1、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系1球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系的理解2球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化基礎(chǔ)初探1球坐標(biāo)系與球坐標(biāo)(1)在空間任取一點O作為極點，從O點引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個長度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個球坐標(biāo)系圖415(2)設(shè)P是空間一點，用r表示OP的長度，表示以O(shè)z為始邊，OP為終邊的角，表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，)就叫做點P的球坐標(biāo)，其中r0,0，02.2直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)間的關(guān)系圖416若空間直角坐標(biāo)系的原點O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標(biāo)系的極點、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點P的直角坐標(biāo)(x，y

2、，z)與球坐標(biāo)(r，)之間的關(guān)系，如圖416所示x2y2z2r2，xrsin_cos_，yrsin_sin_，zrcos_.3柱坐標(biāo)系建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，設(shè)P為空間中任意一點，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(biāo)(，)(0,02)表示點Q在平面xOy上的極坐標(biāo)，這時點P的位置可以用有序數(shù)組(，z)(zR)表示，把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(，z)叫做點P的柱坐標(biāo)，記作P(，z)，其中0,02，zR.圖4174直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的關(guān)系思考探究1空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系有何聯(lián)系和區(qū)別？【提示】柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景，柱坐標(biāo)系中一點在平

3、面xOy內(nèi)的坐標(biāo)是極坐標(biāo)，豎坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)系的豎坐標(biāo)相同；球坐標(biāo)系中，則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系都是空間坐標(biāo)系，空間點的坐標(biāo)都是由三個數(shù)值的有序數(shù)組組成2在空間的柱坐標(biāo)系中，方程0(0為不等于0的常數(shù))，0，zz0分別表示什么圖形？【提示】在極坐標(biāo)中，方程0(0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點，半徑為0的圓，方程0(0為常數(shù))表示與極軸成0角的射線而在空間的柱坐標(biāo)系中，方程0表示中心軸為z軸，底半徑為0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的方程0表示與zOx坐標(biāo)面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐標(biāo)面的平面，如

4、圖所示常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_將點的柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1)已知點M的球坐標(biāo)為，則點M的直角坐標(biāo)為_(2)設(shè)點M的柱坐標(biāo)為，則點M的直角坐標(biāo)為_【自主解答】(1)設(shè)M(x，y，z)，則x2sin cos 1，y2sin sin 1，z2cos .即M點坐標(biāo)為(1,1，)(2)設(shè)M(x，y，z)，則x2cos ，y2sin 1，z7.即M點坐標(biāo)為(，1,7)【答案】(1)(1,1，)(2)(，1,7)再練一題1(1)已知點P的柱坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)為_(2)

5、已知點P的球坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)為_【解析】(1)由變換公式得：x4cos 2，y4sin 2，z8.點P的直角坐標(biāo)為(2,2，8)(2)由變換公式得：xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos 2.它的直角坐標(biāo)為(2,2，2)【答案】(1)(2,2，8)(2)(2,2，2)將點的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，如圖418建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo)圖418【思路探究】解答本題根據(jù)空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系以及球坐標(biāo)系的意義和聯(lián)系計算即可【自主解

6、答】點C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，設(shè)點C1的柱坐標(biāo)為(，z)，球坐標(biāo)為(r，)，其中0，r0,0，02，由公式及得及得及結(jié)合圖形得，由cos 得tan .點C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，柱坐標(biāo)為(，1)，球坐標(biāo)為(，)，其中tan ，0.化點M的直角坐標(biāo)(x，y，z)為柱坐標(biāo)(，z)或球坐標(biāo)(r，)，需要對公式以及進行逆向變換，得到以及提醒在由三角函數(shù)值求角時，要先結(jié)合圖形確定角的范圍再求值再練一題2(1)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，求它在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(1,1，)，求它的球坐標(biāo)【導(dǎo)學(xué)號：】【解】(1)設(shè)M的柱坐標(biāo)為(，z)，則有解之得，.因此，點M的柱坐

7、標(biāo)為.(2)由坐標(biāo)變換公式，可得r2.由rcos z，得cos ，.又tan 1，(M在第一象限)，從而知M點的球坐標(biāo)為.真題鏈接賞析(教材第17頁習(xí)題4.1第16題)建立適當(dāng)?shù)那蜃鴺?biāo)系或柱坐標(biāo)系表示棱長為3的正四面體的四個頂點結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖419(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體)圖形中的點代表鈉原子，如圖419(2)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，試寫出下層鈉原子所在位置的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)(1)(2)圖419【命題意圖】本題以食鹽晶胞為載體，主要考查柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系在確定空間點的位置中的應(yīng)用【解】下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的

8、豎坐標(biāo)全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(0,0,0)，；它們的柱坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1,0,0)，.1已知點A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)，則點A的直角坐標(biāo)為_【解析】由點A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)知，1，0，z1，故xcos 1，ysin 0，z1，所以直角坐標(biāo)為(1,0,1)【答案】(1,0,1)2設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(1，1，)，則它的球坐標(biāo)為_【解析】由坐標(biāo)變換公式，r2.cos ，.tan 1，.故M的球坐標(biāo)為.【答案】3已知點P的柱坐標(biāo)為，點B的球坐標(biāo)為，這兩個點在空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)分別為_【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】設(shè)P(x，y，z)，則xcos1，ysin1，z5，P(1,1,5)設(shè)B(x，y，z)，則xsin cos ，ysinsin，zcos .故B(，)【答案】P(1,1,5)，B(，)4把A(