1、第二章 建模方法示例2.6 相識(shí)問題u1u2u3u4u5u6圖2.6.12.6.1問題在6人的集會(huì)上，假定認(rèn)識(shí)都是相互的，試證明總能找到3人互相都認(rèn)識(shí)，或3人都互不認(rèn)識(shí). 2.6.2建模及論證本問題可用圖的染色法來解決.用6個(gè)頂點(diǎn)u1至u6表示6個(gè)人，用紅色連線表示兩者相識(shí)，用藍(lán)色連線表示兩者不相識(shí).于是這6個(gè)人的關(guān)系就對(duì)應(yīng)一張完全圖(圖中任兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條邊). 本問題就化為要證明完全圖中必存在一個(gè)同色三角形即可.參看圖2.6.1從u1點(diǎn)引出的5條線必有三條同色，不妨設(shè)u1u2, u1u3, u1u4同為紅色，則觀察u2u3u4, 若其三邊都是藍(lán)色，則該三角形即為所求，否則若有一邊，比如

2、u2u3是紅色，則u2u3u1為所求.2.6.3 進(jìn)一步討論 假設(shè)以下討論的圖的邊都是染了紅色或者藍(lán)色的. 記號(hào)： Kn-n階雙色完全圖；RKn-n階紅色完全圖；BKn-n階藍(lán)色完全圖；d(u)-點(diǎn)u的度(與u關(guān)聯(lián)的邊數(shù))；R(u)-點(diǎn)u的紅邊度；B(u)-點(diǎn)u的藍(lán)邊度. 以上實(shí)際上我們證明了定理1定理1 在雙色6階完全圖K6中,必存在子圖RK3, 或者BK3.以下我們?cè)賮碜C明結(jié)論：假設(shè)認(rèn)識(shí)都是相互的, 在9人的集會(huì)上, 總能找到3人相互認(rèn)識(shí), 或者能找到4人互不認(rèn)識(shí).這等價(jià)與定理2定理2在雙色9階完全圖K9中,必存在子圖RK3, 或者BK4.證明: 用9個(gè)頂點(diǎn)表示9人,紅色邊表示兩人相互認(rèn)識(shí)

3、, 藍(lán)色邊表示兩人互不認(rèn)識(shí)問,則原問題轉(zhuǎn)化為要證明在一個(gè)9階雙色完全圖K9上, 或者能找到1個(gè)紅色三角形(記為RK3),或者能找到1個(gè)藍(lán)色4階完全圖(記為BK4).設(shè)在K9中與點(diǎn)u關(guān)聯(lián)的紅邊最多,該數(shù)記為R(u). 情形1. 若,則取4條過點(diǎn)u的紅邊,設(shè)它們的另一端分別為,觀測(cè)這4點(diǎn)及邊所對(duì)應(yīng)的4階完全圖K4, 若,則得證,如圖1所示. 否則, K4必有1紅邊,比如是,則三角形構(gòu)成RK3, 如圖2所示. 其它情況可類似說明存在RK3.u1u2u3u4u圖2u1u2u3u4u圖1v1v2v3v0圖3v1v2v3v0圖3情形2. 若, 由于，故，又由于與點(diǎn)u關(guān)聯(lián)的紅邊最多，故與點(diǎn)u關(guān)聯(lián)的藍(lán)邊最少，

4、從而K9中任一點(diǎn)v都有. 至少有一點(diǎn)，即不會(huì)9個(gè)頂點(diǎn)都是，這是因?yàn)楸厥桥紨?shù)(其中，表示K9的藍(lán)邊數(shù)，vi（i=1,2,9）為K9的頂點(diǎn)). 取與v0關(guān)聯(lián)的6條藍(lán)邊，對(duì)另一端的頂點(diǎn)構(gòu)成的K6，由定理1知，或者存在RK3（此時(shí)定理得證）或者存在，不妨設(shè)構(gòu)成，則v0，v1，v2，v3構(gòu)成，如圖3所示. 定理得證. 2.7 觀看塑像的最佳位置2.7.1 問題描述如圖表2.7.1,大型的塑像通常都有一個(gè)比人還高的底座,看起來雄偉壯觀.但當(dāng)觀看者與塑像的水平距離不同時(shí),觀看像身的視角就不一樣.那么,在離塑像的水平距離為多遠(yuǎn)時(shí), 觀看像身的視角最大?圖2.7.1OMABTS圖2.7.22.7.2假設(shè)如圖表2

