1、2017考研數(shù)學(xué)三真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1若函數(shù)在處連續(xù)，則（A）（B）（C）（D）【詳解】，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿(mǎn)足所以應(yīng)該選（A）2二元函數(shù)的極值點(diǎn)是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，解方程組，得四個(gè)駐點(diǎn)對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)只有在點(diǎn)處滿(mǎn)足，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以應(yīng)該選（D）3設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，則（A） （B） （C） （D）【詳解】設(shè)，則，也就是是單調(diào)增加函數(shù)也就得到，所以應(yīng)該選（C）4 若級(jí)數(shù)收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】iv時(shí)顯然當(dāng)且僅當(dāng)，也就是時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是關(guān)于的二階無(wú)窮小，級(jí)數(shù)收斂，從而選擇（C）5

2、設(shè)為單位列向量，為階單位矩陣，則（A）不可逆 （B）不可逆（C）不可逆 （D）不可逆【詳解】矩陣的特征值為和個(gè)，從而的特征值分別為；顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選（A）6已知矩陣，則 （A）相似，相似 （B）相似，不相似（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似【詳解】矩陣的特征值都是是否可對(duì)解化，只需要關(guān)心的情況對(duì)于矩陣，秩等于1 ，也就是矩陣屬于特征值存在兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是可以對(duì)角化，也就是對(duì)于矩陣，秩等于2 ，也就是矩陣屬于特征值只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是不可以對(duì)角化，當(dāng)然不相似故選擇（B）7設(shè)，是三個(gè)隨機(jī)事件，且相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立的充分必要條件

3、是（ ）（A）相互獨(dú)立 （B）互不相容（C） 相互獨(dú)立 （D）互不相容【詳解】顯然，與相互獨(dú)立的充分必要條件是，所以選擇（C ）8設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）（A）服從分布 （B）服從分布 （C）服從分布 （D）服從分布解：（1）顯然且相互獨(dú)立，所以服從分布，也就是（A）結(jié)論是正確的；（2），所以（C）結(jié)論也是正確的；（3）注意，所以（D）結(jié)論也是正確的；（4）對(duì)于選項(xiàng)（B）：，所以（B）結(jié)論是錯(cuò)誤的，應(yīng)該選擇（B）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 把答案填在題中橫線(xiàn)上）9 解：由對(duì)稱(chēng)性知10差分方程的通解為 【詳解】齊次差分方程的通解為；

4、設(shè)的特解為，代入方程，得；所以差分方程的通解為11設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本，其中產(chǎn)量為，則邊際成本為 .【詳解】答案為平均成本，則總成本為，從而邊際成本為12設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知，則 【詳解】，所以，由，得，所以13設(shè)矩陣，為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的三維列向量，則向量組的秩為 【詳解】對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以向量組的秩為214設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，若，則 【詳解】顯然由概率分布的性質(zhì)，知，解得，三、解答題15（本題滿(mǎn)分10分）求極限【詳解】令，則，16（本題滿(mǎn)分10分）計(jì)算積分，其中是第一象限中以曲線(xiàn)與軸為邊界的無(wú)界區(qū)域【詳解】17（本題滿(mǎn)分10分）求【詳解】

5、由定積分的定義18（本題滿(mǎn)分10分）已知方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，確定常數(shù)的取值范圍【詳解】設(shè)，則令，則，所以在上單調(diào)減少，由于，所以當(dāng)時(shí)，也就是在上單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)，進(jìn)一步得到當(dāng)時(shí)，也就是在上單調(diào)減少，也就是得到19（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)，為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1）證明的收斂半徑不小于（2）證明，并求出和函數(shù)的表達(dá)式【詳解】（1）由條件也就得到，也就得到也就得到，所以收斂半徑（2）所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)， 由和函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以也就是有解微分方程，得，由于，得所以20（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)三階矩陣有三個(gè)不同的特征值，且（1）證明：；（2）若，求方程組的通解【詳解】（1）證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以是非

6、零矩陣，也就是假若時(shí)，則是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因?yàn)椋簿褪蔷€(xiàn)性相關(guān)，也就只有（2）因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量由于，所以基礎(chǔ)解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)21（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，求的值及一個(gè)正交矩陣【詳解】二次型矩陣因?yàn)槎涡偷臉?biāo)準(zhǔn)形為也就說(shuō)明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為通過(guò)分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣22（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為（1）求概率；（2）求的概率密度【詳解】（1）所以（2）的分布函數(shù)為故的概率密度為23（本題滿(mǎn)分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做了次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)參數(shù)（1）求的概率密度；（2）利用一階矩求的矩估計(jì)