1、第56講二項(xiàng)式定理考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.2017全國(guó)卷，62017全國(guó)卷，42017山東卷，112016全國(guó)卷，142016天津卷，102016山東卷，12對(duì)二項(xiàng)式定理的考查，主要是利用通項(xiàng)求展開式的特定項(xiàng)及參數(shù)值利用二項(xiàng)式定理展開式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)等問(wèn)題.分值：5分1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(ab)n_CanCan1bCankbkCbn(nN)_二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)_C_(k0，1，n)二項(xiàng)式通項(xiàng)Tk1_Cankbk_，它表示第_k1_項(xiàng)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)在二項(xiàng)展

2、開式中第k項(xiàng)為Cankbk.()(2)通項(xiàng)Cankbk中的a和b不能互換()(3)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)()(4)(ab)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)()(5)(ab)n某項(xiàng)的系數(shù)是由該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等構(gòu)成，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同()解析 (1)錯(cuò)誤在二項(xiàng)展開式中第k1項(xiàng)為Cankbk，而第k項(xiàng)應(yīng)為Cank1bk1.(2)正確通項(xiàng)Cankbk中的a與b如果互換，則它將成為(ba)n的第k1項(xiàng)(3)錯(cuò)誤由二項(xiàng)展開式中某項(xiàng)的系數(shù)的定義知；二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)不一定是中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)，而二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)則為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)(4)正確因?yàn)槎?/p>

3、項(xiàng)式(ab)n的展開式中第k1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C，顯然它與a，b無(wú)關(guān)(5)正確因?yàn)槎?xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是由該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)構(gòu)成的，一般情況下，不等于二項(xiàng)式系數(shù)2已知7的展開式的第4項(xiàng)等于5，則x(B)ABC7D7解析 7的展開式中T4Cx435，所以x.3化簡(jiǎn)：CCC的值為_22n1_.解析 因?yàn)镃CC22n，所以CCC22n1.4.5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_40_.解析 Tr1C(x2)5rrC(2)rx105r，令105r0，得r2，故常數(shù)項(xiàng)為C(2)240.5(2017山東卷)已知(13x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n_4_.解析 由題意可知C3254，C6，解得n

4、4.一二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題(1)求展開式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第k1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可(2)已知展開式中的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第k1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)【例1】 (1)(2018廣東惠州模擬)在二項(xiàng)式5的展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是(A)A10B10C5D20(2)8的展開式中的有理項(xiàng)共有_3_項(xiàng)解析 (1)Tr1C(x2)5r(x1)rC(1)rx103r，令103r4，得r2，所以含x4項(xiàng)的系數(shù)為C(1)210，故選A(2)展開式的通項(xiàng)為Tr1C()8rrrCx(r0,1,2，8)，為使Tr1為有理項(xiàng)，r必須是

5、4的倍數(shù)，所以r0,4,8，故共有3個(gè)有理項(xiàng)二多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題(1)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏(3)對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決【例2】 (1)48的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(D)A32B34C36D38(2)(2017全國(guó)卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(C)A80B40C40D80(3)(2017全國(guó)卷)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為

6、(C)A15B20C30D35解析 (1)4的展開式的通項(xiàng)為Tm1C(x3)4mmC(2)mx124m，令124m0，解得m3，8的展開式的通項(xiàng)為Tn1Cx8nnCx82n，令82n0，解得n4，所以所求常數(shù)項(xiàng)為C(2)3C38.(2)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x2y3的項(xiàng)，即C(2x)2(y)3；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取y時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x3y2的項(xiàng)，即C(2x)3(y)2，所以x3y3的系數(shù)為C23C2210(84)40.(3)(1x)6展開式的通項(xiàng)Tr1Cxr，所以(1x)6的展開式中x2的系數(shù)為1C1C30，故選C三二項(xiàng)式系數(shù)的和與性質(zhì)賦值法的應(yīng)用(1)形如(axb)n，(

7、ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可(2)對(duì)形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.【例3】 (1)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m(B)A5B6C7D8(2)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a1a2a3a4_0_.解析 (1)由題意得：aC，bC，所以1

8、3C7C，13，解得m6，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，選B(2)令x1可得a0a1a2a3a41；令x0，可得a01，所以a1a2a3a40.四二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)整除問(wèn)題的解題思路：利用二項(xiàng)式定理找出某兩個(gè)數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除問(wèn)題和余數(shù)問(wèn)題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開進(jìn)行分析判斷(2)求近似值的基本方法：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)，(1x)n1nx.【例4】 (1)設(shè)aZ，且0a13，若512 012a能被13整數(shù)，則a(D)A0B1C11D12(2)1.028的近似值是_1.172_.(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)解析 (1)512 012

