1、目 錄 Contents,考情精解讀,考點(diǎn)1,A.知識(shí)全通關(guān),B.題型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,專題探究,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考情精解讀,考綱解讀,命題趨勢(shì),命題規(guī)律,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.,考試大綱,考綱解讀,命題規(guī)律,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,考綱解讀,命題規(guī)律,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,考綱解讀,命題規(guī)律,返回目錄,1.熱點(diǎn)預(yù)測(cè)求多面體、旋轉(zhuǎn)體以及簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積是高考的熱點(diǎn),已知三視圖還原幾何體的直觀圖,并進(jìn)行面積、體積的計(jì)算是高

2、考考查的重點(diǎn),題型以選擇題、填空題為主,分值約5分,有時(shí)以解答題的一問(wèn)呈現(xiàn),分值57分. 2.趨勢(shì)分析以三視圖為載體求幾何體的表面積和體積,以及利用展開(kāi)圖考查側(cè)面積的命題趨勢(shì)逐步增強(qiáng),在2018年高考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視,另外,體積與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題在復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)給予關(guān)注.,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,知識(shí)全通關(guān),考 點(diǎn)一柱體、錐體、臺(tái)體的表面積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,1.旋轉(zhuǎn)體的表面積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,2.多面體的表面積 多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和,也就是展開(kāi)圖的面積. 注意 (1)

3、幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和,而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和. (2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,【辨析比較】,柱體、錐體、臺(tái)體側(cè)面積間的關(guān)系 1.當(dāng)正棱臺(tái)的上底面與下底面全等時(shí),得到正棱柱; 當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí),得到正棱錐,由此可得: S正棱柱側(cè)=ch S正棱臺(tái)側(cè)= 1 2 (c+c)h S正棱錐側(cè)= 1 2 ch. 2.當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱; 當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐,由此可得: S圓柱側(cè)=2rl S圓臺(tái)側(cè)=(r+r)l S圓錐側(cè)=rl.,考 點(diǎn)二 柱體、錐體、臺(tái)體

4、的體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,注意 (1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法將幾何體轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決. (2)求與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,柱體、錐體、臺(tái)體體積間的關(guān)系 柱體、錐體、臺(tái)體體積公式間的關(guān)系如圖8-2-1所示. 圖8-2-1,【辨析比較】,考點(diǎn)三 球的表面積和體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,設(shè)球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)， 其表面積公式為,，即球的表面積等于它的大圓面

5、積的4倍，其體積公式,為,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,(1)球的表面積只與半徑有關(guān),且面積比等于半徑比的平方; (2)球的體積之比等于其半徑之比的立方; (3)利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑.,【名師提醒】,題型全突破,考法一 求空間幾何體的表面積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo) 1.規(guī)則幾何體的表面積可利用有關(guān)公式求解,求多面體的表面積,只需將它們沿著棱剪開(kāi)展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積,可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手,正確確定它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中

6、的邊長(zhǎng)關(guān)系,進(jìn)而求表面積. 2.求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體,先求出這些基本的柱、錐、臺(tái)體的表面積,再通過(guò)求和或作差,求出幾何體的表面積. 3.求以三視圖為載體的表面積問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是先分析三視圖,確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量,再利用上面的方法求表面積.,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例1一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖8-2-5所示,則該幾何體的表面積為 圖8-2-5 A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),思路分析三視圖 畫(huà)出直觀圖 分別求各個(gè)

7、面的面積 面積求和 解析 圖8-2-6,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖8-2-6所示,該幾何體的下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形; 上底面是長(zhǎng)為4、寬為2的矩形; 兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面,上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為4; 另兩個(gè)側(cè)面是矩形,寬為4,長(zhǎng)為 4 2 + 1 2 = 17 . 所以S表=42+24+ 1 2 (2+4)42+4 17 2=48+8 17 . 答案C 點(diǎn)評(píng)本題求解的關(guān)鍵是將三視圖還原為直觀圖,并確定每個(gè)面的形狀和各條棱的長(zhǎng)度,然后求得表面積.,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例2已知正四棱錐的