5、.7.2, 設(shè)a=OS=MT-人眼高；b=AB-塑像身高；c=AT-底座高,ca；d=AM=c-a;x=ST=OM-人與塑像水平距離;=MOA; =MOB;=AOB=-觀看像身的視角.2.7.3建模與求解tan=AM/OM=d/x, tan=BM/OM=(b+d)/x令，解出唯一駐點(diǎn),此數(shù)恰是AM與BM的幾何平均根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，此問題必有最大值，且例 上海外灘海關(guān)大鐘直徑為5.5米, 鐘底到地面高為56.75米.設(shè)某觀看者眼高為1.55米,則b=5.5,d=56.75-1.55=55.2,最佳位置是x=57.88米,max=2o43.2.7.4相關(guān)問題設(shè)有甲乙兩觀看者,甲高乙矮,則兩者的最佳位置不同

6、,誰前誰后? 誰的最佳視角更大?設(shè)甲和乙的眼高、最佳位置、最佳視角分別為a1、 a2, x1、x2,1、2.a1a2 即為了獲得最佳視角，甲應(yīng)比乙站前一點(diǎn).在最佳位置時(shí)，, 因?yàn)槎际菄?yán)格單調(diào)增函數(shù)，所以若令并能證明它是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則(a)也是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù).事實(shí)上，12 , 甲的最佳視角要比乙更大.2.8 Fibonacci數(shù)列2.8.1問題描述1228年,意大利的數(shù)學(xué)家Fibonacci(1170-1250)提出了一個(gè)有趣的問題：如果最初有一對(duì)剛出生的小兔，一個(gè)月后就成熟，成熟后每月生一次且恰好生一對(duì)（一雌一雄），且所生的小兔都能成活，而且按同樣方法繁殖，則一年后共有多少對(duì)兔?2.8.2

7、建模設(shè)每月按第1天計(jì)算，第n月共有兔子Fn對(duì).可畫圖2.8.1推算. 用符號(hào) 與 分別表示未成熟與已成熟的兔子,每對(duì)未成熟的兔子( )下月變成成熟的兔子( ). 每對(duì)成熟的兔子( )下月變成兩對(duì)兔子( ).各月兔子數(shù)列表如下日期示意圖兔子數(shù)(對(duì))圖2.8.11.112.113.124.135.156.187.113如此類推得數(shù)列Fn月份n12345678910111213Fn1123581321345589144233數(shù)列Fn稱為Fibonacci數(shù)列.直到1634年，才有數(shù)學(xué)家奇拉特發(fā)現(xiàn)此數(shù)列具有非常簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系：F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1.由于這一發(fā)現(xiàn)，此問題引起了人們的

8、極大興趣，后來又發(fā)現(xiàn)了該數(shù)列的更多性質(zhì):(1)Fm+n=Fn-1Fm+FnFm+1 ； (2)(3)； (4) (5)，此數(shù)稱為黃金分割數(shù).由于Fibonacci數(shù)列大量的性質(zhì)被人們所發(fā)現(xiàn),大量的應(yīng)用被人們找到,因而引起了數(shù)學(xué)家們的極大關(guān)注. Fibonacci數(shù)列通式的探索當(dāng)我們對(duì)某個(gè)問題的數(shù)量規(guī)律毫無頭緒時(shí)，機(jī)理分析無從下手，有時(shí)就要一試再試，反復(fù)猜想去探索規(guī)律。此時(shí)，做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往能給我們帶來很大幫助。例 對(duì)于Fibonacci數(shù)列Fn:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,，已知其滿足遞推關(guān)系式 Fn+2= Fn+1+ Fn (1)但遞推公式在應(yīng)用時(shí)也有不便之處