9、a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除，且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值為12.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.1(2018河南商丘檢測(cè))在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是(D)A74B121C74D121解析 展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.2(2018安徽安慶二模)將3展開后，常數(shù)項(xiàng)是_1

10、60_.解析 36展開后的通項(xiàng)是C()6kk(2)kC()62k.令62k0，得k3.所以常數(shù)項(xiàng)是C(2)3160.3(2018廣東廣州綜合測(cè)試)已知n的展開式的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，則正整數(shù)n的值為_8_.解析 二項(xiàng)式n的展開式的通項(xiàng)是Tr1C(2x3)nrrC2nr(1)rx3n4r，依題意，有3n460，得n8.4C3C5C(2n1)C_(n1)2n_.解析 設(shè)SC3C5C(2n1)C(2n1)C，S(2n1)C(2n1)C3CC，2S2(n1)(CCCC)2(n1)2n，S(n1)2n.易錯(cuò)點(diǎn)不能靈活使用公式及其變形錯(cuò)因分析：選擇的公式不合適，造成解題錯(cuò)誤【例1】 求5展開式中常數(shù)項(xiàng)解析 x

11、3，原式(x1)15，則常數(shù)項(xiàng)為C(1)53 003.【例2】 求9192被100除所得的余數(shù)解析 (901)92C9092C9091C902C90C，前91項(xiàng)均能被100整數(shù)，剩下兩項(xiàng)和為929018 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.【跟蹤訓(xùn)練1】 (x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(C)A10B20C30D60解析 (x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.課時(shí)達(dá)標(biāo)第56講解密考綱對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要涉及利用通項(xiàng)公式求展開式、特定項(xiàng)或參數(shù)值，利用二項(xiàng)式的性質(zhì)求多項(xiàng)式

12、的二項(xiàng)式系數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)的和，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)一、選擇題1二項(xiàng)式10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(A)A180B90C45D360解析 10的展開式的通項(xiàng)為Tk1C()10kk2kCx5k，令5k0，得k2，故常數(shù)項(xiàng)為22C180.2設(shè)n為正整數(shù)，2n展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的一個(gè)可能取值為(B)A16B10C4D2解析 2n展開式的通項(xiàng)公式為Tk1Cx2nkkC(1)kx，令0，得k，依據(jù)選項(xiàng)知n可取10.3.6的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為，則x2dx的值為(B)A3BC3或D3或解析 該二項(xiàng)展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為Ca5，由Ca5，解得a1，因此x2dxx2dx|.4已知(1x)10a0a1

13、(1x)a2(1x)2a10(1x)10，則a8(D)A5B5C90D180解析 (1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22(1)8180，故選D5若()5展開式的第三項(xiàng)為10，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為(D)解析 ()5的展開式的通項(xiàng)為Tr1Cxy，則T3Cxy10，即xy1，由題意知x0，故D選項(xiàng)的圖象符合6在(2xxlg x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1 120，則x(C)A1BC1或D1解析 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，由題意可知T5C(2x)4(xlg x)41 120，x4(1lg x)1，兩邊取對(duì)數(shù)可知lg2xlg

14、x0，得lg x0或lg x1，故x1或x.二、填空題7(2017浙江卷)已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_16_，a5_4_.解析 由題意知a4為展開式含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理得a4C12C22C13C216，a5是常數(shù)項(xiàng)，所以a5C13C224.8(2016全國(guó)卷)(2x)5的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是_10_(用數(shù)字填寫答案)解析 由(2x)5得Tr1C(2x)5r()r25rCx5，令53得r4，此時(shí)系數(shù)為10.9若二項(xiàng)式n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是80，則該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于_32_.解析 對(duì)于Tr1C()nrrC2rx，當(dāng)rn時(shí)展

15、開式為常數(shù)項(xiàng)，因此n為5的倍數(shù)，不妨設(shè)n5m，則有r3m，則23mC80，因此m1，則該展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2n2532.三、解答題10已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)解析 (1)依題意知n的展開式的通項(xiàng)為Tr1C()nrrrCx，又第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則當(dāng)r5時(shí)，0，即0，解得n10.(2)由(1)得Tr1rCx，令2，解得r2，故含x2的項(xiàng)的系數(shù)為2C.(3)若Tr1為有理項(xiàng)，則有Z，且0r10，rZ，故r2,5,8，則展開式中的有理項(xiàng)分別為T3C2x2x2，T6C5，T9C8x2x2.11已知(12x)7a0a1xa

16、2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解析 令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展開式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.12已知 n，求：(1)展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；