得 根據(jù)矩形單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，可將形函數(shù)Ni統(tǒng)一表示為 （i=1,2,3,4） 對(duì)任意雙線性函數(shù)f(x , y),都有 為f(x , y)在節(jié)點(diǎn)i的值，分別取f(x , y)=1， f(x , y)=x和f(x , y)=y，得：,形函數(shù)是定義在給定單元上的，所以上式對(duì)單元的每一點(diǎn)（x , y）都成立。單元內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)通過單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 的表達(dá)式，即坐標(biāo)插值函數(shù)。 位移插值函數(shù)和坐標(biāo)插值函數(shù)具有完全相同的構(gòu)造，都是以節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值作為參數(shù)，并具有相同的形函數(shù)。因而矩形雙線性單元也是一種

4、等參數(shù)單元。,3.2.2矩形雙線性單元的完備性和協(xié)調(diào)性,完備性：所采用的位移插值函數(shù)的確能反映任意給定的剛體位移和常應(yīng)變，簡稱為滿足常應(yīng)變準(zhǔn)則或完備性條件 上式是任何等參數(shù)單元滿足常應(yīng)變準(zhǔn)則的充分必要條件,協(xié)調(diào)性：只要相鄰單元在其公共邊界上具有共同節(jié)點(diǎn)，相鄰單元間公共邊界上任一點(diǎn)的位移就必定相同，所以位移連續(xù)條件（即協(xié)調(diào)性條件）得到滿足。 在x=1邊界上，N1=0，N4=0，有 同理，在x=1的邊界有 ?？芍?，矩形雙線性單元的邊界在手里變形后，仍保持為直線邊界。此協(xié)調(diào)性論證適用于任何等參單元。,3.3四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元,前面介紹的四節(jié)點(diǎn)矩形雙線性單元只適用于規(guī)則區(qū)域。本屆介紹可用于不規(guī)則區(qū)域

5、的四節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元。 3.3.1四節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元 對(duì)任意四邊形單元，不能再直接采用雙線性插值函數(shù)。通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把物理平面（xy平面）四邊形單元變換成平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的邊長為2的正方形單元，xy平面上的節(jié)點(diǎn)1，2，3，4分別對(duì)應(yīng)正方形單元的節(jié)點(diǎn)1，2，3，4。如圖所示,對(duì)于a所示的四邊形單元，將各邊的等分點(diǎn)用之線連接，并規(guī)定它與局部坐標(biāo)系下單元的相應(yīng)對(duì)邊、等分點(diǎn)的連線對(duì)應(yīng)，這樣，就建立了圖a所示四邊形單元和圖b所示正方形單元個(gè)點(diǎn)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。,3.3.2自然坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù),自然坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)： 式中形函數(shù) （i=1,2,3,4） 有 可知，插值函數(shù)在自然

6、坐標(biāo)系下滿足常應(yīng)變準(zhǔn)則和協(xié)調(diào)性條件,3.3.3坐標(biāo)變換,整體坐標(biāo)和自然坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換關(guān)系式： 由形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)i為1，在其他節(jié)點(diǎn)為0的性質(zhì)可知，上式把正方形的四個(gè)頂點(diǎn)變換成整體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)（Xi，Yi）。 其次，考察母單元某一條邊，如12邊=-1,上式是一條以為參數(shù)的直線方程，因而變換式把母單元的12邊變換成整體坐標(biāo)下連接節(jié)點(diǎn)的直邊。對(duì)其他邊也有同樣結(jié)論。 位移插值公式和坐標(biāo)變換公式具有完全相同的構(gòu)造，因此這種四節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元也是等參單元，簡稱為四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元，在整體坐標(biāo)下也必然滿足常應(yīng)變準(zhǔn)則。 位移插值函數(shù)在自然坐標(biāo)系下的協(xié)調(diào)性自動(dòng)保證了坐標(biāo)變換式的合理性及位移插值函數(shù)在整體坐標(biāo)系下

