1、第二章,數(shù)列,2.2等差數(shù)列 2.2.1等差數(shù)列(二),學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的重要性質(zhì). 2.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.,1,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí),2,課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破,3,當(dāng)堂檢測 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功,知識鏈接 在等差數(shù)列an中，若已知首項(xiàng)a1和公差d的值，由通項(xiàng)公式ana1(n1)d可求出任意一項(xiàng)的值，如果已知am和公差d的值，有沒有一個(gè)公式也能求任意一項(xiàng)的值？由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能得到等差數(shù)列的哪些性質(zhì)？,預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1.等差數(shù)列的圖象 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d，當(dāng)d0時(shí)，an是關(guān)于n的常函數(shù)；當(dāng)d0時(shí)，點(diǎn)(n，an)分布在

2、以 為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn). 2.等差數(shù)列的項(xiàng)與序號的關(guān)系 (1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：在等差數(shù)列an中，已知a1，d, am, an(mn)，則d 從而有anam .,(nm)d,d,(2)項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，則 apaq. 3.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的項(xiàng)的對稱性 在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和.即a1ana2an1a3an2.,aman,(2)若an、bn分別是公差為d，d的等差數(shù)列，則有,(3)an的公差為d，則d0an為 數(shù)列；d0an為 數(shù)列；d0an為常數(shù)列.,遞減,遞增,

3、要點(diǎn)一等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例1(1)已知等差數(shù)列an中，a2a6a101，求a4a8. 解方法一根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.,由題意知，3a115d1，即a15d . a4a82a110d2(a15d) .,方法二根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)a2a10a4a82a6. 由a2a6a101，得3a61，解得a6 ，a4a82a6 .,(2)設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值. 解an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為d， a1a32a2， a1a2a3153a2，a25， 又a1a2a380，

4、a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)， a12a210d35，a11a12a133a12105.,規(guī)律方法解決本類問題一般有兩種方法：一是運(yùn)用等差數(shù)列an的性質(zhì)：若mnpq2w，則amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；二是利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)與公差的結(jié)構(gòu)完成運(yùn)算，屬于通性通法，兩種方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想.,跟蹤演練1在等差數(shù)列an中： (1)若a35，則a12a4_； 解析a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315. (2)若a1a2a324，a18a19a2078，則a1a20等于_. 解析由已知可得(a1a2a3)(a18a

5、19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018.,15,18,要點(diǎn)二等差數(shù)列的設(shè)法與求解 例2三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為24，求這三個(gè)數(shù). 解方法一設(shè)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)為a，公差為d，則這三個(gè)數(shù)分別為ad，a，ad. 依題意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24， 化簡得d216，于是d4，故三個(gè)數(shù)為2,2,6或6,2，2.,方法二設(shè)首項(xiàng)為a，公差為d，這三個(gè)數(shù)分別為a，ad，a2d， 依題意，3a3d6且a(ad)(a2d)24， 所以a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(2d)24,4d212， 即d21

6、6，于是d4，三個(gè)數(shù)為2,2,6或6,2,2.,規(guī)律方法利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量可以簡化計(jì)算.一般地有如下規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：a2d，ad，a，ad，a2d，；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為ad，ad，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)： a3d，ad，ad，a3d，這樣可減少計(jì)算量.,跟蹤演練2四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為8，求這四個(gè)數(shù). 解方法一設(shè)這四個(gè)數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)， 依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d 28， d21，d1或d1.又四個(gè)數(shù)成遞

7、增等差數(shù)列，所以d0，d1， 故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.,方法二若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差為d)， 依題意，2a3d2，且a(a3d)8，把a(bǔ)1 d代入a(a3d)8， 得(1 d)(1 d)8， 即1 d 28， 化簡得d24，所以d2或2. 又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列， 所以d0，所以d2， 故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.,要點(diǎn)三由遞推關(guān)系式構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng) (1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列.,bn是等差數(shù)列，且公差為4，首項(xiàng)為5.,(2)試問a1a2是否是數(shù)列an中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由. 解由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1. 即

8、a1a2a11，a1a2是數(shù)列an中的項(xiàng)，是第11項(xiàng).,規(guī)律方法已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要對遞推公式進(jìn)行合理變形，構(gòu)造出等差數(shù)列，需掌握常見的幾種變形形式，考查學(xué)生推理能力與分析問題的能力.,跟蹤演練3在數(shù)列an中，a12，an1an2n1. (1)求證：數(shù)列an2n為等差數(shù)列； 證明(an12n1)(an2n)an1an2n1(與n無關(guān))，故數(shù)列an2n為等差數(shù)列，且公差d1. (2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn2log2(an1n)，求bn的通項(xiàng)公式. 解由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1， 故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.,要點(diǎn)四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例4甲

9、、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同的信息圖如圖所示.甲調(diào)查表明：從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個(gè)雞場出產(chǎn)2萬只雞.乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年10個(gè).,請您根據(jù)提供的信息說明，求 (1)第2年養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)； 解由題干圖可知，從第1年到第6年平均每個(gè)雞場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為an，公差為d1，且a11，a62；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個(gè)數(shù)也成等差數(shù)列，記為bn，公差為d2，且b130，b610； 從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列cn，則cnanbn.,(1)由a11，a62，,由b130，b610

10、，,所以c2a2b21.22631.2.,(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？請說明理由. 解c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了. (3)哪一年的規(guī)模最大？請說明理由. 解an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4) 4n34(1n6)， cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6).,2與 的距離最近， 當(dāng)n2時(shí)，cn最大. 所以(1)第2年養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了；(3)第2年的規(guī)模最大. 規(guī)律方法本題可

11、以按照解析幾何中的直線問題求解，但是，如果換個(gè)角度，利用構(gòu)造等差數(shù)列模型來解決，更能體現(xiàn)出等差數(shù)列這一函數(shù)特征.這種解答方式的轉(zhuǎn)變，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)中體會，在體會中升華.,跟蹤演練4某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？ 解由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120，(n2，nN)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且首項(xiàng)a1200，公差d20， 所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220. 若an11，

12、 即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.,1.在等差數(shù)列an中，已知a310，a820，則公差d等于() A.3B.6C.4D.3 解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a8a3(83)d5d， 所以d6.,B,1,2,3,4,2.在等差數(shù)列an中，已知a42，a814，則a15等于() A.32 B.32 C.35 D.35 解析由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.,C,2,3,4,1,3.在等差數(shù)列an中，a4a515，a712，則a2等于() A.3 B.3 C. D. 解析由數(shù)列的性質(zhì)，得a4a5a2a7，所以a215123.,1,2,3,4,A,4.某市出

13、租車的起步價(jià)為10元，即最初的4 km(不含4 km)計(jì)費(fèi)為10元，超出4 km(含4 km)的路程，按1.2元/km的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)費(fèi).如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？,1,2,3,4,解根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時(shí)，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列an來計(jì)算車費(fèi).令a111.2表示4 km處的車費(fèi)，公差d1.2.那么當(dāng)出租車行至14 km處時(shí)，n11，此時(shí)需要支付車費(fèi)為a11a110d11.2101.223.2(元). 答需要支付車費(fèi)23.2元.,1,2,3,4,課堂小結(jié) 1.在等差數(shù)列an中，當(dāng)mn時(shí)，d 為公差公式， 利用這個(gè)公式很容易求出公差，還可變形為aman(m