1、第九章 梁的彎曲,9.1 工程中梁彎曲的概念,梁平面彎曲的概念,以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形 或簡稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。,當(dāng)梁上所有外力均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，變形后的梁軸線也仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這種在變形后梁的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為 平面彎曲。,9.1.2單跨靜定梁的類型 梁的約束反力能用靜力平衡條件完全確定的梁，稱為靜定梁。根據(jù)約束情況的不同，單跨靜定梁可分為以下三種常見形式： (1)簡支梁。梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座。 (2) 懸臂梁。梁的一端固定，另一端自由。 (3) 外伸梁。簡支梁的一端或兩端伸出支座之外。,9.2 梁的內(nèi)力

2、剪力和彎矩,9.2.1梁的剪力和彎矩,梁在外力作用下，其任一 橫截面上的內(nèi)力可用截面 法來確定。現(xiàn)分析距A端 為x處橫截面m-m上的內(nèi) 力。如果取左段為研究 對象，則右段梁對左段梁 的作用以截開面上的內(nèi)力 來代替。存在兩個內(nèi)力 分量：內(nèi)力FQ與截面相 切，稱為剪力， 內(nèi)力偶矩M稱為彎矩，,9.2.2剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定,即微段有左端向上而右端向下的相對錯動時， 橫截面上的剪力FQ為正號，反之為負(fù)號。,當(dāng)微段的彎曲為向下凸即該微段的下側(cè)受拉時， 橫截面上的彎矩為正號，反之為負(fù)號。,9.2.3計算指定截面上的剪力和彎矩,例題9.1 外伸梁受荷載作用，圖中截面1-l和2-2 都無限接近于截面A，截

3、面3-3和4-4也都無限接 近于截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。,解：1.根據(jù)平衡條件求約束反力,2.求截面1-1的內(nèi)力,3.求截面2-2的內(nèi)力,4.求截面3-3的內(nèi)力,5.求截面4-4的內(nèi)力,比較截面1-1和2-2的內(nèi)力發(fā)現(xiàn)說在集中力的兩側(cè) 截面剪力發(fā)生了突變，突變值等該集中力的值。,比較截面3-3和4-4的內(nèi)力在集中力偶兩側(cè)橫截面 上剪力相同，而彎矩突變值就等于集中力偶矩。,梁的內(nèi)力計算的兩個規(guī)律：,（1）梁橫截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在與截面平行方向投影的代數(shù)和。即：,若外力使選取研究對象繞所求截面產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢時，等式右邊取正號；反之，取負(fù)

4、號。此規(guī)律可簡化記為“順轉(zhuǎn)剪力為正”，或“左上，右下剪力為正”。相反為負(fù)。,（2）橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于截面一側(cè) （左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心O的力 矩的代數(shù)和。即：,若外力或外力偶矩使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形(即上部受壓，下部受拉)時，等式右方取正號，反之，取負(fù)號。此規(guī)律可簡化記為“下凸彎矩正” 或“左順，右逆彎矩正” ，相反為負(fù)。,例題9.2 一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。,解：1.根據(jù)平衡條件求出約束力反力,2.求指定截面上的剪力和彎矩,截面C：根據(jù)截面左側(cè)梁上的外力得：,截面B左、B右：取右側(cè)梁計算，得：,在集中力作用截面

5、處，應(yīng)分左、右截面計算剪力；,在集中力偶作用截面處，也應(yīng)分左、右截面計算彎矩。,9.3 梁的內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖,9.3.1 剪力方程和彎矩方程,在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可 以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，,FQ=FQ (x),M=M(x),梁的剪力方程,梁的彎矩方程,9.3.2剪力圖和彎矩圖,以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示FQ (x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱FQ圖和M圖。繪圖時一般規(guī)定正號的剪力畫在x軸的上側(cè)，負(fù)號的剪力畫在x軸的下側(cè)；正彎矩畫在x軸下側(cè)，負(fù)彎矩畫在x軸上側(cè)，即把彎矩畫在梁受拉的一側(cè)。