9、。這是因?yàn)楸仨毲蟮们懊娴捻?xiàng)才能夠進(jìn)一步求后面的項(xiàng)。比如想知道F500的值，就必須求得從F1到F500的全部值。如果我們能求出它的通項(xiàng)公式就可免去這些麻煩了。怎樣從(1)式著手呢？讓我們先觀察數(shù)列Fn的分布情況。借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica,只需輸入如下語句： data=1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144;ListPlotdata,PlotJoined-True 圖1 Fn點(diǎn)列分布圖 就可輸出與數(shù)列Fn相應(yīng)的點(diǎn)列分布圖(圖1)。憑經(jīng)驗(yàn)，我們覺得這些點(diǎn)的連線很象指數(shù)曲線。于是我們猜測(cè)：Fn=an (2)由(1)式得 an+2= an+1+ an，即a2- a-1=0

10、，解出兩根：.即無論a=a1或a=a2,由(2)式定義的數(shù)列Fn都能滿足(1)式。但是還未能滿足F1=F2=1。另方面，我們注意到任兩個(gè)滿足(1)式的數(shù)列的線性組合仍能滿足(1)式于是，猜測(cè) , (3)現(xiàn)在用條件F1=F2=1來確定系數(shù)c1和c2，在(3)式中，分別取n=1與n=2得： (4)解出。由此得Fibonacci數(shù)列Fn的通項(xiàng)公式可驗(yàn)證其確實(shí)滿足F1=F2=1及(1)式。這樣，通過反復(fù)試驗(yàn)，逐步猜測(cè)就導(dǎo)出了結(jié)果。這是探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)典型例子。2.8.3相關(guān)問題 連續(xù)拋一枚硬幣，直到連續(xù)出現(xiàn)兩次正面為止，以Gn表示拋n次就可終止時(shí)的全部可能方式數(shù)目，試證明Gn=Fn-1（n1）,其

11、中Fn為Fibonacci數(shù). 設(shè)Gn-拋n次就可終止時(shí),全部可能的方式數(shù)目Sn-拋n次就可終止時(shí),其中首次是正面的方式數(shù)目Tn-拋n次就可終止時(shí),其中首次是反面的方式數(shù)目當(dāng)然，Gn= Sn+ Tn例如n=5時(shí) 方式有： (正)(反)(反)(正)(正)(反)(反)(反)(正)(正)(反)(正)(反)(正)(正)S5 =1，T5=2，G5=3經(jīng)初步分析得：n234567Gn112358Sn101123Tn011235我們可以把“n次終止”的情況理解為在“n-1次終止”的情況的首次拋幣前增加一次而得，則若原來首次是正面，增加的這次只能是反面；若原來首次是反面，則增加的這次是正面反面均可.即保證前n

12、-2次都沒有連出兩次正面.我們以n=6為例，把其視為在n=5的基礎(chǔ)上增加一次而得.如圖2.8.2.(反)(正)(反)(反)(正)(正)(正)(反)(反)(反)(正)(正)(反)(正)(反)(正)(反)(正)(正)(反)圖2.8.2Sn= Tn-1 (1); Tn= Sn-1+ Tn-1= Gn-1 (2) Gn= Sn+ Tn= Tn-1+ Gn-1= Gn-2+ Gn-1 (n3)設(shè)Fn為Fibonacci數(shù)列，則Gn= Fn-1 (n1)進(jìn)一步，利用(1)與 (2)式得Sn= Tn-1= Sn-2+ Tn-2= Sn-2+ Sn-1; Tn= Sn-1+ Tn-1= Tn-2 + Tn-1

