1、第11講：數(shù)形結(jié)合思想情形之10-13【知識要點】 一、數(shù)學思想是人對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識過程中被反復(fù)運用，帶有普遍的指導意義.是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想，而且數(shù)學思想是數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.學生只有領(lǐng)會了數(shù)學思想，才能有效地應(yīng)用知識，形成能力.在我們解決數(shù)學問題進行數(shù)學思維時，也總是自覺或不自覺地運用數(shù)學思想方法.高中數(shù)學解題常用的數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、函數(shù)方程思想等.二、數(shù)形結(jié)合，是中學數(shù)學最重要的思想方法之一.著名數(shù)學家華羅庚先生說：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分

2、作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系切莫分離. ”它精辟地闡述了數(shù)形結(jié)合的重要性，它不僅是一個重要的數(shù)學思想，而且是一種重要的解題方法. 因而數(shù)形結(jié)合的能力必然是歷年高考的一個重點.所謂數(shù)形結(jié)合的思想方法，就是由數(shù)學問題所呈現(xiàn)的條件和結(jié)論，通過研究數(shù)式的幾何意義，或者研究幾何問題的代數(shù)意義，設(shè)法溝通數(shù)學問題在數(shù)量關(guān)系和空間形式的內(nèi)在聯(lián)系，使隱含條件明朗化，復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，開拓題目新思路，以便最終找到解決問題的帶有數(shù)形信息轉(zhuǎn)換特征的數(shù)學方法.數(shù)形結(jié)合思想就是把“數(shù)”和它對應(yīng)的“形”聯(lián)系起來分析解答數(shù)學問題，以形

3、助數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互助，提高解題效率，優(yōu)化解題.高中數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的情形很多，常見的情形見后面的方法講評.三、數(shù)形結(jié)合要注意三個原則：等價性原則、雙向性原則、簡單性原則.四、本講講了數(shù)形結(jié)合思想情形之10-13, 情形10：表示點到直線的距離.情形11：方程，表示以點為圓心，以為半徑的圓；情形12：方程等表示橢圓、雙曲線、拋物線；情形13：參數(shù)方程 等表示傾斜角為且過點的直線、橢圓、雙曲線、拋物線.【方法講評】數(shù)形結(jié)合情形十數(shù)形表示點到直線的距離.【例1】已知點的坐標滿足不等式組， 為直線上任一點，則的最小值是（ ）A. B. C. 1 D. 【解析】點的坐標滿足不等式組的可行域如圖：【點評

4、】（1）本題的關(guān)鍵是找到的幾何意義，需要把它轉(zhuǎn)化為，就知道它表示的幾何意義了.所以我們在解答數(shù)學問題時，要注意觀察題目中的數(shù)學信息,觀察到這一點，問題就迎刃而解了. （2）解答數(shù)學問題，要有敏銳的觀察力，你能看到別人看不到的信息，你在這方面領(lǐng)先別人了,你離成功便近了一步. 【反饋檢測1】已知實數(shù)滿足，則的最大值與最小值之差為（ ）A. B. C. D. 3數(shù)形結(jié)合情形十一數(shù)形方程，表示以點為圓心，以為半徑的圓；表示以點，以為半徑的圓.【例2】已知圓，直線， (1) 求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點A、B；(2) 求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；(3) 是否存在實數(shù)，使得

5、圓C上有四點到直線l的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，所以圓心C到直線的距離所以直線與圓C相交，即直線與圓總有兩個不同的交點.或：直線的方程可化為，無論m怎么變化，直線過定點，由于，所以點是圓C內(nèi)一點，故直線與圓總有兩個不同的交點 （2）設(shè)中點為，因為直線恒過定點，當直線的斜率存在時， ，又， ，圓心到直線的距離為化簡得，解得或【點評】（1）證明直線與圓總有兩個不同的交點可以利用判別式法（比較和零的大小關(guān)系）、幾何法（比較圓心到直線的距離和圓的半徑的大小關(guān)系）和定點分析法（找到定點判斷定點和圓的位置關(guān)系）.本題的第1問就是利用了幾何法和定點分析法

6、. (2)第2問求軌跡方程用的是直接法，直接把化簡即可. (3)第3問用數(shù)形結(jié)合分析解答比較簡潔. 【反饋檢測2】在圓上任取一點，點在軸的正射影為點，當點在圓上運動時，動點滿足（）求動點的軌跡；（）如果動點的軌跡為曲線C,.點在曲線上，過點的直線交曲線于兩點，設(shè)直線斜率為，直線斜率為，求證：為定值數(shù)形結(jié)合情形十二數(shù)形，.表示焦點在軸上長軸為的橢圓.表示焦點在軸上長軸為的橢圓.，表示焦點在軸上實軸為的雙曲線.表示焦點在軸上實軸為的雙曲線.表示焦點在軸上的拋物線.表示焦點在軸上的拋物線.【例3】已知， 內(nèi)切于點是兩圓公切線上異于的一點，直線切于點， 切于點，且均不與重合，直線相交于點.（1）求的軌

7、跡；（2）若直線與軸不垂直，它與的另一個交點為， 是點關(guān)于軸的對稱點，求證：直線過定點.【解析】（1）因為內(nèi)切于于，所以，解得，所以的方程為： ，因為直線分別切于，所以，的兩個端點）.（2）依題意，設(shè)直線的方程為， ，則且，聯(lián)立方程組，消去，并整理得，直線的方程，令，得，故直線過定點.【點評】（1）第1問求動點的軌跡用的是定義法（待定系數(shù)法），但是要注意除去長軸的兩個端點.（2）求直線過定點，一般先求出直線的方程，再找到直線經(jīng)過的定點.【反饋檢測3】已知動點與雙曲線的兩個焦點的距離之和為定值，且的最小值為（1）求動點的軌跡； （2）若已知，在動點的軌跡上且，求實數(shù)的取值范圍數(shù)形結(jié)合情形十三數(shù)形

8、，表示傾斜角為過點的直線.表示圓心為半徑為的圓.表示焦點在軸上的橢圓.表示焦點在軸上的雙曲線.表示焦點在軸上的拋物線.【例4】在極坐標系中，曲線，曲線.以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求的直角坐標方程；（2）與交于不同四點，這四點在上的排列順次為，求的值.（2）不妨設(shè)四個交點自下而上依次為，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為.把代入，則， ，所以.【點評】（1）本題的難點在第2問，解答它的關(guān)鍵是理解直線參數(shù)方程中的幾何意義.如果不用這種方法，解題就比較復(fù)雜. （2）當解析幾何中涉及到線段時，都要聯(lián)想到直線參數(shù)方程中的幾何意義,看是否能利用參數(shù)的幾何意義解答.

9、【反饋檢測4】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以該直角坐標系的原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（）求直線與曲線的普通方程；（）已知直線與曲線交于兩點，設(shè)，求的值.數(shù)學思想在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用情形歸納第03講：數(shù)形結(jié)合思想情形之10-13參考答案【反饋檢測1答案】C【反饋檢測1詳細解析】不等式組對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，表示區(qū)域內(nèi)的點到直線的距離，觀察得點B（2，-1）到直線的距離最大=，最小距離為0，所以把，代入方程，得，所以動點M的軌跡方程為，它是焦點在x軸上，長軸為4的橢圓.（）方法一：由題意知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，由消去，得，易知，得所以為定值方法二：（）當直線斜率不存在時， 所以為定值【反饋檢測3答案】（1）,它表示焦點在x軸上，長軸為6的橢圓；（2）.【反饋檢測3詳細解析】(1)由題意設(shè)（），由余弦定理, 得 又，當且僅當時，取最大值，此時