7、的協(xié)調(diào)性 今后，對(duì)每個(gè)單元，我們把立足點(diǎn)放在自然坐標(biāo)上，一切計(jì)算都轉(zhuǎn)換到自然坐標(biāo)系下進(jìn)行,位移插值函數(shù)可用矩陣記號(hào)記為： 3.3.4應(yīng)變矩陣B建立 對(duì)平面應(yīng)力問題,上式B是一個(gè)三行8列矩陣 （i=1，2，3，4） 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得 寫成矩陣形式，,式中坐標(biāo)變換矩陣（雅可比矩陣） 由矩陣求逆法則得 式中,3.3.5應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,S=DB為應(yīng)力矩陣 3.3.6單元?jiǎng)偠染仃嚰暗刃Ч?jié)點(diǎn)載荷 1.面元變換公示 自然坐標(biāo)系下的無限小面積元，經(jīng)過坐標(biāo)變換式變換為整體坐標(biāo)系下無限小平行四邊形，如圖,變換后微元面積記為dA，則 2.單元?jiǎng)偠染仃?把積分區(qū)域變換到自然坐標(biāo)系平面上的相應(yīng)區(qū)域,A單元所占區(qū)域

8、 t單元厚度,3.等效節(jié)點(diǎn)載荷,討論作用在單元邊界上的表面里引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷,在12邊上，=-1，N3=0,N4=0,3.3.7等參變換的條件,為了確保坐標(biāo)變換式能確定整體坐標(biāo)與自然坐標(biāo)間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，要求： 所以，為保證等參數(shù)變換得以進(jìn)行，所謂的任意四邊形所有內(nèi)角都必須小于180 當(dāng)內(nèi)角接近180，丨J丨接近與零，因?yàn)樨璊丨出現(xiàn)在求逆矩陣的分母，將導(dǎo)致計(jì)算誤差迅速增大，因而計(jì)算實(shí)踐不應(yīng)使四邊形單元過于歪斜。,3.4等參單元的收斂性,為了保證協(xié)調(diào)性，相鄰單元在這些公共邊（或面）上應(yīng)有完全相同的節(jié)點(diǎn)，同時(shí)每一單元沿這些邊(或面)的坐標(biāo)和未知函數(shù)應(yīng)采用相同的插值函數(shù)加以確定。,關(guān)于單元的安全性，

9、對(duì)于 型單元，要求插值函數(shù)中包含完全的線性項(xiàng)，本章討論的所有單元在自然坐標(biāo)中是滿足此要求的。 研究經(jīng)過等參變換后，笛卡爾坐標(biāo)下有： 將上式代入，就得到單元內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式 可以看出，如果插值函數(shù)滿足 ，說明單元滿足完備性要求,某些情況下，坐標(biāo)插值多項(xiàng)式次數(shù)低于位移插值多項(xiàng)式，計(jì)算更為便捷，這樣的單元稱為次參數(shù)單元，如圖為典型的二維次參數(shù)單元。 坐標(biāo)插值函數(shù)的階數(shù)高于位移插值函數(shù)的階數(shù)的單元，稱為超參數(shù)單元，可以更準(zhǔn)確的描述殼體的復(fù)雜幾何形狀,3.5數(shù)值積分方法,3.5.1插值求積法 在求積區(qū)間-1，1上取n個(gè)分點(diǎn)i（i=1,2n）, n 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的分布可等距也可不等距，記 根據(jù)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值F

10、i，構(gòu)造一個(gè)n-1次插值多項(xiàng)式Pn(),使得 ，稱為F()的插值多項(xiàng)式或拉格朗日插值多項(xiàng)式。寫成如下形式： 根據(jù)Ni()的性質(zhì)可知,記 則有 插值多項(xiàng)式可寫為 于是有 若記 就得到插值求積公式,式中的系數(shù)Hi(i=1,2,3n)稱為求積系數(shù)或加權(quán)系數(shù)。它的值與被積函數(shù)無關(guān)，只依賴于求積節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置。 當(dāng)F()本身是次數(shù)不超過n-1的多項(xiàng)式時(shí)， 即具有n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n-1次的代數(shù)精確度。 3.5.2高斯求積法 對(duì)求積節(jié)點(diǎn)的位置予以優(yōu)選，使插值求積公式對(duì)任何次數(shù)不超過2n-1次的多項(xiàng)式函數(shù)都精確成立。這時(shí)求積公式的最高代數(shù)精確度為2n-1次，稱為高斯求積公式,設(shè)F()為次數(shù)