13、Sn= Fn-3 (n3); Tn= Fn-2 (n2)即 Gn (n1)、 Sn (n3)、 Tn (n2)都是Fibonacci數(shù)列.2.9 核武器競(jìng)賽一.背景與問題前蘇聯(lián)與美國, 為了爭(zhēng)奪世界霸權(quán), 展開了核武器軍備競(jìng)賽. 美國人很快感受到大量生產(chǎn)核武器的經(jīng)濟(jì)壓力, 人們問道：“核武器需要多少呢?”有人就提出一種理論,叫做“大規(guī)模毀滅報(bào)復(fù)戰(zhàn)略”. 這種理論宣稱,要防止對(duì)方的核訛詐,保衛(wèi)自己的安全,儲(chǔ)存的核武器數(shù)量應(yīng)達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)是：在遭到對(duì)方的第一次核攻擊后,幸存下來的核武器應(yīng)該足夠給予對(duì)方致命的打擊. 按這種理論,雙方的競(jìng)爭(zhēng)是否會(huì)出現(xiàn)平衡?二. 建立數(shù)學(xué)模型設(shè)互相對(duì)抗的甲、乙雙方的核武器數(shù)

14、量分別為x和y,從甲方的角度看來,自己的核武器數(shù)量要超過某個(gè)“安全限”才能保證安全,這個(gè)安全限與乙方的核武器數(shù)量y有關(guān),且隨著y的增大而增大. 也就是說,存在一個(gè)單調(diào)增加函數(shù)f(y), 當(dāng)xf(y)時(shí),甲方才感到自己是安全的. 我們不妨設(shè)f(y)是連續(xù)的,曲線x=f(y)稱為甲方安全線. 此線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的意義是:當(dāng)乙方核武器用完時(shí),甲方為了給乙方致命打擊需要核武器數(shù)量為x0. 甲方安全線的右方,即區(qū)域xf(y)稱為甲方安全區(qū). 同樣,存在單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)y=g(x),曲線y=g(x)是乙方安全線,上方為乙方安全區(qū), 見圖2.9.1.y0甲方安全區(qū)乙方安全區(qū)雙方安全區(qū)x0y=g(x)

15、x=f(y)xyO圖2.9.1M甲、乙雙方為了消滅對(duì)方,保存自己,都不斷制造核武器. 由于核戰(zhàn)爭(zhēng)的破壞太大,也都不敢首先進(jìn)攻對(duì)方. 核武器的制造和儲(chǔ)存的成本是非常高的,因而雙方也不可能無限制地制造核武器,只能退而求其次,只求核武器數(shù)量達(dá)到安全限,保證自己的安全,就是說,使對(duì)方不敢先發(fā)制人發(fā)動(dòng)核攻擊. 這就是“大規(guī)模毀滅報(bào)復(fù)戰(zhàn)略”理論. 當(dāng)核競(jìng)賽進(jìn)入了這個(gè)區(qū)域后,雙方都有“安全感”,核競(jìng)賽才有可能停止下來. 因此,我們將兩個(gè)安全區(qū)的公共部分稱為核軍備競(jìng)賽的穩(wěn)定區(qū)域,而兩條安全線的交點(diǎn)稱為平衡點(diǎn). 三. 平衡點(diǎn)的存在條件在一定的合理假設(shè)條件下,可以證明穩(wěn)定區(qū)域是存在的. 首先我們分析某一短時(shí)期內(nèi)的

16、情況. 在某一時(shí)刻,乙方單位核武器消滅甲方核武器的數(shù)量r1可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù),所以當(dāng)乙方核武器數(shù)量為y時(shí),能夠消滅甲方核武器數(shù)量不超過r1y, 所以. 同樣,若以r2表示甲方單位核武器消滅乙方核武器的能力,則. 若rlr21, 則線性方程組有唯一解在第一象限:即直線 與 在第一象限相交. 從而兩條安全線必然相交. 見下圖Oxyx0y0x=x0+r1yy=y0+r2xx=f(y)y=g(x)r1與r2們可看作雙方作戰(zhàn)能力的指標(biāo). 它們與核武器的威力和防御能力. 然而核武器威力增加是有限度的, 最后雙方都要在增加防御能力上下功夫. 即r1與r2會(huì)變小, 從而安全線y=g(x)的斜率不斷減小, x=

