1、1,第五章 乃氏穩(wěn)定性分析,2,主 要 內(nèi) 容 幅角定理 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈氏穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 在伯德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。它從代數(shù)判據(jù)脫穎而出，故可以說是一種幾何判據(jù)。,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是(H.Nyquist)于1932年提出，于1940年后得到廣泛應(yīng)用。,5.4奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù),3,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)無需求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，而是利用,曲線，進(jìn)而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在工程上獲得了廣泛的應(yīng)

2、用：,1）系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)無法用分析法列寫時(shí)，可用實(shí)驗(yàn)方法獲得這些環(huán)節(jié)的頻率特性；整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性也可用實(shí)驗(yàn)獲得，這樣就可分析閉環(huán)后的穩(wěn)定性。,2）奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲(chǔ)備，即系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性以及進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的途徑。,4,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion)原理,圖5-4-1 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,閉環(huán)傳遞函數(shù),為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程,的全部根，都必須位于左半s平面。,雖然開環(huán)傳遞函數(shù) 的極點(diǎn)或零點(diǎn)可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,5,奈奎斯

3、特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng),與閉環(huán)特征方程,在右半s平面內(nèi)極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)，這種方法無須求出閉環(huán)極點(diǎn)，從而得到廣泛應(yīng)用。,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形映射基礎(chǔ)上的 。,6,5.4.1 預(yù)備知識(shí),可以證明，對(duì)于S平面上給定的一條不通過 任何一個(gè)奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線，在 平面上必存在一條封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。,平面上的原點(diǎn)被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍原點(diǎn)的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。,例如：考慮下列開環(huán)傳遞函數(shù)：,7,其特征方程為：,函數(shù),在s平面內(nèi)除了奇點(diǎn)外處處解析。對(duì)于s平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，,平面上必有一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng),，則,為：

4、,這樣，對(duì)于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點(diǎn)，在,平面上就必有一個(gè)封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。,例如,8,圖5-4-2 s平面上的圖形在 平面上的映射,上半s平面內(nèi)的直線,和,在,平面上的變換,9,0,0,1）當(dāng)s平面上的圖形包圍兩個(gè),的極點(diǎn)時(shí)，-1和-2,的軌跡將反時(shí)針方向包圍,平面上原點(diǎn)兩次,10,0,0,2） s平面上的圖形包圍包圍一個(gè)零點(diǎn)， 相應(yīng)的的軌跡將順時(shí)針包圍原點(diǎn)一次，,3）封閉曲線既不包圍零點(diǎn)又不包圍極點(diǎn)，,的軌跡將永遠(yuǎn),不會(huì)包圍 平面上的原點(diǎn),11,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,4）當(dāng)s平面上的圖形包圍,的兩個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，,的軌跡將不包

5、圍原點(diǎn)。,相應(yīng)的,12,5）如果在s平面上曲線包圍 k個(gè)零點(diǎn)和k個(gè)極點(diǎn),相應(yīng)的封閉曲線不包圍,上述討論是映射定理的圖解說明，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是建立在映射定理的基礎(chǔ)上。,(k=0,1,2)，即包圍的零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同，則在,平面上，,平面上，,的原點(diǎn)。,13,5.4.2映射定理,設(shè),為兩個(gè)s的多項(xiàng)式之比，并設(shè)P為,的極點(diǎn)數(shù)，,的零點(diǎn)數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi)，,的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)。于是，s平面上的這一,平面上，也是一條封閉曲線。,平面上，相應(yīng)的軌跡順時(shí)針包圍原點(diǎn)的總次數(shù),R等于Z-P。,且有多重極點(diǎn)和多重零點(diǎn)的情況。設(shè)上述封閉曲線不,在,Z為,封閉曲線映射到,通過,當(dāng)變量s順時(shí)針通過封