11、不超過2n-1次的任意多項(xiàng)式， 因此有 只需要選取i(i=1,2,，n)，使以下n個(gè)等式 成立，則插值求積公式 即為高斯求積公式。積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n，稱為數(shù)值積分的階,N次勒讓德多項(xiàng)式 在區(qū)間-1，1上的n個(gè)根就是高斯求積公式中的n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。利用此性質(zhì)可確定節(jié)點(diǎn)i和系數(shù)Hi。因此高斯求積公式又叫高斯勒讓德求積法。 n=1情形，得一階高斯求積公式 式中1=0，H1=2，此為中點(diǎn)矩形插值公式，對(duì)任意一次多項(xiàng)式都精確成立 n=2情形，二階高斯求積公式 式中 ,它對(duì)任意三次多項(xiàng)式函 數(shù)都精確成立。,下表列出n=1至n=4時(shí)高斯求積公式中的求積節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的求積系數(shù),3.5.3二維和三維高斯求積公式 因

12、為 故二維高斯求積公式為： 同理，三維高斯求積公式為： 對(duì)有限元分析而言，由于幾何各向同性要求，個(gè)方向的求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)取為相同，故有上述公式,3.6數(shù)值積分階次的選擇,選擇積分階次的原則： 1.保證積分的精度 縮減積分：高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案。 采用縮減積分可以取得較完全精確積分更好的精度。理由如下： .精確積分常常是由插值函數(shù)中非完全項(xiàng)的最高次方要求，而決定有限元精度的是完全多項(xiàng)式的次方。 .有限元計(jì)算模型具有較實(shí)際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度，縮減積分方案將使模型剛度有所降低，因此提高計(jì)算精度,3.2坐標(biāo)變換與平面四結(jié)點(diǎn)等參元,圖3-1(a)為一個(gè)任意四邊形單元，

13、稱為實(shí)際單元。在實(shí)際單元內(nèi)以對(duì)邊的中點(diǎn)連線建立起一個(gè)局部坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換把實(shí)際單元“映射”為如圖3-1(b)所示的一個(gè)正方形，此坐標(biāo)系稱為單元的自然坐標(biāo)系或等參數(shù)坐標(biāo)系，正方形稱為基本單元，基本單元內(nèi)任一 點(diǎn)P( ， )與實(shí)際單元內(nèi)的一點(diǎn)P(x，y)唯一對(duì)應(yīng)。,圖3-1(a),(a) 直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元 (b) 自然坐標(biāo)系與基本單元,圖3-1(b),實(shí)際單元與基本單元的對(duì)應(yīng)關(guān)系可寫為,(3-1),(3-2),用同樣的形狀函數(shù)來插值單元內(nèi)任意一點(diǎn)(x, y)的位移,(3-3),為此單元的結(jié)點(diǎn)位移列向量 為形狀函數(shù)矩陣。 這里采用了同樣的形狀函數(shù)式(3-2)，用同樣的結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)表示出單元的

14、幾何坐標(biāo)x、y與u、v，這種單元稱為等參單元。,類似地可以推廣到具有更多結(jié)點(diǎn)的單元，如圖3-2所示,(a) 直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元 (b)自然坐標(biāo)系與基本單元,圖3-2 八結(jié)點(diǎn)等參單元,該基本單元的位移函數(shù)可取為,(3-4),其中在頂角結(jié)點(diǎn)與邊中點(diǎn)上的形函數(shù)分別為,(3-5),(3-6),3.3 單元?jiǎng)偠染仃?首先給出單元內(nèi)的應(yīng)變列向量，對(duì)平面問題 應(yīng)有,(3-7),按坐標(biāo)變換關(guān)系式(3-1)，有,寫成矩陣表達(dá)式為：,(3-8),由式(3-8)可解出,其中,(3-9),J稱為坐標(biāo)變換的雅可比（Jacabian）矩陣，其中,合寫成矩陣形式有,(3-10),將式(3-3)代入式(3-7)中，則有,為

