1、典型例題一例 1用 0 到 9 這 10個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“ 0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有A93 個；當(dāng)個位上在“2、 4、6、 8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有A41 A81 A82 （個） 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A93A41 A81 A82504 1792 2296 個典型例題二例 2 三個女生和五個男生排成一排（ 1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（ 2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（ 3

2、）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（ 4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（ 1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有A66 種不同排法對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有A33 對種不同的排法，因此共有A66A334320 種不同的排法（ 2）（插空法） 要保證女生全分開， 可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔 這樣共有 4 個空檔， 加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中， 只要保證每個位置至多插入一個女生， 就能保證任意兩個女生都不

3、相鄰由于五個男生排成一排有A55 種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有A63 種方法，因此共有 A55 A6314400 種不同的排法（ 3）解法 1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5 個男生中的 2個，有 A52種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A66 種排法，所以共有A2A614400 種不同的排法56（ 4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有 A51 A77 種不同的排法；如果首位排女生，有A31 種排法，這時末位就只能排男生， 有 A51 種排法，首末兩

4、端任意排定一種情況后，其余 6 位都有 A66 種不同的排法，這樣可有 A31 A51 A66 種不同排法因此共有A51A77A31A51 A6636000 種不同的排法解法 2：3 個女生和 5 個男生排成一排有A88種排法，從中扣去兩端都是女生排法 A32 A661 / 9jiangshan 整理種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有 A88A32A6636000 種不同的排法典型例題三例 3 排一張有5 個歌唱節(jié)目和4 個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。（ 1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（ 2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：（ 1）先排歌唱節(jié)目有A55 種，歌唱節(jié)

5、目之間以及兩端共有6 個位子，從中選4 個放入舞蹈節(jié)目，共有A64 中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A55 A64 43200.（ 2）先排舞蹈節(jié)目有A44 中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5 個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A44 A55 2880 種方法。典型例題四例 4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6 六門課總的排法是A66 ，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有A55 種排法，如圖中； 數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有A55種

6、排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中，這種情況有A44 種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：A662A55A44504 （種）典型例題五例 5 現(xiàn)有 3 輛公交車、 3位司機和 3 位售票員，每輛車上需配 1位司機和 1位售票員 問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？分析： 可以把 3 輛車看成排了順序的三個空：，然后把 3 名司機和 3 名售票員分別填入因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題解：分兩步完成第一步，把3 名司機安排到 3 輛車中，有 A336 種安排方法；第二步把 3名售票員安排到3 輛車中，有A336 種安排方法故搭配方案共有A3

7、3A3336 種典型例題六2 / 9jiangshan 整理例 6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有4 所重點院校，每所院校有3 個專業(yè)是你較為滿意的選擇 若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)， 同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？學(xué)校專業(yè)112212312解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在4 所學(xué)校中選出3所并加排列，共有 A43 種不同的排法；第二步，從每所院校的3 個專業(yè)中選出2 個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有A2A2A2種綜合以上兩步，由分步計數(shù)333原理得不同的填表方法有： A43 A32 A32 A325184 種典型

8、例題七例 57 名同學(xué)排隊照相(1)若分成兩排照，前排3 人，后排 4 人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排 3 人，后排 4 人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照， 7 人中有 4 名男生， 3 名女生，女生不能相鄰， 有多少種不面的排法？解： (1)A73 A44A775040 種(2)第一步安排甲，有A31 種排法；第二步安排乙，有A41 種排法；第三步余下的5 人排在剩 下 的 5 個 位 置 上 ， 有 A55 種 排 法 ， 由 分 步 計 數(shù) 原 理 得 ， 符 合

9、 要 求 的 排 法 共 有A31 A41A551440 種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4 個元素排成一排，即看成5 個元素的全排列問題，有A55 種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有A33 種排法由分步計數(shù)原理得，共有A55A33720 種排法(4)第一步， 4 名男生全排列， 有 A44 種排法； 第二步， 女生插空， 即將 3 名女生插入 4 名男生之間的 5 個空位， 這樣可保證女生不相鄰， 易知有 A53 種插入方法 由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：A44 A531440 種3 / 9jiangshan 整理典型例題八例 8 從 2、3、4、5、6 五