8、底面邊長(zhǎng)為2a,其左視圖如圖8-2-7所示.當(dāng)主視圖的面積最大時(shí),該正四棱錐的表面積為 A.8B.8+8 2 C.8 2 D.4+8 2 圖8-2-7,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),思路分析 由題意畫(huà)出幾何體的直觀圖 求出a2+h2=4,再用均值不等式求出a,h的值 即可求得四棱錐的表面積 圖8-2-8,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析由已知可知該正四棱錐的直觀圖如圖8-2-8所示.其主視圖與左視圖相同,設(shè)棱錐的高為h,則a2+h2=4.故主視圖的面積為S= 1 2 2ah=ah 2 + 2 2 =2,即當(dāng)a=h= 2 時(shí),S最大.故S表=

9、(2a)2+4 1 2 (2a)2=8+8 2 . 答案B 點(diǎn)評(píng)三視圖中常見(jiàn)的是“靜態(tài)”問(wèn)題,本題是“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題,很有新意.在這類問(wèn)題的求解中要有變動(dòng)為靜的思維,通過(guò)尋找相關(guān)的量構(gòu)造一定的等式關(guān)系,使得問(wèn)題在靜中得以求解.,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo)1.處理體積問(wèn)題的思路 (1)“轉(zhuǎn)”:指的是轉(zhuǎn)換底面與高,將原來(lái)不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面,或?qū)⒃瓉?lái)不易看出的高轉(zhuǎn)換為易看出并易求解長(zhǎng)度的高. (2)“拆”:指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體,便于計(jì)算. (3)“拼”:指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中,如將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱,將

10、一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱,這些都是拼補(bǔ)的方法. 2.求空間幾何體的體積的常用方法 (1)公式法.對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題,可以直接利用公式進(jìn)行求解. (2)割補(bǔ)法.把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形,然后進(jìn)行體積計(jì)算;或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體,便于計(jì)算其體積.,考法二 求空間幾何體的體積,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),(3)等體積法.一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化,其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí),我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法,多用

11、來(lái)解決有關(guān)錐體的體積,特別是三棱錐的體積. 3.由三視圖求相關(guān)幾何體的體積 已知幾何體三視圖求體積的思路與已知幾何體三視圖求表面積的思路相同,求解時(shí)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置,確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系,進(jìn)而利用求體積的方法求解. .,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例3如圖8-2-11是某簡(jiǎn)單組合體的三視圖,則該組合體的體積為 A.36 3 (+ 2 ) B.36 3 (+2) C.108 3 D.108( 3 +2) 圖8-2-11,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),思路分析先根據(jù)三視圖的結(jié)構(gòu)特征確定幾何體的構(gòu)成,然后把三視

12、圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為該組合體的數(shù)字特征,分別求出對(duì)應(yīng)幾何體的體積,則兩者體積之和即該組合體的體積. 解析由俯視圖可知,該幾何體的底面有三角形和半圓兩部分構(gòu)成,結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是由半個(gè)圓錐與一個(gè)三棱錐組合而成的,并且圓錐的軸截面與三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合,兩個(gè)錐體的高相等.由三視圖中的數(shù)據(jù)可得,該圓錐的底面半徑r=6,三棱錐的底面是一個(gè)底邊長(zhǎng)為12,高為6的等腰三角形,兩個(gè)錐體的高h(yuǎn)= 1 2 2 6 2 =6 3 . 故半圓錐的體積V1= 1 2 1 3 626 3 =36 3 ; 三棱錐的底面積S= 1 2 126=36,三棱錐的體積V2= 1 3 Sh= 1 3 366 3 =72

13、3 . 故該幾何體的體積V=V1+V2=36 3 +72 3 =36 3 (+2). 答案B,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例4如圖8-2-12所示,已知三棱錐D-ABC中, ADBC,AD,BC之間的距離為h,且AD=a,BC=b,求三棱錐D-ABC的體積. 圖8-2-12 思路分析 求底面面積和高較難 拼接幾何體 轉(zhuǎn)化底面和高 體積轉(zhuǎn)化 運(yùn)算,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析 圖8-2-13 以AB,BC為鄰邊補(bǔ)成平行四邊形ABCE,以AD為側(cè)棱補(bǔ)成平行六面體ABCEDGMF,如圖8-2-13所示, 則三棱錐D-ABC的體積V1與

