1、專題59 求知路上能走多遠-探索性問題 考綱要求:1.圓錐曲線(1)了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì).(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道它的簡單幾何性質(zhì).(4)了解圓錐曲線的簡單應用.(5)理解數(shù)形結(jié)合的思想.2.曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系.基礎(chǔ)知識回顧:探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索性問題；（2）結(jié)論探索性問題；（3）探索存在性問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確

2、，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關(guān)系是否存在的題目從近幾年高考命題看，考查頻率較高的是探索存在型問題.應用舉例:類型一結(jié)論探索性問題【例1】【2018屆廣西桂林市第十八中學高三上第三次月考】已知橢圓的左，右焦點分別為.點在橢圓上，直線過坐標原點，若， .（1）求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓在點處的切線記為直線，點在上的射影分別為，過作的垂線交軸于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）

3、知，直線的方程為： 即： ，所以.，的方程為，令，可得，（幾何法）當不在軸時，不妨令在第一象限，直線的方程為，令， ， 與垂直， 令，當在軸時， ， 【例2】【2015高考新課標2，理20】已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由【答案】()詳見解析；（）能，或 或時，四邊形為平行四邊形【例3】【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點，且離心率為()求橢圓E的方程； ()設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位

4、置關(guān)系，并說明理由【答案】()；() G在以AB為直徑的圓外解法二：()同解法一.()設(shè)點，則由所以從而 所以不共線，所以為銳角.故點G在以AB為直徑的圓外點評：這類試題給出命題的條件，要求考生探索命題的結(jié)論，并加以證明其基本思路是，應用綜合法從已知條件推出可知，再推出可知，逐步推出正確的結(jié)論或通過觀察，想象、比較、歸納，作出猜想，然后證明猜想這是一個不斷地由未知轉(zhuǎn)化為已知的探索性思維的過程類型二 存在性問題【例4】【2017屆廣東深圳市4月模擬】已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）若經(jīng)過定點的直線與曲線交于兩點， 是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點

5、，試問是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.【答案】(1) ;(2) 存在直線或，使得.（2）設(shè)，由題意可知，當直線與軸垂直時，顯然不符合題意，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立和并消去，可得，顯然，由韋達定理可知，【例5】【2018屆湖南省邵陽市洞口縣第一中學高三上第一次月考】在 中，頂點 所對三邊分別是 已知 ,且 成等差數(shù)列.(I )求頂點 的軌跡方程；(II) 設(shè)頂點A的軌跡與直線 相交于不同的兩點 ，如果存在過點的直線 ,使得點 關(guān)于 對稱，求實數(shù) 的取值范圍【答案】（1） （2）當 時， 的取值范圍為 ；當 時， 的取值范圍為( )【解析】試題分析：(I ) 由 成

6、等差數(shù)列，可得 ；結(jié)合橢圓的定義可求得 的軌跡方程為；(II)將 與橢圓方程聯(lián)立，判別式大于得 . （II）由 消去整理得, ，整理得： .令 ，則 .設(shè) 的中點 ，則 .i)當 時，由題知， ii)當 時，直線 方程為 ，由 在直線l上，得，得把式代入中可得 ，解得 .又由得 ，解得 ，驗證：當 在 上時，得 代入得 ， 無解即 不會過橢圓左頂點. 同理可驗證 不過右頂點 的取值范圍為) 綜上，當 時，m的取值范圍為；當 時，m的取值范圍為【例6】【2015高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，當栓子在滑槽AB

7、內(nèi)作往復運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系（）求曲線C的方程；（）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由 xDOMNy第21題圖2第21題圖1 【答案】（）；（）存在最小值8.由原點到直線的距離為和，可得. 將代入得，. 當時，；當時，.因，則，所以，當且僅當時取等號.所以當時，的最小值為8. 綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8. 點評：此類試題是探求符合題設(shè)條件的數(shù)學對象是否