6、閉曲線時(shí),14,若R為正數(shù)，表示,的零點(diǎn)數(shù)超過了極點(diǎn)數(shù)；,的極點(diǎn)數(shù)超過了零點(diǎn)數(shù)。,若R為負(fù)數(shù)，表示,開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系：,開環(huán)傳遞函數(shù),的含義：,15,很容易確定,的極點(diǎn)數(shù)（P ）。因此，如果，,的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點(diǎn)數(shù),在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由,很容易確定。而,零點(diǎn)正是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。,閉環(huán)傳遞函數(shù),16,5.4.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用,為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個(gè)右半s平面。這時(shí)的封閉曲線由整個(gè),軸,到,該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向)。因?yàn)槟慰固剀壽E包圍了整個(gè)右半s平面，所以它包圍了,)和

7、右半s平面上半徑為無窮大的,的所有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn)。,(從,半圓軌跡構(gòu)成。,17,對(duì)原點(diǎn)的包圍情況可用,對(duì)-1+j0包圍情況同樣說明。,說明：,則在右半s平面不存在閉環(huán)極點(diǎn)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,如果,在右半s平面不存在零點(diǎn)，,18,圖5-4-3 s平面內(nèi)的封閉曲線,曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍，恰等于,軌跡對(duì)-1+j0點(diǎn)的包圍,19,這一判據(jù)可表示為：,函數(shù),在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù),對(duì)-1+j0點(diǎn)順時(shí)針包圍的次數(shù),函數(shù),如果P不等于零，對(duì)于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須,或,，這意味著必須反時(shí)針方向包圍-1+j0點(diǎn)P次。,5.4.4關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點(diǎn)說明,式中,在右半s平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù),如果函數(shù),在右半s平

8、面內(nèi)無任何極點(diǎn)，則,因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，,的軌跡必須不包圍-1+j0點(diǎn)。,20,5.4.5,含有位于原點(diǎn)上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況,變量,沿著,軸從,運(yùn)動(dòng)到,，從,到,，變量,沿著半徑為,）的半圓運(yùn)動(dòng)，再沿著正,軸從,運(yùn)動(dòng)到,（,運(yùn)動(dòng)時(shí),，最后順時(shí)針沿?zé)o窮大半圓運(yùn)動(dòng)。,21,對(duì)于包含因子,的開環(huán)傳遞函數(shù),，當(dāng)變量s沿半徑為,(,)的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，,的圖形中將有,個(gè)半徑為無窮大的順時(shí)針方向的半圓環(huán)繞原點(diǎn)。,當(dāng)s平面上的,時(shí)，,的相角,例如，考慮開環(huán)傳遞函數(shù)：,22,例5-3 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,的軌跡如圖5-41所示。,在右半s平面內(nèi)沒有任何極點(diǎn)，即P=0，并且,的軌跡不包圍,，所以

9、對(duì)于任何的K值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,Z=R+P=0+0=0,，即R=0,23,例5-3中的,極坐標(biāo)圖,24,例5-4 設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：,試確定以下兩種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小 增益K較大。,小K值時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,大K值時(shí)是不穩(wěn)定的,25,例5-5 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于,和,相對(duì)大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,的軌跡不包圍,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,的軌跡通過,這表明閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上,1）,2）,點(diǎn)，,26,的軌跡順時(shí)針方向包圍,點(diǎn)兩次，因此系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,3）,27,例5-6 設(shè)一個(gè)系統(tǒng)具有下列,試

10、確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,開環(huán)傳遞函數(shù)：,在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn),)，因此,圖5-44中的奈奎斯特圖表明，,軌跡順時(shí)針方向包圍,點(diǎn)一次，,因此,在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,(,。這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn),28,例5-7 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)： 試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,極坐標(biāo)圖,在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn),)，因此。開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,軌跡逆時(shí)針方向包圍,點(diǎn)一次，因此，,因?yàn)?，這說明,這是一個(gè)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。,(,沒有零點(diǎn)位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,29,解：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為 ，圓心在 的圓。顯然，k=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,由圖中看出：當(dāng)k1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1,j0)點(diǎn)一圈，R=-1，而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)