同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案12-11_第1頁(yè)
同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案12-11_第2頁(yè)
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1、習(xí)題12-11 1. 試用冪級(jí)數(shù)求下列各微分方程的解: (1)y-xy-x=1; 解 設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 . 可見(jiàn) a1-1=0, 2a2-a0-1=0, (n+2)an+2-an=0(n=1, 2, ), 于是 , , , , , , , . 所以 , 即原方程的通解為. (2)y+xy+y=0; 解 設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 , 于是 , , . 所以 , 即原方程的通解為 . (3)xy-(x+m)y+my=0(m為自然數(shù)); 解 設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 . 可見(jiàn) (a0-a1)m=0, (n-m)(n+1)an+1-an=0 (nm), 于是 a0

2、=a1,. 所以 , 即原方程的通解為 (其中C1, C2為任意常數(shù)). (4)(1-x)y=x2-y; 解 設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 . 可見(jiàn) a1+a0=0, 2a2=0, 3a3-a2-1=0, (n+1)an+1-(n-1)an=0(n3), 于是 a1=-a0, a2=0, , (n4). 因此原方程的通解為 (C=a0為任意常數(shù)). . (5)(x+1)y=x2-2x+y. 解 設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 . 于是 a1=a0, a2=-1,. 因此原方程的通解為 (C=a0為任意常數(shù)). 2. 試用冪級(jí)數(shù)求下列方程滿足所給初始條件的解: (1)y=y2+x3, ; 解 根據(jù)初始條件, 可設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 . 比較兩邊同次冪的系數(shù)得 , 2a2=a1, 3a3=a2+a12, 4a4=a3+2a1a2+1, , 于是 , , , , . 因此所求特解為 . (2)(1-x)y+y=1+x, y|x=0=0; 解 根據(jù)初始條件, 可設(shè)方程的解為, 代入方程得 , 即 . 比較系數(shù)得 , , . 因此所求特解為 . 因?yàn)榈暮秃瘮?shù)為(1-x)ln(1-x)+x, 所以特解還可以寫(xiě)成 y=2x+(1-x)ln(1-x)+x. (3), x|t=0=a, . 解 根據(jù)初始條件, 可設(shè)方程的解為. 將, 和代入方程得 . 將級(jí)數(shù)展

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