1、第4講 Ch.1 隨機(jī)事件與概率1.4 條件概率 1.4.1 條件概率引例及定義1.引例(書中例1.4.1請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)以下例子后自學(xué)!)例 同一宿舍的8位同學(xué)需要通過抽簽確定一張音樂會(huì)優(yōu)待票的歸屬權(quán),考慮求以下事件的概率:(1)“第2個(gè)同學(xué)抽中”；(2)“第1個(gè)同學(xué)沒抽中后，第2個(gè)同學(xué)抽中”.分析：為方便分析，記 =“第位同學(xué)抽中”，.則（1）中事件的概率為（利用古典方法求得，同理可求得，），而（2）中事件的概率不是，它是事件發(fā)生的附加條件下，事件發(fā)生的條件概率，記為.Remark 求法探索： 方法1.古典方法 .方法2.(定義法) .方法2具有普遍意義，因此可引入以下定義.2.定義(條件概

2、率定義)定義1.4.1 設(shè),為同一下的兩個(gè)事件,若，則稱為“發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率”，簡稱條件概率。 Remarks同樣可定義 （）；如何運(yùn)作才能保證“抽簽”的公平性？條件概率計(jì)算例例1.4.2設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，事件與各含有15個(gè)和7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件含有5個(gè)樣本點(diǎn)（書中有直觀的圖示） ，求，.解：先由古典方法，求得，.于是 ， .Remarks求，的古典方法考慮將縮小成，利用古典方法得 .同樣考慮縮小成，利用古典方法得 .條件概率與普通概率一樣具有一系列性質(zhì). 比如滿足條件概率互補(bǔ)性： .更多的條件概率性質(zhì)請(qǐng)關(guān)注性質(zhì)1.4.1等.1.4.2 乘法公式（這是基于條件概率的三

3、個(gè)實(shí)用公式之一）性質(zhì)1.4.2(乘法公式)(1)對(duì)任意事件,，若，則 ；若，則 .(2)對(duì)同一下事件列，若 ， 則.Proof（1）利用條件概率定義即可證。（2）由于，利用單調(diào)性及已知，得 .于是 證畢. 乘法公式應(yīng)用例例1.4.3 一批產(chǎn)品100件 無放回逐一抽取 ，求第三次才取得不合格品的概率.解: 記 “第次取得的是不合格品”，.則由乘法公式和古典方法,得 第三次才取得合格品 .例1.4.4（罐子模型-玻利亞（Polya）模型任取1個(gè) ，連續(xù)取3次，求以下關(guān)注的三個(gè)交事件的概率記 =“第次取出的是黑球”， ，=“第次取出的是紅球”，.關(guān)注交事件，的概率。解：利用乘法公式和古典方法，得 =

4、 = = 可見，“取得二紅黑”的概率與第幾次取得黑球有關(guān)！Remark Polya模型的特例及意義：作業(yè) 4. 1.4.3 全概率公式（這是基于條件概率的三個(gè)實(shí)用公式之二）性質(zhì)1.4.3（全概率公式）設(shè)為的一個(gè)分割（也稱完備事件組），且 ， .則對(duì)任意事件，有 Proof 由已知，得互斥，且.于是，有互斥，且 所以由有限可加性和乘法公式，得，證畢.Remarks1)全概率公式的最簡單形式：若，則 .2)全概率公式成立的條件可減弱為:)互斥；)；），.(回到proof中可明白結(jié)論同樣成立.)全概率公式舉例例1.4.5（摸彩模型）共張獎(jiǎng)券，其中只有1張中獎(jiǎng)券求第二個(gè)摸彩者中獎(jiǎng)的概率。解：記 “第位

5、摸彩者中獎(jiǎng)”，由于發(fā)生與否，只與是否發(fā)生有關(guān)，而由古典方法，得 ，（） ，.易見，滿足全概率公式條件，于是 .Remarks)類似地可得，.)若本例中有張中獎(jiǎng)券（）,則 計(jì)算結(jié)果表明：“中彩”與買彩的先后無關(guān)！例1.4.6（全概率公式在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用）保險(xiǎn)公司認(rèn)為某險(xiǎn)種投保人可以分成兩類：一類為容易出事故者，另一類為安全者，統(tǒng)計(jì)表明：一個(gè)易出事故者在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.4，而安全者在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.1.假定第一類人占此險(xiǎn)種投保人的20.現(xiàn)有一個(gè)新的投保人來投保此險(xiǎn)種，問該投保人在購買保單后一年內(nèi)將出事故的概率有多大？解：記 “該投保人在購買保單后一年內(nèi)出事故”， “該投保人為易

