1、參 數(shù) 估 計,問題的提出:,點估計,區(qū)間估計,參數(shù)估計,總體X的分布形式已知，未知的只是分布中的參數(shù)，要估計的只是參數(shù)或參數(shù)的某一函數(shù)。,總體X的估計有兩類：,一、參數(shù)估計,二、非參數(shù)估計,總體X的分布形式未知，要估計的是總體的分布形式。,從總體 X 中抽取樣本(X1, X2, , X n ),參數(shù)的 估計量,參數(shù)的 估計值,設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x, ), 未知， 的取值 范圍稱為 參數(shù)空間 。記作 ?，F(xiàn)估計 。步驟如下：,構(gòu)造點估計的估計量的具體方法有多種，在此，介紹兩種方法。,一、矩估計法,矩估計法的思想是：用樣本的各階矩去估計總體相應(yīng)的各階矩， 而總體各階矩都是總體分布中未知參數(shù)的

2、函數(shù)，從而，通過估計 總體矩來達到估計總體分布中未知參數(shù)的目的。,設(shè)總體分布為F(x,1, 2 ,k), i未知，樣本(X1, X2, , X n ) 來自總體 X，計算,解未知量 1, 2 ,k,稱為參數(shù)1, 2 ,k的矩估計量。,5.1 參數(shù)的點估計,例2：設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來自總體 XN( , 2)， 求 與 2 的矩估計量。,解：,例1：設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來自總體 X，且總體的均值 未知， 求 的矩估計量。,解：,總體 X 的均值 矩估計量為一階樣本原點矩,例3：設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來自總體 XP( )， 求 的矩估計量。,解：

3、,另一方面：EX2 = DX + (EX)2 = + 2 ，所以：,此例說明：矩估計可以不唯一。 此時，一般取低階矩得到的那一個。,一階樣本原點矩作為 的矩估計量,例4：設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來自總體 X，X服從1, 2上的 均勻分布，求1和 2 的矩估計量。,另見書例5.10、5.11,由,解得,EX2 = DX + (EX)2,解：這是兩個參數(shù)的矩估計問題。,思想：,進行一次具體的抽樣之后， (X1, X2, , X n ) 得到一組觀察值 (x1, x2, , x n )。,設(shè)總體分布(以離散型為例)為P(X=x)=F(x,1, 2 ,k), （1, 2 ,k )未知，樣

4、本(X1, X2, , X n )來自總體 X， 則樣本(X1, X2, , X n )的概率分布函數(shù)為：,為（1, 2 ,k )的函數(shù)。因為(x1, x2, , x n )在一次觀察中就出現(xiàn)了，應(yīng)出現(xiàn)在概率最大的地方。即求函數(shù),取得最大值的最大值點，以此作為（1, 2 ,k )的估計。,二、極大似然估計,極大似然估計基本思想：,找出使樣本觀察值出現(xiàn)的概率為最大的參數(shù)值，將它作為未知參數(shù)的估計值。,1、極大似然估計（離散型總體）,試求參數(shù)p的極大似然估計量,故似然函數(shù)為,例1：,故似然函數(shù)為,例2：,2、極大似然估計（連續(xù)型總體）,似然函數(shù)為：,例3：,例4：,例5：,例6：,極大似然法求估計

5、量的步驟：(一般情況下),說明：若似然方程（組）無解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)， 此法失效，改用其它方法。,例7：,方程組無解,5.2 點估計的優(yōu)良性準則,我們知道，一個未知參數(shù)的估計量可能不止 一個。究竟采用哪個為好呢？這就涉及到用什么 標準來評價估計量的問題。我們介紹三個常用的 標準： 1）無偏性； 2）有效性； 3）一致性。,一、無偏性,根據(jù)樣本推得的估計值與真值可能不同， 然而，如果有一系列 抽樣構(gòu)成各個估計，很合理地會要求這些估計的期望值與未知參數(shù) 的真值相等，它的直觀意義是樣本估計量的數(shù)值在參數(shù)的真值周圍 擺動，而無誤差，這就是估計量的無偏性。,定義5.2：如果對一切 ，有,這個結(jié)論與總體

6、的分布類型沒有關(guān)系。只要總體期望存在， 樣本均值總是它的無偏估計。,證：,例：設(shè)總體X 有期望 EX= 與方差 DX= 2， 與 2 都未知。 樣本(X1, X2, , X n)來自 X，試證： (1) 樣本方差S2是 2的無偏估計； (2) 樣本標準差S不是標準差 的無偏估計； (3) B2不是 2的無偏估計。,證：(1) 由定理知： ES2= 2,(2) DS=ES2 - (ES)2= 2 - (ES)2,(3) 因,二、無偏估計的有效性,一般地，未知參數(shù) 的無偏估計量往往不止一個， 在這些估計量中，當然是取值對于 的離散程度越小的 越好，即方差越小的越好。,定義5.3：,解：DX1=DX