14、平行六面體ABCEDGMF的體積V2之間有V1= 1 6 V2,易知平行六面體左、右側(cè)面之間的距離就是異面直線AD,BC之間的距離h.因?yàn)锳DBC,所以四邊形BCMG為矩形.所以V1= 1 6 V2= 1 6 S矩形BCMGh= 6 . 點(diǎn)評(píng)本題也可以分割幾何體,轉(zhuǎn)化底面和高,最后求得三棱錐的體積.,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,考法三 求球的表面積和體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo)1.求球的表面積和體積的關(guān)鍵是求出球的半徑.反之,若已知球的表面積或體積,那么就可以得到球的半徑. 2.處理與幾何體外接球有關(guān)的問(wèn)題時(shí),一般需依據(jù)球和幾何體的對(duì)稱性,確定球心與幾何體的特殊點(diǎn)間的關(guān)系.解決與

15、長(zhǎng)方體有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意運(yùn)用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即外接球直徑這一知識(shí). 3.與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系,正確建立等量關(guān)系.,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,考法示例5正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都等于2 2 ,則它的外接球的表面積是 A.16B.12 C.8D.4 思路分析 求出此球的半徑-根據(jù)球的表面積公式計(jì)算-求得結(jié)論 解析設(shè)正四棱錐的外接球半徑為R,頂點(diǎn)P在底面上的射影為O,因?yàn)镺A= 1 2 AC= 1 2 2 + 2 = 1 2 (2 2 ) 2 +(

16、2 2 ) 2 =2,所以PO= 2 2 = (2 2 ) 2 2 2 =2.又OA=OB=OC=OD=2,由此可知R=2,于是S球=4R2=16. 答案 A 點(diǎn)評(píng)本題求解的關(guān)鍵是通過(guò)組合體的圖形,找到已知條件中各棱長(zhǎng)與球的半徑之間的關(guān)系,然后利用球的表面積公式求解.,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例6有一個(gè)倒圓錐形容器,它的軸截面是頂角的余弦值為 1 2 的等腰三角形.在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球,并注水,使水面與球正好相切,然后將球取出,則這時(shí)容器中水的深度為. 思路分析先作出截面,根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí),水的深度為3r,水面半徑的長(zhǎng)為 3 r,容器內(nèi)水的體積為V=V圓錐-V球,由此即可得出結(jié)論.

17、 解析 圖8-2-15,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,如圖8-2-15所示,作出軸截面, 因?yàn)檩S截面是頂角的余弦值為 1 2 的等腰三角形,所以頂角為 3 ,所以該軸截面為正三角形.根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí),水的深度為3r,水面所在圓的半徑為 3 r,則容器內(nèi)水的體積V= 1 3 ( 3 ) 2 3r- 4 3 r3= 5 3 r3.將球取出后,設(shè)容器中水的深度為h,則水面圓的半徑為 3 3 h,從而容器內(nèi)水的體積 V= 1 3 ( 3 3 h)2h= 1 9 h3,由V=V,得h= 3 15 r,所以這時(shí)容器中水的深

18、度為 3 15 r.,【突破攻略】,繼續(xù)學(xué)習(xí),計(jì)算球的表面積或體積,必須求出球的半徑,一般方法有:(1)根據(jù)球心到內(nèi)接多面體各頂點(diǎn)的距離相等確定球心,然后求出半徑;(2)依據(jù)已知的線線或線面之間的關(guān)系推理出球心位置,然后求出半徑.,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,能力大提升,繼續(xù)學(xué)習(xí),空間幾何體表面積和體積的最值,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,專題探究,解決此類問(wèn)題的一般思路有兩個(gè):一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式,將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值,根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷;二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)

19、系式,然后利用函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)方法解決.,示例7如圖8-2-16所示,A1A是圓柱的母線,AB是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn),AA1=AB=2. (1)求證:BC平面A1AC; (2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值. 圖8-2-16,數(shù)學(xué) 第八章第二講 空間幾何體的表面積與體積,繼續(xù)學(xué)習(xí),思路分析 根據(jù)線面垂直的判定找到所需條件 BC平面A1AC 列出三棱錐A1-ABC體積的表達(dá)式 利用基本不 等式求得體積的最大值 解析(1)因?yàn)镃是底面圓周上異于A,B的一點(diǎn),且AB為底面圓的直徑,所以BCAC. 因?yàn)锳A1平面ABC,BC平面ABC, 所以AA1BC. 因?yàn)锳A1AC=A,AA1平面A1AC,AC平面A1AC,所以