10、個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和解：形如的數(shù)共有 A42 個，當(dāng)這些數(shù)相加時， 由“ 2”產(chǎn)生的和是 A422 ；形如的數(shù)也有 A42 個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“ 2 ”產(chǎn)生的和是 A422 10 ；形如的數(shù)也有 A42個，當(dāng)這些數(shù)相加時， 由“ 2 ”產(chǎn)生的和應(yīng)是 A422 100 這樣在所有三位數(shù)的和中，由“ 2 ”產(chǎn) 生 的 和 是 A422 111 同 理 由 3、4、5、6 產(chǎn) 生 的和 分 別 是 A423 111 ， A424 111 ，A42 5 111， A426 111，因此所有三位數(shù)的和是A42 111 (2 34 5 6)26640 典型例題九例

11、 9計算下列各題：(1)A152 ；(2)A66 ；(3)Anm11Annmm；Ann11(4)1!2 2!3 3!nn !(5)123n13!4 !n !2 !解： (1)A21514210 ； (2)A66 !6543 21 720 ;156(3)原式(n1) !(nm) !1(n1) !m) !1； n1(m1) !( n 1) !(n( n1m) !(n1) !(4)原式( 2 !1) (3! 2 ! )(4 !3 ! )( n1) ! n ! (n 1) !1；(5) n111， 123n1n !(n 1) !n !2 ! 3 ! 4 !n !1111111111! 2 ! 2 !

12、3! 3 ! 4 !(n 1 ) ! n !1n !本題計算中靈活地用到下列各式：n ! n(n 1) ! ； nn !( n 1) ! n ! ； n 111 ；使問題解得簡單、 快捷n !(n 1) !n !4 / 9jiangshan 整理典型例題十例 10 a , b , c , d , e , f 六人排一列 ，限定a 要排在 b 的前面（ a 與 b 可以相 ，也可以不相 ） ，求共有幾種排法 個 目，A 、 B 、 C 、 D 四位同學(xué)各自 出了一種算式： A 的算式是 1 A66 ； B 的算式是 ( A11A21A31A41A51 ) A44； C 的算式是 A64 ；2D

13、的算式是 C62A44 上面四個算式是否正確，正確的加以解 ，不正確的 明理由解： A 中很 然，“ a 在 b 前的六人 ”的排 數(shù)目與“b 在 a 前的六人 ”排 數(shù)目相等，而“六人 ”的排法數(shù)目 是 二者數(shù)目之和 表明：A 的算式正確B 中把六人排 件事劃分 a 占位， b 占位，其他四人占位 三個 段，然后用乘法求出 數(shù)，注意到a 占位的狀況決定了b 占位的方法數(shù)，第一 段，當(dāng)a 占據(jù)第一個位置 ， b 占位方法數(shù)是A51 ；當(dāng) a 占據(jù)第 2 個位置 ， b 占位的方法數(shù)是A14 ；當(dāng) a 占據(jù)第 5 個位置 ， b 占位的方法數(shù)是A11 ，當(dāng) a ， b 占位后， 再排其他四人，

14、他 有 A44 種排法，可 B 的算式是正確的C 中 A64 可理解 從6 個位置中 4 個位置 c , d , e , f 占據(jù)， ， 剩下的兩個位置依前后 序 是a , b 的因此 C 的算式也正確D 中把 6 個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)C 62， 兩個位置 a , b 占據(jù)， 然， a , b占據(jù) 兩個圈定的位置的方法只有一種（a 要在 b 的前面）， ，再排其余四人，又有 A44種排法，可 D 的算式是 的D 的解法 明： 下一 合學(xué)完后，可回 來學(xué) 典型例題十一例 11 八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必 坐在前排，乙、丙必 坐在同一排，共有多少種安排 法？解法 1：可分 “乙、丙

15、坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩 情況 當(dāng)使用加法原理，在每 情況下，劃分“乙丙坐下” 、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步 ，又要用到分步 數(shù)原理， 可有如下算法：A42A21A55A42A14A558 640 (種 )解法 2：采取“ 方法數(shù)減去不命 意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“ 方法數(shù)”， 個數(shù)目是A41A77 在 種前提下，不合 意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法” 個數(shù)目是A14 C21 A31 A41 A55 其中第一個因數(shù)5 / 9jiangshan 整理A14 表示甲坐在第一排的方法數(shù)，C 1

16、2 表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，A13 表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個A41 則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，A55 就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為A14 A77A41 C12 A31 A14A558 640 (種 )說明： 解法 2 可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)典型例題十二例 12 計劃在某畫廊展出 10 幅不同的畫，其中1 幅水彩畫、 4 幅油畫、 5 幅國畫，排成一行陳列， 要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）A A44 A55B A33 A44 A55C C 31 A44 A55D A22 A44 A5

17、5解： 將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A22 種排列但 4幅油畫、 5 幅國畫本身還有排列順序要求所以共有A22 A44A55 種陳列方式應(yīng)選 D說明： 關(guān)于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁” ，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題典型例題十三例 13 由數(shù)字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）A 210B 300C 464D 600解法 1：