15、應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，按結(jié)點(diǎn)分塊表示，有,而 i=1,2,3,4,(5-11),將式(3-9)代入式(3-11)，即可得出此單元的 應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣 ,進(jìn)而求出 。,同上，單元內(nèi)的應(yīng)力可表示為,(3-12),上述積分在自然坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，得,剛度矩陣,(3-13),單元?jiǎng)偠染仃囉商摴υ砬蟮茫?式中， 為對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)位置 、 值， 、 為權(quán)重系數(shù)，L、M為沿 、 方向的積分點(diǎn)數(shù)目。,一般參數(shù)單元的計(jì)算都采用數(shù)值積分求式(3-13)的近似值，同時(shí)，為了減少計(jì)算點(diǎn)的數(shù)目和便于編寫程序，多采用高斯數(shù)值積分方法。二維積分法的高斯求積公式為,(3-14),3.4 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,3.4.1 問題描述,一個(gè)

16、長方形面板，如圖5-3所示，其高AB=1m，寬BC=1.5m，板厚b=0.04，孔半徑R0.2m，長方形面板的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長方形底邊約束全部自由度。載荷：BC邊施加垂直向下均布載荷 F10000000N/m。,圖3-3 長方形板 結(jié)構(gòu),3.4.2 ANSYS求解操作過程,打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作。 （1）選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，彈出Element Type對(duì)話框，如圖3-4所示。單擊Add，彈出Library of Element Type窗口，如圖3-5

17、所示，選擇PLANE82。,圖3-4 單元類型對(duì)話框,圖3-5單元類型庫對(duì)話框,在Element Types對(duì)話框中單擊Options對(duì)話框，彈出如圖3-6所示對(duì)話框，設(shè)置K3選項(xiàng)欄為Plane strsw/thk，設(shè)置K5選項(xiàng)欄為Nodal stress，設(shè)置K6選項(xiàng)欄為No extra output。表示單元是應(yīng)用于平面應(yīng)力問題，且單元是有厚度的。,圖3-6 PLANE82 單元類型選項(xiàng)對(duì)話框,運(yùn)行PreprocessorReal Constants Add/Edit/Delete。彈出如圖3-7所示對(duì)話框，點(diǎn)擊Add，彈出如圖3-8所示對(duì)話框，點(diǎn)擊OK，彈出如圖3-9所示對(duì)話框。在THK

18、選項(xiàng)欄中設(shè)置板厚度為0.04m。設(shè)置完畢單擊OK按鈕完成設(shè)置。,圖3-10選擇材料屬性對(duì)話框 圖3-11 設(shè)置材料屬性對(duì)話框,（2）設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial Props Material Models，彈出如圖3-10所示對(duì)話框，雙擊Isotropic，彈出圖3-11所示對(duì)話框，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。,（3）建立模型 選擇Preprocessor Modeling Create Area RectangleBy 2 Corners；彈出如圖3-12所示對(duì)話框，設(shè)置參數(shù)，WP X選項(xiàng)欄中填寫0

19、，WP Y選項(xiàng)欄中填寫0，Width選項(xiàng)欄中填寫1.5，Height選項(xiàng)欄中填寫1，單擊OK，設(shè)置完畢。繼續(xù)運(yùn)行Preprocessor Modeling Create Area CircleSolid Circle；得到如圖3-13所示對(duì)話框，在WP X選項(xiàng)欄中填寫0.75，WP Y選項(xiàng)欄中填寫0.5，在Radius選項(xiàng)欄中填寫0.2，設(shè)置完畢點(diǎn)擊OK按鈕。得到如圖3-14所示圖形。,圖5-14 長方形板模型,（4）劃分網(wǎng)格 運(yùn)行MeshingSize Cntrls ManualSizeAreasAll Areas，彈出如圖3-15所示對(duì)話框，在SIZE選項(xiàng)欄中填寫0.05，點(diǎn)擊OK按鈕；運(yùn)行MeshAreasFree劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分如圖3-16所示。,圖5-15 設(shè)置網(wǎng)格尺寸對(duì)話框,圖5-16劃分網(wǎng)格后板的有限元模型,圖5-17 對(duì)線施加全約束,（5）施加約束 選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructur