1、12.5二項分布及其應(yīng)用2014高考會這樣考1.考查條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2.考查n次獨立重復(fù)試驗及二項分布的概念；3.考查利用二項分布解決一些簡單的實際問題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.利用互斥事件、事件的獨立性對事件進(jìn)行分解是計算復(fù)雜事件概率的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時要注意體會總結(jié)；2.掌握二項分布的含義，會從實際問題中抽象出二項分布模型1 條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)：0P

2、(B|A)1；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2 相互獨立事件(1)對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨立3 二項分布(1)獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有_兩_種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A

3、發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率難點正本疑點清源1 “互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別與聯(lián)系(1)“互斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關(guān)系(2)“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時發(fā)生，“相互獨立”強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響(3)“互斥”的兩個事件可以獨立，“獨立”的兩個事件也可以互斥2 計算條件概率有兩種方法(1)利用定義P(B|A)；(2)若n(C)表示試驗中事件C包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A).1. 如圖所示的電路，有a，b，c三

4、個開關(guān)，每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為_答案解析理解事件之間的關(guān)系，設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則燈亮應(yīng)為事件AC，且A，C，之間彼此獨立，且P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).2 某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為_答案0.128解析依題意可知，該選手的第二個問題必答錯，第三、四個問題必答對，故該選手恰好回答了4個問題

5、就晉級下一輪的概率P10.20.80.80.128.3 (2012課標(biāo)全國)某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_答案解析設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)P(B)P(C)，該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(ABAB)C，該部件的使用壽命超過1 000小時的概率P.4 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件

6、A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于 ()A. B. C. D.答案A解析P(B|A).5 如果XB，則使P(Xk)取最大值的k值為()A3 B4 C5 D3或4答案D解析P(X3)C312，P(X4)C411，P(X5)C510，從而易知P(X3)P(X4)P(X5).題型一條件概率例1在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為_思維啟迪：直接利用條件概率公式進(jìn)行計算或利用古典概型答案解析方法一設(shè)A第一次取到不合格品，B第二次取到不合格品，則P(AB)，所以P(B|A).方法二第一次取

7、到不合格品后還剩余99件產(chǎn)品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率為.探究提高條件概率的求法：(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A).這是通用的求條件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.答案解析(1)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A).(2

8、)事件AB表示“豆子落在EOH內(nèi)”，則P(AB).故P(B|A).題型二相互獨立事件的概率例2甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙兩人各投球2次，求共命中2次的概率思維啟迪：(1)利用列方程求p；(2)可用直接法也可用間接法；(3)要分類討論甲、乙各命中的次數(shù)解(1)方法一設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B.由題意得(1P(B)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率為.方法二設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”

9、為事件B.由題意得：P()P()，于是P()或P()(舍去)故p1P().所以乙投球的命中率為.(2)方法一由題設(shè)知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率為1P().方法二由題設(shè)知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率為CP(A)P()P(A)P(A).(3)由題設(shè)和(1)知，P(A)，P()，P(B)，P().甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次概率分別為CP(A)P()CP(B)P()，P(A)P(A)P()P()，P()P()P(B)P(B).所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為

10、.探究提高(1)相互獨立事件是指兩個試驗中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相互互斥事件是指同一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生；(2)求用“至少”表述的事件的概率時，先求其對立事件的概率往往比較簡單(2011山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()解(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件因為P(D)0.6，

11、P(E)0.5，P(F)0.5，由對立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知 F，E，D 是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.

12、35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由對立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為0123P0.10.350.40.15因此E()00.110.3520.430.151.6.題型三獨立重復(fù)試驗與二項分布例3某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位)(1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率思維啟迪：預(yù)報準(zhǔn)確的次數(shù)服從二項分布，可直接代入公式進(jìn)行計算解令X表示5次預(yù)報中預(yù)報準(zhǔn)確的次數(shù)，則XB(5，)，故其分布列為P(Xk)C()k(1

13、)5k(k0,1,2,3,4,5)(1)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X2)C()2(1)3100.05.(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X2)1P(X0)P(X1)1C()0(1)5C(1)410.000 320.006 40.99.(3)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確”的概率為C(1)30.02.探究提高獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機(jī)培訓(xùn)，

14、以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求X的分布列解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件A，“該人參加過計算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率是P( )P()P()(10.6)(10.75)0.1.該人參加過培訓(xùn)的概率

15、為10.10.9.(2)因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項分布XB(3,0.9)，P(Xk)C0.9k0.13k，k0,1,2,3，X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729對二項分布理解不準(zhǔn)致誤典例：(12分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布列易錯分析由于這名學(xué)生在各個交通崗遇到紅燈的事件相互獨立，可以利用二項分布解決，二項分布模型的建立是易錯點；