8、存在其解法是：先假設(shè)所需探求的對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提運用所學知識進行運算或推理，找出數(shù)學對象存在的條件，從而確定數(shù)學對象的存在，否則不存在方法、規(guī)律歸納:探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題往往綜合運用所學數(shù)學知識經(jīng)常用到的知識是：二元二（一）次方程組、幾何圖形的某些特殊性質(zhì)等因此復習中既要重視基礎(chǔ)知識的復習，又要加強變式訓練和數(shù)學思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力實戰(zhàn)演練:1.【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】

9、D 2.【2017屆遼寧莊河市高級中學高三12月月考】 已知拋物線的方程為拋物線上一點，為拋物線的焦點.（I）求；（II）設(shè)直線與拋物線有唯一公共點，且與直線相交于點，試問，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.【答案】(I)；(II)存在，. ，直線的方程為，令得，點坐標為， 點在以為直徑的圓上，要使方程恒成立，必須有，解得.在坐標平面內(nèi)存在點，使得以為直徑的圓恒過點，其坐標為. 法2：設(shè)點，由與曲線有唯一公共點知，直線與相切，由得.直線的方程為， 3.【2018屆河南省名校聯(lián)盟高三第一次段考】橢圓（）的上下左右四個頂點分別為，軸正半軸上的

10、某點滿足，.（1）求橢圓的標準方程以及點的坐標；（2）過點作傾斜角為銳角的直線交橢圓于點，過點作直線交橢圓于點，且，是否存在這樣的直線，使得，的面積相等？若存在，請求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.【答案】（1）橢圓標準方程為，點坐標為；（2）【解析】試題分析：（1）利用已知條件求出的值，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線，由、的面積相等，求出，再算出 的面積，得出相等，故存在。 4.【2015高考北京，理19】已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點（）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點

11、的坐標；若不存在，說明理由【答案】(1),(2)存在點【解析】（）由于橢圓：過點且離心率為，橢圓的方程為.,直線的方程為：，令，； 5.【2017屆貴州省遵義市第四中學高三下第一次月考】已知橢圓，過點作直線交橢圓于兩點， 是坐標原點（）求中點的軌跡方程；（）求的面積的最大值，并求此時直線的方程【答案】（）；（） 此時， 【解析】試題分析：（）利用點差法，結(jié)合中點坐標公式，即可求中點的軌跡方程；（）令代入，利用韋達定理，表示出面積，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求面積的最大值，及此時直線的方程試題解析：法二：設(shè)， ， 則（1）-（2）得： 6【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（

12、0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點的坐標為.（2）當直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點.如果存在定點Q滿足條件，則，即.所以Q點在y軸上，可設(shè)Q點的坐標為.當直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點.則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.當直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當直線的斜率存

13、在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標分別為.聯(lián)立得.其判別式， 7【2017屆陜西省咸陽市二?！恳阎獎狱c到定點和定直線的距離之比為，設(shè)動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）過點作斜率不為0的任意一條直線與曲線交于兩點，試問在軸上是否存在一點（與點不重合），使得，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由【答案】（I）;（）存在點. 【解析】試題分析：（I）設(shè)點坐標為直接找出關(guān)于的方程,這就是曲線的軌跡方程. （） 可知直線與傾斜角互補,則,設(shè)帶入式,得到的方程,求出的值. 8【2018屆湖北省華中師范大學第一附屬中學高三上期中】已知橢圓的離心率為，且以原點為圓心，橢圓的焦距為直徑的圓與直線相切

14、（為常數(shù)）.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，若橢圓的左、右焦點分別為，過作直線與橢圓分別交于兩點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（2）若直線斜率不存在，則可得軸，方程為，故.若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去得，設(shè)，則.，則代入韋達定理可得由可得，結(jié)合當不存在時的情況，得.9【2015高考新課標1，理20】在直角坐標系中，曲線C：y=與直線(0)交與M,N兩點，（）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPM=OPN？說明理由.【答案】（）或（）存在（）存在符合題意的點，證明如下： 設(shè)P（0，b）為復合題意得點，直線PM，PN的斜率分別為. 將代入C得方程整理得. . =. 當時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