6、,例題9.3 圖所示，懸臂梁受集中力F作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖,解： 1.列剪力方程和彎矩方程,(0 xl ),(0 xl),2.作剪力圖和彎矩圖,由剪力圖和彎矩圖可知：,例題9.4 簡支梁受均布荷載作用，如圖示， 作此梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力由對稱關(guān)系，可得：,最大剪力發(fā)生在梁端，其值為FQ,max=,2.列剪力方程和彎矩方程,3.作剪應(yīng)力圖和彎矩圖,最大彎矩發(fā)生在跨中，它的數(shù)值為Mmax,例題9.5 簡支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力,2.列剪力方程和彎矩方程,（0xa）,(0 xa),AC段：,例題9.6 簡支梁受集中力偶作用，如圖

7、示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力,2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程,AB段：,（0xl）,CB段：,(axl),(0 xl),3.作剪力圖和彎矩圖,CB段：,(axl),AC段：,(0 xa),3.繪出剪力圖和彎矩圖,例題9.6 簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力,2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程,AB段：,（0xl）,CB段：,(axl),(0 xl),3.作剪力圖和彎矩圖,9.4.1 分布荷載集度與剪力、 彎矩 (q與FQ、M)之間的微分關(guān)系,9.4 彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系,微段的平衡，得,彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。,二

8、階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可用來判定曲線的凹凸向，,若q(x)0,彎矩為上凸曲線， 彎矩圖的凹凸方向與q(x)指向一致.,9.4.2 常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關(guān)系,1.剪力圖與荷載的關(guān)系,(1)在均布荷載作用的區(qū)段，當(dāng)x坐標(biāo)自左向右取時， 若q(x)方向向下，則FQ圖為下斜直線； 若q(x)方向向上，F(xiàn)Q圖為上斜直線。,剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)位置處的荷載集度；,(2)無荷載作用區(qū)段，即q(x)=0， FQ圖為平行x軸的直線。 (3)在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變方向與外 力一致，且突變的數(shù)值等于該集中力的大小。 (4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQ圖 是連續(xù)無變化。,2.彎矩圖

9、與荷載的關(guān)系,在均布荷載作用的區(qū)段，M圖為拋物線。,(2)當(dāng)q(x)朝下時，,M圖為上凹下凸。,當(dāng)q(x)朝上時，,M圖為上凸下凹。,(3) 在集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力 向下，則M圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。,(4) 在集中力偶作用處，M圖產(chǎn)生突變，順時針 方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之， 由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。,(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于 該截面上的剪力。 (2) 當(dāng)FQ圖為斜直線時，對應(yīng)梁段的M圖為二次 拋物線。當(dāng)FQ圖為平行于x軸的直線時， M圖為斜直線。,3. 彎矩圖與剪力圖的關(guān)系,(3) 剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，

10、彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。 左右剪力有不同正、負(fù)號的截面，彎矩也具有極值。,解： 1. 求約束反力,例題9.7 簡支梁如圖所示， 試用荷載集度、剪力和彎 矩間的微分關(guān)系作此梁的 剪力圖和彎矩圖。,2. 畫FQ圖,各控制點(diǎn)處的FQ值如下：,FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN 10kN=5kN FQD=5kN F QB左=15kN,3. 畫M圖,MA = 0, MC =15kN2m=30 kN.m MD = 15kN4m10kN2m=40kN.m MD右= 15kN4m5kN4m2m=20 kN.m MB=0,例題9.8 一外伸梁如圖示。試用荷載集度、 剪力