6、出事故者”.則由已知，有 ， ，.所以 .例1.4.7 (敏感性問題調(diào)查研究-研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容) 1.4.4貝葉斯公式(這是基于條件概率的第三個(gè)實(shí)用公式)性質(zhì)1.4.4(貝葉斯公式)設(shè)為的一個(gè)分割，且 ，.又由事件的概率，有 ，.Proof 由于假設(shè)條件滿足全概率公式，于是由乘法公式和全概率公式，得 ，.貝葉斯公式應(yīng)用舉例例1.4.8 （貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)研究中的應(yīng)用）某地區(qū)人群：有肝癌， 陽性有肝癌， 陰性無肝癌.求任一個(gè)被檢查者甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽性)有肝癌陽性？ 解：記 =“被檢查者甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽性” ， =“被檢查者有肝癌”.則 ， ，.可見，滿足全概率公式條件，于是 .進(jìn)而由貝葉斯公式，得

7、所求概率為 .Remarks)本例結(jié)果對(duì)醫(yī)學(xué)研究上的指導(dǎo)作用：不應(yīng)輕易相信第一次檢驗(yàn)的陽性結(jié)果，因?yàn)殛栃詸z驗(yàn)結(jié)果者真正患肝癌只有28.4，而有71.6的第一次檢驗(yàn)陽性結(jié)果者是被嚇一跳的！至于要減少被嚇一跳的人數(shù)，可行辦法就是-復(fù)查第一次陽性者.如果第二次檢查結(jié)果仍為陽性者真正患有肝癌的概率為.（ 以上算式中事件記號(hào)的含義？=“”，=“” ）)求結(jié)果“陽性”即“檢驗(yàn)為陽性”的概率用全概率公式，而求造成“陽性”這種結(jié)果，即造成“檢驗(yàn)呈陽性”的原因的概率及用貝葉斯公式；(希望同學(xué)們通過作業(yè)題體會(huì))貝葉斯公式中的兩個(gè)專用述語及其用途.的先驗(yàn)概率，用于反映發(fā)生可能性大小. 的后驗(yàn)概率，用于反映事件發(fā)生的

8、各種“原因”的可能性的定量描述.(結(jié)合例1.4.8加以理解)例1.4.9. “孩子與狼”的貝葉斯分析（自學(xué)討論題6）1.4課外作業(yè) 習(xí)題1.4.( )10. 16. 32.本人在這方面的一些研究結(jié)果（相關(guān)論文發(fā)表于玉林師院學(xué)報(bào)2011(2)）以下是簡介.1.引例（“門 車 羊”游戲問題）2.帶強(qiáng)制必然事件條件因子的全概率公式定理1 設(shè)為的一個(gè)分割，且，.又已知在隨機(jī)進(jìn)程中隨機(jī)事件的發(fā)生除了受到隨機(jī)事件組的影響之外，還受到了人為強(qiáng)制促成的隨機(jī)事件必然不發(fā)生的影響，則有.其中，中的稱為強(qiáng)制必然事件條件因子.證明 記樣本空間為，由已知可得互不相容，且.由于隨機(jī)事件總是被人為強(qiáng)制促成必然不發(fā)生，即為強(qiáng)

9、制必然事件.在隨機(jī)進(jìn)程中，隨機(jī)事件受到強(qiáng)制必然事件的影響，所以，.從而，由互不相容，利用有限可加性和乘法公式，得.這就是帶有1個(gè)強(qiáng)制必然事件條件因子的全概率公式的證明，現(xiàn)在來證明帶有(且為整數(shù))個(gè)強(qiáng)制必然事件條件因子的全概率公式，即如下定理2.定理2 設(shè)為的一個(gè)分割，且，又已知在隨機(jī)進(jìn)程中隨機(jī)事件的發(fā)生除了受到隨機(jī)事件組的影響之外，還受到了人為強(qiáng)制促成的(且為整數(shù))個(gè)隨機(jī)事件必然不發(fā)生的影響，則有.證明 記樣本空間為，由已知可得互不相容，且.由于隨機(jī)事件同時(shí)必然不發(fā)生，即均為強(qiáng)制必然事件，在隨機(jī)進(jìn)程中，隨機(jī)事件受到強(qiáng)制必然事件的影響，所以，.從而，由互不相容，利用有限可加性和乘法公式，得.利用定理1，也就是帶有1個(gè)強(qiáng)制必然事件條件因子的全概率公式，對(duì)Marilyn給出的趣味游戲題，給出簡單解答：設(shè)“游戲玩家原來選擇的那扇門后面放著豪華轎車”.又為方便記，對(duì)游戲玩家選剩下的兩扇門，分別編為新1號(hào)門和新2號(hào)門，且記“新號(hào)門后面放著豪華轎車”， .在主持人進(jìn)行第二步前，容易由古典概率計(jì)算方法得到，.根據(jù)游戲玩法及規(guī)則，在主持人進(jìn)行第二步，總是促成，中之一必然不發(fā)生(這完全是能做得到的，原因在于不管游戲玩家選擇結(jié)果如何，剩下兩扇門中至少有一扇門后面沒有放著豪華轎車)后，記“游戲玩家放棄原來的選擇，轉(zhuǎn)而選擇選剩下的沒被打開的那扇門來打開最終贏得豪華轎車”.則