1、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題例1 2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過(guò)點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“12廣州24”，拖動(dòng)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫板文件名“12廣州24”，拖動(dòng)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直

2、線與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)思路點(diǎn)撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)2當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M有2個(gè)；當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡(jiǎn)便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對(duì)稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H由BD/AC，得D

3、BGCAO所以所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為因?yàn)锳C/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為圖2 圖3（3）過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4, 6)，過(guò)M1、E的直線l為根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是考點(diǎn)伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，因此可以過(guò)點(diǎn)C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO

4、3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過(guò)點(diǎn)C例2 2012年杭州市中考第22題在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(1,k)（1）當(dāng)k2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“12杭州22”，拖動(dòng)表示實(shí)數(shù)k的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)k0并且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大觀察拋物線的頂點(diǎn)Q與O的位置

5、關(guān)系，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q有兩次可以落在圓上請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫板文件名“12杭州22”，拖動(dòng)表示實(shí)數(shù)k的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)k0并且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大觀察拋物線的頂點(diǎn)Q與O的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q有兩次可以落在圓上 思路點(diǎn)撥1由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是題目中的k都是一致的2由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)還可以知道，A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O3根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，當(dāng)Q落在O上是，ABQ是以AB為直徑的直角三角形滿分解答（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,k)，所以

6、反比例函數(shù)的解析式是當(dāng)k2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當(dāng)k0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對(duì)稱軸是直線 圖1所以當(dāng)k0且時(shí)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，當(dāng)OQOAOB時(shí)，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖4，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問(wèn)平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否

7、成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線yx對(duì)稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因?yàn)锳、C可以無(wú)限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無(wú)法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例3 2011年沈陽(yáng)市中考第25題如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限當(dāng)線段時(shí)，求tanCED的值；當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形

8、是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問(wèn)的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“11沈陽(yáng)25”，拖動(dòng)點(diǎn)E或F在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，CDE有兩次機(jī)會(huì)成為等腰直角三角形雙擊按鈕“PQ3”可以準(zhǔn)確顯示時(shí)的位置思路點(diǎn)撥1第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題2第（3）題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)與線段長(zhǎng)的關(guān)系3根據(jù)C、D的坐標(biāo)，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡(jiǎn)單了滿分解答（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)

9、表達(dá)式為（2）由，知A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為（3）因?yàn)锳B4，所以因?yàn)镻、Q關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為所以，進(jìn)而得到，點(diǎn)E的坐標(biāo)為直線BC:與拋物線的對(duì)稱軸x1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）過(guò)點(diǎn)D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出CE的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，把點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個(gè)

10、值就是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)例4 2011年浙江省中考第23題設(shè)直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線（1）已知直線；和點(diǎn)C(0，2)，則直線_和_是點(diǎn)C的直角線（填序號(hào)即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過(guò)B、P兩點(diǎn)的直線為l1，過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線為l2，若l1與l2是點(diǎn)P的直角線，求直線l1與l2的解析式 圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APB有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角，此時(shí)BCPPOA答案（1）直線和是

11、點(diǎn)C的直角線（2）當(dāng)APB90時(shí)，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當(dāng)OP6時(shí)，l1：， l2：y2x6如圖3，當(dāng)OP1時(shí)，l1：y3x1， l2：圖2 圖3例5 2010年北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動(dòng)）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長(zhǎng)；若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻

12、速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)）過(guò)Q作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動(dòng)）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“10北京24”，拖動(dòng)點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，兩個(gè)等腰直角三角形的邊有三個(gè)時(shí)刻可以共線思路點(diǎn)撥1這個(gè)題目最大的障礙，莫過(guò)于無(wú)圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來(lái)，用含有t的式子表

13、示這些線段的長(zhǎng)3點(diǎn)C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計(jì)算此刻OP的長(zhǎng)4當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形有邊共線時(shí)，會(huì)產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關(guān)于t的方程就可以求解了滿分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以 解得，（舍去）因此所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）(2) 如圖4，設(shè)OP的長(zhǎng)為t，那么PE2t，EC2t，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，解得如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P、Q重合此時(shí)3t10解得如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時(shí)解得如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角

14、三角形，PQPD此時(shí)解得 圖1 圖2 圖3考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值如圖5，當(dāng)P、Q重合時(shí)，兩圓內(nèi)切，如圖6，當(dāng)兩圓外切時(shí)， 圖4 圖5 圖6例6 2009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，設(shè)（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動(dòng)點(diǎn)B在AN上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；CAB和ACB可以

15、成為直角，CBA不可能成為直角；觀察函數(shù)的圖象，可以看到，圖象是一個(gè)開(kāi)口向下的“U”形，當(dāng)AB等于1.5時(shí)，面積達(dá)到最大值思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為S2的問(wèn)題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無(wú)實(shí)根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當(dāng)或時(shí)，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作

16、于D，設(shè)，ABC的面積為S，則如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則移項(xiàng)，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當(dāng)時(shí)（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時(shí)綜合得，ABC的最大面積為考點(diǎn)伸展第（3）題解無(wú)理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運(yùn)算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程整理，得所以因此例 7 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說(shuō)明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)

17、其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“08河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)M從A向B運(yùn)動(dòng)，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗(yàn)到，當(dāng)M在AO上時(shí)，圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分；當(dāng)M在OB上時(shí)，S隨t的增大而增大觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4觀察MON的形狀，可以體驗(yàn)到，MON可以兩次成為直角三角形，不存在ONM90的可能思路點(diǎn)撥1第（1）題說(shuō)明ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)

18、動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90的可能滿分解答（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過(guò)點(diǎn)N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當(dāng)M在AO上時(shí)，OM2t，此時(shí)定義域?yàn)?t2如圖3，當(dāng)M在OB上時(shí)，OMt2，此時(shí)定義域?yàn)?t5 圖2

19、圖3把S4代入，得解得，（舍去負(fù)值）因此，當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S4的情形，此時(shí)如圖4，當(dāng)OMN90時(shí)，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當(dāng)OMN90時(shí)，N與C重合，不存在ONM90的可能所以，當(dāng)或者時(shí)，MON為直角三角形 圖4 圖5考點(diǎn)伸展在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當(dāng)ON/AC時(shí)，t3；如圖7，當(dāng)MN/AC時(shí)，t2.5 圖6 圖7例8 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說(shuō)明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“08河南23”，拖