11、和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的FQ、M圖。,解：1.求約束力,2.畫內(nèi)力圖,(1)剪力圖,ACB段：,FQA右=FQC=FQB左=5kN,FQ圖為一水平直線,BD段：FQ圖為右下斜直線。,FQB右=4kN/m2m=8kN，F(xiàn)QD=0,作梁的剪力圖,(2) 彎矩圖,AC段：FQ0，故M圖為一右上斜直線,MA=0，MC左=5kN2m=10kN.m,CB段：,FQ0,故M圖為一右上斜直線， 在C處彎矩有突變。,MC右=5kN2m+12kN.m MB=4kN/m2m1m=8kN.m,BD段：,段內(nèi)有向下均布荷載，M圖為下凸拋物線，,MB=8KN.m，ME=410.5=2KN.m, MD=0,9.5 用疊加

12、法作梁的彎矩圖,疊加法是先求出單個荷載作用下的內(nèi)力 （剪力和彎矩），然后將對應(yīng)位置的內(nèi)力相加， 即得到幾個荷載共同作用下的內(nèi)力的方法。,例題9.9 簡支梁所受荷載如圖，試用疊加法作M圖。,解：1. 荷載分解,2. 作分解荷載的彎矩圖,3. 疊加作力偶和均布荷載共同作用下的彎矩圖,注意：彎矩圖的疊加，不是兩個圖形的簡單疊加，而是對應(yīng)點(diǎn)處縱坐標(biāo)的相加。,9.6 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論,9.6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是研究通過受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)的 各個不同截面上的應(yīng)力情況。,應(yīng)力狀態(tài)分為空間應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)力狀態(tài)。 全部應(yīng)力位于同一平面內(nèi)時，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)； 全部應(yīng)力不在同一平面內(nèi)，在空間分

13、布， 稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng)力狀態(tài)分類：,在三對相互垂直的相對面上剪應(yīng)力等于零， 而只有正應(yīng)力。這樣的單元體稱為主單元體， 這樣的單元體面稱主平面。主平面上的正應(yīng)力 稱主應(yīng)力。 通常按數(shù)值排列，用字母1、2和 3分別表示。,主應(yīng)力、主平面：,應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類：,（1）單向應(yīng)力狀態(tài)。在三個相對面上三個主應(yīng)力中只有一個主應(yīng)力不等于零。,（2）雙向應(yīng)力狀態(tài)。在三個相對面上三個主應(yīng)力中有兩個主應(yīng)力不等于零。,（3）三向應(yīng)力狀態(tài)。其三個主應(yīng)力都不等于零。 例如列車車輪與鋼軌接觸處附近的材料就是處在 三向應(yīng)力狀態(tài)下，,9.6.2 強(qiáng)度理論,1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）：,理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起

14、斷裂的主要因素 。,最大拉應(yīng)力1達(dá)到該材料在簡單拉伸時最大拉 應(yīng)力的危險值材料引起斷裂。,其強(qiáng)度條件為： 1,理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材 料受軸向壓縮時，沿縱向發(fā)生的斷裂破壞。,2、最大伸長線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)：,理論認(rèn)為最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。,拉斷時伸長線應(yīng)變的極限值為,斷裂準(zhǔn)則為：,第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：,理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時的斷裂破壞。,3、最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）,理論認(rèn)為最大剪應(yīng)力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪應(yīng)力max達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。,單向拉伸下，當(dāng)與軸線成45。的斜截面上的,max=,s/2時,任意應(yīng)力狀態(tài)下,屈服準(zhǔn)則：,第三強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件為：,4、形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)：,第四強(qiáng)度理論認(rèn)為： 形狀改變比能是引起塑性屈服的主要因素。,單向拉伸時， 的形狀改變比能。,就是導(dǎo)致屈服的形狀改變比能的極限值。,在機(jī)械和鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中常用此理論。,形狀改變比能屈服準(zhǔn)則為：,在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，單元體的形狀改變比能為:,整理后得屈服準(zhǔn)則為：,按第四強(qiáng)度理論得到其強(qiáng)度條件為：,5、莫爾強(qiáng)度理論,莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。 綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素,把一點(diǎn)處材料破壞時的最