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1、1.2、常系數(shù)非齊次線性微分方程,二、常數(shù)變易法 一階非齊次線性微分方程 相應(yīng)齊次方程的通解為 常數(shù)變易法得非齊次方程的通解為,二階非齊次線性微分方程 相應(yīng)齊次方程的通解為 常數(shù)變易法設(shè)非齊次方程的通解為,則系數(shù)c1(x), c2(x)滿足如下方程組 求解出c1(x), c2(x)即可得到非齊次方程的通解,例 二階線性微分方程 齊次方程的通解 常數(shù)變易法設(shè)非齊次方程有一個(gè)解,則系數(shù)C1(t), C2(t)滿足如下方程組 解得,1.3、變系數(shù)線性微分方程,一、求解歐拉型常微分方程,例2 即 作變量代換r = et，則,二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解 方程 y+py+qy=0 稱為二階常系數(shù)齊

2、次線性微分方程，其中p、q均為常數(shù)。,二、常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法 函數(shù)y(x)的線性二階常微分方程 若函數(shù)p(x)和q(x)在點(diǎn)x = x0處無(wú)限次可導(dǎo)，則稱 x0為方程的常點(diǎn)；否則稱x0為方程的奇點(diǎn)。,定理 若x0為方程的常點(diǎn)，則在x0的鄰域內(nèi)存在滿足初始條件的唯一解y(x)。 級(jí)數(shù)解法 方程的解y(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)無(wú)限次可導(dǎo)，并可表示成泰勒級(jí)數(shù)形式： 其中，a0, a1, a2, . , ak , .是待定系數(shù)。只要能夠確定這些系數(shù)，也就得到了方程的解。,在x0 = 0的鄰域上求解常微分方程 (w是常數(shù)) 解： 顯然，x0 = 0是方程的常點(diǎn)，可應(yīng)用常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法。,設(shè)常點(diǎn)鄰域上的解y(x)可展為泰勒級(jí)數(shù)形式 將上述泰勒級(jí)數(shù)形式代入方程，即可確定待定系數(shù)a0, a1, a2, . y(x)的二階導(dǎo)數(shù),代入方程，合并相同冪次項(xiàng)，得 等式右邊為零，則冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)為零，即 則待定系數(shù)之間有

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