16、另外，對“首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)Y”理解不當(dāng)，將“沒有遇上紅燈的概率也當(dāng)成”規(guī)范解答解(1)將通過每個交通崗看做一次試驗，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗結(jié)果是相互獨立的，故XB.2分所以X的分布列為P(Xk)Ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.5分(2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k1個路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算7分P(Yk)()k(k0,1,2,3,4,5)，而Y6表示一路沒有遇上紅燈故其概率為P(Y6)()6，9分因此Y的分布

17、列為Y0123456P()2()3()4()5()612分溫馨提醒(1)二項分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近幾年高考非常注重的一個考點二項分布概率模型的特點是“獨立性”和“重復(fù)性”，事件的發(fā)生都是獨立的、相互之間沒有影響，事件又在相同的條件之下重復(fù)發(fā)生(2)獨立重復(fù)試驗中的概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk表示的是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率，p與(1p)的位置不能互換，否則該式子表示的意義就發(fā)生了改變，變?yōu)槭录嗀有k次不發(fā)生的概率了.方法與技巧1 古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實際應(yīng)用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法2

18、 相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(AB)P(A)P(B)3 n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次可看做是C個互斥事件的和，其中每一個事件都可看做是k個A事件與nk個事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1p)nk.因此n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1p)nk.失誤與防范1 運用公式P(AB)P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨立時，公式才成立2 獨立重復(fù)試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某

19、事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運用對立事件A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2011遼寧)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于 ()A. B. C. D.答案B解析P(A)，P(AB)，P(B|A).2 (2011湖北)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則

20、系統(tǒng)正常工作的概率為 ()A0.960 B0.864C0.720 D0.576答案B解析方法一由題意知K，A1，A2正常工作的概率分別為P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互獨立，A1，A2至少有一個正常工作的概率為P(A2)P(A12)P(A1A2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)P(A2)P(A12)P(A1A2)0.90.960.864.方法二A1，A2至少有一個正常工作的概率為1P(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)1P(1 2)0.90.960.864.3 (2

21、011廣東)甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()A. B. C. D.答案D解析甲隊若要獲得冠軍，有兩種情況，可以直接勝一局，獲得冠軍，概率為，也可以乙隊先勝一局，甲隊再勝一局，概率為，故甲隊獲得冠軍的概率為.4 已知隨機(jī)變量X服從二項分布XB(6，)，則P(X2)等于 ()A. B. C. D.答案D解析P(X2)C()2(1)4.二、填空題(每小題5分，共15分)5 明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的

22、概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是_答案0.98解析10.200.1010.020.98.6 某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為_答案解析設(shè)該隊員每次罰球的命中率為p(其中0p1)，則依題意有1p2，p2.又0p1，因此有p.7 市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是_答案0.665解析記A“甲廠產(chǎn)品”，B“合格產(chǎn)品”，則P(A)0.7，P(B|A)0.95.P(AB)P(A)P(B|A)0.70

23、.950.665.三、解答題(共22分)8 (10分)(2011大綱全國)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率解記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；E表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買(1)P(A

24、)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)D，P(D)1P(C)10.80.2，P(E)C0.20.820.384.9 (12分)某籃球隊與其他6支籃球隊依次進(jìn)行6場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，并且勝場的概率是.(1)求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負(fù)了兩場的概率；(2)求這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的概率解(1)P2.所以這支籃球隊首次勝場前已負(fù)兩場的概率為；(2)6場勝3場的情況有C種，PC3320.所以這支籃球隊在6場比賽中恰勝3場的概率為.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題

25、5分，共15分)1 某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6，使用壽命超過2年的概率為0.3，則使用壽命超過1年的元件還能繼續(xù)使用的概率為 ()A0.3 B0.5 C0.6 D1答案B解析設(shè)事件A為“該元件的使用壽命超過1年”，B為“該元件的使用壽命超過2年”，則P(A)0.6，P(B)0.3.因為BA，所以P(AB)P(B)0.3，于是P(B|A)0.5.2 位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()A.5 BC5CC3 DCC5答案B3 兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一

26、等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為 ()A. B. C. D.答案B解析設(shè)事件A：甲實習(xí)生加工的零件為一等品；事件B：乙實習(xí)生加工的零件為一等品，則P(A)，P(B)，所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(1)(1).二、填空題(每小題5分，共15分)4. 在一段線路中并聯(lián)兩個自動控制的常用開關(guān)，只要其中有一個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，則這段時間內(nèi)線路正常工作的概率為_答案0.91解析線路不能正常工作的概率為P( )P()P()(10.7)(10.7)0.09.能夠正常工作的概率為10.090.91.5. 將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴?/p>