17、f(y)的斜率不斷增大.可見平衡點(diǎn)必然存在,從而穩(wěn)定區(qū)域必然存在. 四、安全線方程 設(shè)乙(甲)方的任一枚核彈都隨機(jī)地瞄準(zhǔn)了甲(乙)方的某一枚核彈，命中率為p1 (p2), (0p1, p2x0時(shí)，y0;（2）乙方安全線滿足：（1）y=y0時(shí)，x=0, y y0時(shí)，x0;（2）.曲線的圖類似于圖2.9.1. 有平衡點(diǎn).五. 核武器的研究策略核武器的殺傷力與爆炸力和精度兩個(gè)因素有關(guān).前蘇聯(lián)的核武器向大型化方向發(fā)展,即重點(diǎn)是增加爆炸力;而美國人卻走提高武器精度的道路.那么, 是誰更能有效地提高核武器的殺傷力?設(shè)殺傷力為k, 爆炸力為x (TNT當(dāng)量),誤差為y (彈著點(diǎn)與目標(biāo)中心的距離). 經(jīng)過大量

18、的模擬試驗(yàn), 將有關(guān)數(shù)據(jù)經(jīng)過處理和分析,擬合得k, x與y的函數(shù)關(guān)系為由此模型, 易見當(dāng)y不變, 時(shí), k*=4k, 即當(dāng)爆炸力提高7倍時(shí),殺傷力提高3倍.而當(dāng)x不變且y*=y/8時(shí), k*=64k, 即精度提高7倍時(shí),殺傷力可提高63倍. 這說明:提高精度更能有效地提高核武器的殺傷力.美國的核武器雖然比蘇聯(lián)小些, 但美國的核武器精度高,因而美國并不懼怕蘇聯(lián). 在核武器競(jìng)賽中, 前蘇聯(lián)處于下風(fēng).由此看出, 數(shù)學(xué)模型對(duì)科學(xué)決策有重要的指導(dǎo)意義.2.10 傳送帶的效率一、問題在車間的排列整齊的工作臺(tái)旁,工人們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品. 工作臺(tái)上方一條傳送帶在連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn),帶上有一些均勻排列的鉤子,工人們將產(chǎn)品掛

19、在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走. 當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后,每個(gè)工人生產(chǎn)出一種產(chǎn)品的時(shí)間不變,但他要掛產(chǎn)品的時(shí)刻卻是隨機(jī)的,我們要研究這種傳送帶的效率. 工作臺(tái)工作臺(tái)工作臺(tái)工作臺(tái)工作臺(tái)倉 庫二、分析周期(生產(chǎn)周期)- 生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時(shí)間(不是傳送帶轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間)工人在生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后,要么恰有空鉤子經(jīng)過他的工作臺(tái),使他可將產(chǎn)品掛上帶走,否則他將產(chǎn)品放下立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn). 工人的生產(chǎn)周期雖然相同,但是由于各種隨機(jī)因素干擾,經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間后,他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻可以認(rèn)為是隨機(jī)的,并且在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性是一致的. 因而傳送帶長期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等于一周期的效率,即用等于它在一周期內(nèi)能帶走

20、的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述. 三、模型假設(shè)(1)車間共有n個(gè)工人,他們的生產(chǎn)是互相獨(dú)立的,生產(chǎn)周期是常數(shù), n個(gè)工作臺(tái)均勻排列.(2)生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài),即每個(gè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一周期內(nèi)是等可能的.(3)在一周期內(nèi)有m個(gè)鉤子通過每一工作臺(tái)上方,鉤子均勻排列, 每個(gè)鉤子至多只能掛上一件產(chǎn)品.(4)在任何時(shí)刻，每個(gè)工人都能且只能觸到一只鉤子,于是在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間,如果他能觸到的那只鉤子是空的,則可將產(chǎn)品掛上帶走;如果那只鉤子非空,則他只能將這件產(chǎn)品放在地上,退出傳送系統(tǒng).四、模型建立-第i個(gè)鉤在一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)，i=1,2,m. -傳送帶在一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)-傳送帶在一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)期望值.n -在一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù).D -傳送帶的效率=一周期內(nèi)的效率.因此，關(guān)鍵是計(jì)算s. 對(duì)于任一指定的工人來講