1、專題25 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（3）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.一、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫(huà)成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫(huà)成實(shí)線2對(duì)于二元一次不等式的不同形式，其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域有如下結(jié)論：3確定二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的方法（1）對(duì)于直線同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y

2、)，使得的值符號(hào)相同，也就是位于同一半平面的點(diǎn)，如果其坐標(biāo)滿足，則位于另一個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足.（2）可在直線的同一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)(x0，y0)，從的符號(hào)就可以判斷 (或)所表示的區(qū)域（3）由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.（4）點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線的兩側(cè)的充要條件是；位于直線同側(cè)的充要條件是.二、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念（1）約束條件：由變量x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的約束條件關(guān)于變量x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的線性約束條件（2）

3、目標(biāo)函數(shù)：我們把求最大值或最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量x，y的一次解析式的稱為線性目標(biāo)函數(shù).（3）線性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域，其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟可概括為“畫(huà)、移、求、答”，即：（1）畫(huà)：在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出可行域和直線 (目標(biāo)函數(shù)為)；（2）移：平行移動(dòng)直線，確定使取得最大值或最小值的點(diǎn)；（3）求：求出使z取得

4、最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)(解方程組)及z的最大值或最小值；（4）答：給出正確答案3線性規(guī)劃的實(shí)際問(wèn)題的類型（1）給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問(wèn)怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；（2）給定一項(xiàng)任務(wù)，問(wèn)怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小 常見(jiàn)問(wèn)題有：物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題；產(chǎn)品安排問(wèn)題；下料問(wèn)題.4非線性目標(biāo)函數(shù)類型（1）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間距離的平方的最值問(wèn)題（2）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問(wèn)題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)連線的斜率的倍的取值范圍、最值等（3）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問(wèn)題

5、化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線的距離的倍的最值考向一 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域1確定平面區(qū)域的方法如下：第一步，“直線定界”，即畫(huà)出邊界，要注意是虛線還是實(shí)線；第二步，“特殊點(diǎn)定域”，取某個(gè)特殊點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)，由的符號(hào)就可以斷定表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域；第三步，用陰影表示出平面區(qū)域.2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的應(yīng)用主要包括求平面區(qū)域的面積和已知平面區(qū)域求參數(shù)的取值或范圍.（1）對(duì)于面積問(wèn)題，可先畫(huà)出平面區(qū)域，然后判斷其形狀（三角形區(qū)域是比較簡(jiǎn)單的情況），求得相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)、相關(guān)的線段長(zhǎng)度等，若圖形為規(guī)則圖形，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，則運(yùn)用割補(bǔ)法計(jì)算平面

6、區(qū)域的面積，其中求解距離問(wèn)題時(shí)常常用到點(diǎn)到直線的距離公式.（2）對(duì)于求參問(wèn)題，則需根據(jù)區(qū)域的形狀判斷動(dòng)直線的位置，從而確定參數(shù)的取值或范圍.典例1 不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 .【答案】16【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積為.典例2 設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，則使函數(shù)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是A BC D【答案】C由函數(shù)的圖象特征知，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即.綜上，.故選C.1若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危移涿娣e等于，則m的值為A B1C D3考向二 線性目標(biāo)函

7、數(shù)的最值問(wèn)題1平移直線法：作出可行域,正確理解z的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移得到最優(yōu)解.對(duì)一個(gè)封閉圖形而言,最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，在解題中也可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn). 2頂點(diǎn)代入法：依約束條件畫(huà)出可行域;解方程組得出可行域各頂點(diǎn)的坐標(biāo);分別計(jì)算出各頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的值，經(jīng)比較后得出z的最大(小)值. 求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)，最優(yōu)解只有1個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí)，會(huì)在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值.（）同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最值時(shí)，最優(yōu)解有多個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線

8、與某一邊界線平行時(shí)，會(huì)有多個(gè)最優(yōu)解.（）可行域一邊開(kāi)放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時(shí)也就不存在最優(yōu)解.典例3 已知點(diǎn)x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為A5 B6C7 D8【答案】C【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，2已知滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是A4 B6C8 D10考向三 含參線性規(guī)劃問(wèn)題1若目標(biāo)函數(shù)中有參數(shù)，要從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量進(jìn)行準(zhǔn)確定位，這是求解這類問(wèn)題的主要思維方法.2若約束條件中含有參數(shù)，則會(huì)影響平面區(qū)域的形狀，這時(shí)含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條變動(dòng)的直線

9、，注意根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢(shì)，從而確定區(qū)域的可能形狀.典例4 若變量x,y滿足約束條件,且u=2x+y+2的最小值為-4,則k的值為A7 B C D2【答案】B典例5 設(shè)變量x,y滿足,z=a2x+y(0aN BM=NCM0,b0)的最大值為10,則a2+b2+2a的最小值為A B C D 7關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，不等式(x4)2+(y3)21所表示的區(qū)域記為N，若在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為A BC D 8某顏料公司生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸；生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸，且該公司一天之內(nèi)

10、甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過(guò)噸、噸、噸，如果產(chǎn)品的利潤(rùn)為元/噸，產(chǎn)品的利潤(rùn)為元/噸，則該顏料公司一天內(nèi)可獲得的最大利潤(rùn)為A元 B元C元 D元9在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-1,0)，B(1,2)，C(3,-1)，點(diǎn)P(x，y)為邊界及內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則x+y的最大值為_(kāi).10已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為_(kāi).11若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)不等式組所表示的平面區(qū)域，則 的取值范圍是_.12已知x,y滿足約束條件(x-2)(x+2y-4)0,則x2+y2的最小值為_(kāi).13已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則S=x+y2x-1的取值范圍是_.14已知點(diǎn)，若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)組成，則D的面積為_(kāi).15設(shè)變量x,