18、（直接法）：分別用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 作十萬位的排列數(shù)，共有 5A55 種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有15 A55300個2解法 2：（間接法）：取 0 ,1 , , 5 個數(shù)字排列有A66 ，而 0 作為十萬位的排列有A55 ，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有1 ( A66A55 ) 300 (個) 2應(yīng)選 B 說明： (1) 直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時使用直接法或6 / 9jiangshan 整理間接法要視問題而定， 有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩， 這時應(yīng)考慮能否用間接法來解(2) “個位數(shù)字小于

19、十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多， 即各占全部六位數(shù)的一半， 同類問題還有 6 個人排隊照像時， 甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法典型例題十四例 14 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)， 其中偶數(shù)共有（）A 24 個B 30 個C 40 個D 60 個分析： 本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷解法 1：分類計算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2 作個位數(shù)，共有A42 個，另一類是 4 作個位數(shù)，也有 A42個因此符合條件的偶數(shù)共有

20、A42A4224 個解法 2：分步計算先排個位數(shù)字， 有 A12 種排法， 再排十位和百位數(shù)字，有 A42 種排法， 根據(jù)分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有 A21 A4224 個解法 3：按概率算用 1 5 這 5 個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A360 個，其中偶點其中的52 因此三位偶數(shù)共有60 224 個55解法 4：利用選擇項判斷用 1 5 這 5 個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A5360 個其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于30 個，四個選擇項所提供的答案中，只有A 符合條件應(yīng)選 A 典型例題十五例 15 (1) 計算A112A223A338 A88(2)求 Sn1!

21、2 ! 3!n ! ( n10 )的個位數(shù)字分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運算上比較困難， 現(xiàn)在我們可以從和式中項的 特 點 以 及 排 列 數(shù) 公 式 的 特 點 兩方 面 考 慮 在 (1) 中 ， 項 可 抽 象 為nAnn(n 1 1) Ann( n1) AnnnAnnAnn11Ann，(2)中，項為7 / 9jiangshan 整理n ! n(n 1)( n 2)3 2 1 ，當(dāng) n5 時，乘積中出現(xiàn)5 和 2，積的個位數(shù)為0，在加法運算中可不考慮解： (1)由 nAn(n1) !n !n原式2 ! 1!3!2 !9!8 ! 9 !1!362879 (2)當(dāng) n5 時， n

22、!n(n1)( n2)3 2 1的個位數(shù)為 0， Sn1!2 !3!n ! ( n 10)的個位數(shù)字與1! 2 ! 3 ! 4 ! 的個位數(shù)字相同而 1!2 !3 !4 !33 ， Sn 的個位數(shù)字為3說明： 對排列數(shù)公式特點的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證：123n112!3!4 !(n1) !(n，我們首先可抓等式右邊的1) !nn1 1n 1111，(n 1) !( n 1) !(n 1) !( n 1) !n !(n 1) !左邊111111112!2!3!n !( n 1) !右邊( n 1) !典型例題十六例 16 用 0 、1、2 、3 、4 、5 共六個數(shù)字， 組成無

23、重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1) 可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的3 位偶數(shù)？ (2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被3 整除的三位數(shù)？分析： 3 位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0 ，由于個位用或者不用數(shù)字0 ，對確定首位數(shù)字有影響， 所以需要就個位數(shù)字用0 或者用 2、4 進(jìn)行分類 一個自然數(shù)能被3 整除的條件是所有數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0 進(jìn)行分類解： (1)就個位用0 還是用 2 、4 分成兩類，個位用0 ，其它兩位從1、2 、3、4 中任取兩數(shù) 排 列 ， 共 有 A4212 ( 個 ) ， 個 位 用 2 或 4 ， 再 確 定 首

24、 位 ， 最 后 確 定 十 位 ， 共 有2 4 4 32( 個 )，所有 3 位偶數(shù)的總數(shù)為：12 32 44 (個 )(2) 從 0 、1、2 、3、4 、5 中取出和為3 的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：( 0 12) 、(0 1 5) 、 (024) 、 (04 5) 、 (1 23) 、 (1 3 5) 、 (23 4)、 (3 45)，前四組中有 0 ，后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4 組，共有 42 A2216 (個 ) ，如果用后8 / 9jiangshan 整理四 ，共有 4A3324 ( 個 )，所有被 3 整除的三位數(shù)的 數(shù) 162440 (個 ) 典型例題十七例 17 一條 椅上有 7 個座位，