7、= 2,解：所謂線性估計是指,為樣本的線性函數(shù)。,三、一致性（相合性）,例：,區(qū)間估計:,點估計：用樣本算出的估計值估計總體的未知參數(shù),可靠度： 要求區(qū)間以很大的可能性包含 即：,精度： 估計的精度要盡可能高, 即 區(qū)間的長度要盡可能小, 或 能體現(xiàn)此要求的其它準則。,在保證可靠度的條件下，盡量提高精度,可靠度和精度要統(tǒng)籌兼顧,5.3 區(qū)間估計,通常，置信系數(shù)（可靠性）采用 0.95, 0.99, 0.90 等值。,一、區(qū)間估計的基本概念,標準正態(tài)分布的臨界值（ 分位點）,二、樞軸變量法,(1) 找與有關(guān)的統(tǒng)計量 T (一般T是 的點估計),(2)找一個函數(shù) I=I(T, ), I 的分布F與

8、 無關(guān)( I(T, )為樞軸變量),(3)對給定的 1- ，找到F 的上分位點 和,三、正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計（樞軸變量法）,1、均值 的區(qū)間估計,(1) 2已知,設(shè)總體X N( , 2)，樣本 (X1, X2, , Xn) 來自總體X 。,所以 的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：,樞軸變量為,(2) 2未知,所以 的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：,樞軸變量為,例1：從大批燈泡中隨機地抽取5個,測得壽命為(單位: 小時)： 1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定燈泡壽命XN( , 9)， 求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計 （ = 0.05）。,解：方差 2=9已知，利用公式：

9、,P(1727.37 1732.63)=0.95,注,例2 ：從大批燈泡中隨機地抽取5個,測得壽命為(單位: 小時)： 1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定燈泡壽命XN( , 2)， 求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計 （ = 0.05）。,解：方差 2未知，利用公式：,2、方差的區(qū)間估計,(1) 已知, 2 的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計為：,樞軸變量為,(2) 未知, 2 的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計為：,樞軸變量為,查 2 分布表得 20.025(5)=12.833， 20.975(5)=0.831。 所以，得方差的區(qū)間估計為 0.055 , 0.842。,例3：對某塔的高

10、度進行了 5 次測量，數(shù)據(jù)（單位：米）如下： 90.5, 90.4, 89.7, 89.6, 90.2，設(shè)測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布， 求方差的區(qū)間估計（ = 0.05）。 (1) 假設(shè)塔的真實高度為 90米。 (2) 假設(shè)塔的真實高度未知。,解：(1) 利用公式：,計算得：,(2) 利用公式：,計算得：,查2分布表得 20.025(4)=11.143， 20.975(4)=0.484。 所以，得方差的區(qū)間估計為 0.060 , 1.380。,1、均值差 1 -2的區(qū)間估計,(1) 12 , , 22都已知,令樞軸變量為,所以 1 -2的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：,解：由 = 0.1，查標準正態(tài)分

11、布表得 U/2=U0.05=1.645 因 n1=10，n2=12, 12=25, 22 =36，所以，,例1：設(shè)自總體XN(1 ,25)得到一容量為10的樣本，其樣本均值 ，自總體YN(1 ,36)得到一容量為12的樣本， 其樣本均值 , 并且兩樣本 相互獨立, 求 1 -2的置信區(qū)間（ = 0.1）。,得 1 -2的置信區(qū)間為 -8.06,-0.34。,(2) 12 ,=22= 2 ,但2未知,令樞軸變量為 定理（5.10）,所以 1 -2的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：,解：由抽樣的隨機性可推知樣本燈泡相互獨立，又因為它們的 總體方差相等，所以由,得 1 - 2的置信區(qū)間為 -36.53,

12、76.53。,例2：為比較A,B兩種型號燈泡的壽命， 隨機抽取A型燈泡5只， 測得 ，標準差SA=28小時，隨機抽取B型燈泡5只， 測得 ，標準差SB=32小時，設(shè)總體都是正態(tài)的， 并且由生產(chǎn)過程知它們的方差相等. 求 1 -2 的置信區(qū)間（ = 0.01）,因 n1=5，n2=7, SA=28, SB =32,而 = 0.01，查t-分布表得 t/2(10)= t0.005(10 )= 3.169 , ， 所以,令樞軸變量為,2、兩個正態(tài)總體方差比 的區(qū)間估計,所以方差比 的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間為,例3：兩正態(tài)總體XN(1 ,12)和YN(2 ,22)的參數(shù)均未知，依次取 容量為25 ，15的兩獨立樣本，測得 ，樣