11、y滿足約束條件,目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為m,則當(dāng)2a+b=m18(a0,b0)時(shí),2a+1b 的最小值為_(kāi).16某公司計(jì)劃2017年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元.問(wèn)：該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？1（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為A0 B1C2 D32（2017浙江）若，滿足約束條件，則的取值范圍是A

12、0，6 B0，4C6， D4，3（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）設(shè)滿足約束條件則的最小值是A BC D 4（2016浙江文科）若平面區(qū)域 夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是A BC D 5（2016新課標(biāo)全國(guó)文科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)

13、之和的最大值為 元.6（2016江蘇）已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 7（2017天津文科）電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)（分鐘）廣告播放時(shí)長(zhǎng)（分鐘）收視人次（萬(wàn)）甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用，表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)（）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；（）問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各

14、多少次，才能使收視人次最多？變式拓展1【答案】B【解析】如圖，由于不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋移涿娣e等于，2【答案】B【解析】畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，為6.故選B3【答案】【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,易得A(3,2),B(1,4),C(95,45).4【解析】設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x噸、B種產(chǎn)品y噸,能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z元,目標(biāo)函數(shù)為z=10000x+5000y,由題意得滿足條件，作出該不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示：5【答案】10【解析】方法一：設(shè)z=3x-4y,作出約束條件表示的可行域,如圖中

15、陰影部分所示,通過(guò)平移直線l:3x-4y-z=0知,當(dāng)l過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí),zmax=3；當(dāng)l過(guò)點(diǎn)C(1,)時(shí),zmin=,則10|3x-4y-13|,所以|3x-4y-13|的最小值為10.方法二：因?yàn)閨3x-4y-13|=5,所以求|3x-4y-13|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)到直線3x-4y-13=0的距離的最小值的5倍. 作出約束條件表示的可行域,如方法一的圖中陰影部分所示.由圖可知,當(dāng)點(diǎn)P位于A(1,0)位置時(shí),P到直線3x-4y-13=0的距離最小,為d=2,所以|3x-4y-13|的最小值為10.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】B2【答案】D【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)

16、域，如圖中陰影部分所示,由z=x+2y,得y=x+,是直線y=x+在y軸上的截距,根據(jù)圖形知,當(dāng)直線y=x+過(guò)A點(diǎn)時(shí),取得最小值.由得x=2,y=1,即A(2,1),此時(shí)z=4,z4,故選D.3【答案】B【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,該平面區(qū)域是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,所以平面區(qū)域的面積為S=21224=8.4【答案】B【解析】由得,作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,5【答案】A【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,由此可知一定有MN,選A.6【答案】C【解析】方法一：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因?yàn)閍0

17、,b0,所以由可行域得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(4,6)時(shí)，z取得最大值,所以4a+6b=10.a2+b2+2a=(a+1)2+b2-1的幾何意義是直線4a+6b=10上任意一點(diǎn)(a,b)到點(diǎn)(-1,0)的距離的平方減去1,那么其最小值是點(diǎn)(-1,0)到直線4a+6b=10的距離的平方減去1,則a2+b2+2a的最小值是()2-1=3613.方法二：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因?yàn)閍0,b0,所以7【答案】A【解析】關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，面積為1244=8，不等式(x4)2+(y3)21所表示的區(qū)域記為N，且滿足不等式組，則面積為,故在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，

18、則該點(diǎn)取自N的概率為，故選A.8【答案】A【解析】依題意，將題中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：每噸產(chǎn)品每噸產(chǎn)品染料最高用量甲染料（單位：噸）乙染料（單位：噸）丙染料（單位：噸）設(shè)該公司一天內(nèi)安排生產(chǎn)產(chǎn)品噸、產(chǎn)品噸，所獲利潤(rùn)為元.依據(jù)題意得目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為，欲求目標(biāo)函數(shù)的最大值，先畫(huà)出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示，9【答案】3【解析】依題意，作出可行域，設(shè)z=x+y，當(dāng)直線y=-x+z過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z有最大值3，故填3.10【答案】4【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖陰影區(qū)域所示，要想取得最大值，只需取得最大值即可.觀察可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值16，故的最大值為4.11【答案】【

19、解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：12【答案】13【答案】,4【解析】作出表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.易知目標(biāo)函數(shù)S=+12y+12x-12,它表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與Q(12,-12)連線的斜率的一半再加上，易得A(1,3)、B(3,1),所以直線QA的斜率kQA=7,直線QB的斜率kQB=,數(shù)形結(jié)合可知,+kQBS+kQA,所以S=x+y2x-1的取值范圍是,4.14【答案】3可得，則，又直線與直線間的距離，故D的面積為.15【答案】9【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.成立).16【解析】設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分

20、鐘，總收益為z元，由題意得，目標(biāo)函數(shù)為二元一次不等式組等價(jià)于，作出該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示： 如圖，作直線，即收益為70萬(wàn)元.直通高考1【答案】D【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)z取得最大值，故，故選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最值取法或值域范圍2【答案】D【解析】如圖，可行域?yàn)橐婚_(kāi)放區(qū)域，所以直線過(guò)點(diǎn)

21、時(shí)取最小值4，無(wú)最大值，選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍3【答案】A【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.4【答案】B【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，【名師點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，再根據(jù)可行域的特點(diǎn)確定取得最值的最優(yōu)解，代入計(jì)算畫(huà)不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過(guò)特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤5【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為、件，利潤(rùn)之和為元，那么由題意得約束條件目標(biāo)函數(shù).約束條件等價(jià)于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示.將變形，得，作直線：并平移，當(dāng)直線經(jīng)【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn),一般以客觀題的形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見(jiàn)