1、圖形變換,本講內(nèi)容,齊次坐標(biāo)表示法 常見的二維圖形幾何變換 平移變換 比例變換 旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換 錯(cuò)切變換 變換矩陣的功能分區(qū) 圖形的復(fù)合變換,2,圖形變換,指將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形 坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)（幾何變換） 圖形不動(dòng)而坐標(biāo)系變動(dòng)（坐標(biāo)變換） 幾何變換通常是以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，即對圖形對象的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變換；但作為線框圖形，可以取一系列頂點(diǎn)作幾何變換，連接新的頂點(diǎn)序列即可產(chǎn)生變換后的新圖形 圖形的拓?fù)潢P(guān)系不變,3,本講內(nèi)容,齊次坐標(biāo)表示法 常見的二維圖形幾何變換 平移變換 比例變換 旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換 錯(cuò)切變換 變換矩陣的功能分區(qū) 圖形的復(fù)合變換,4,齊次坐標(biāo)表示法,將

2、一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量表示 一個(gè)向量的齊次表示不是唯一的 當(dāng)齊次坐標(biāo)的h為1時(shí)，稱為規(guī)范化齊次方程,5,齊次坐標(biāo)表示法,二維齊次坐標(biāo)在三維空間中,6,齊次坐標(biāo)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn),齊次坐標(biāo)可以表達(dá)無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 對于h=0的齊次坐標(biāo)表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如(a,b,0)表示ay=bx直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 采用齊次坐標(biāo)可以統(tǒng)一圖形變換的運(yùn)算形式 圖形變換統(tǒng)一為圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩陣相乘的單一形式 將平移轉(zhuǎn)換成矩陣乘法運(yùn)算,7,本講內(nèi)容,齊次坐標(biāo)表示法 常見的二維圖形幾何變換 平移變換 比例變換 旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換 錯(cuò)切變換 變換矩陣的功能分區(qū) 圖形的復(fù)合變換,8,二維圖形幾何變換的齊次表示法,

3、9,一個(gè)圖形的點(diǎn)集,齊次表示法,矩陣,圖形幾何變換表示：,幾種常見的二維圖形幾何變換,平移變換 縮放變換 旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換 錯(cuò)切變換,10,平移變換（Translation）,指不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛性變換 Tx平行于x軸的方向上的移動(dòng)量 Ty平行于y軸的方向上的移動(dòng)量,11,x,平移變換的齊次坐標(biāo)表示,平移變換的處理由原本的加法變?yōu)榱司仃嚦朔?線性幾何變換-矩陣乘法 從而與其余四種幾何變換運(yùn)算方式相統(tǒng)一,12,平移矩陣：,簡寫為：,縮放變換（Scaling）,指圖形相對于坐標(biāo)原點(diǎn)，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換 Sx平行于x軸的方向上的縮放量 Sy平行于y軸的方向上的縮放量,1

4、3,相對于原點(diǎn)的比例變換,縮放變換的齊次坐標(biāo)表示,14,比例矩陣：,簡寫為：,縮放變換的性質(zhì),當(dāng)Sx=Sy時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似 當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)，圖形不變，稱為恒等變換 當(dāng)Sx=Sy1時(shí)，圖形將均勻放大，并遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng)0 Sx=Sy1時(shí)，圖形將均勻縮小，并靠近坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng)SxSy時(shí)，圖形沿坐標(biāo)軸方向作非均勻縮放發(fā)生形變（如正方形變?yōu)殚L方形、圓形變?yōu)闄E圓） 當(dāng)Sx0時(shí)或Sy0時(shí)，圖形不僅大小發(fā)生變化，而且將相對于y軸、x軸或原點(diǎn)作對稱變換,15,16,y,x,y,x,y,x,整體比例變換,整體比例變換，比例系數(shù)為1/S 當(dāng)01時(shí)，圖形等比例縮小 當(dāng)S0時(shí)，為等比例變換再加上對

5、原點(diǎn)的對稱變換,17,整體比例矩陣：,旋轉(zhuǎn)變換,18,x,兩式合并可得：,指將圖形圍繞圓心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的變換（規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎?旋轉(zhuǎn)變換,旋轉(zhuǎn)變換,新坐標(biāo)軸方向 x軸: y軸: P在新坐標(biāo)軸上的投影 =P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo),19,x,y,x,y,旋轉(zhuǎn)變換的齊次坐標(biāo)表示,20,旋轉(zhuǎn)矩陣：,簡寫為：,對稱變換,指相對坐標(biāo)軸、原點(diǎn)、 線的對稱變換（反射變換）,21,相對于y軸對稱：,y,o,x,相對于x軸對稱：,相對于原點(diǎn)對稱（即中心對稱）,22,y,相對于直線y=x對稱,對稱變換,23,x,y,o,y=-x,相對于直線y=-x對稱,簡寫為：,錯(cuò)切變換（Shearing）,指用于產(chǎn)生彈性物體

6、的變形處理（剪切、錯(cuò)位或錯(cuò)移變換） 沿x軸方向關(guān)于y軸錯(cuò)切，即變換前后y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)呈線性變化 將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成角的傾斜線，而保持y坐標(biāo)不變。,25,x,26,沿 y 軸方向關(guān)于 x 軸錯(cuò)切，即變換前后x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)呈線性變化。,簡寫為：,本講內(nèi)容,齊次坐標(biāo)表示法 常見的二維圖形幾何變換 平移變換 比例變換 旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換 錯(cuò)切變換 變換矩陣的功能分區(qū) 圖形的復(fù)合變換,27,變換矩陣的功能分區(qū),變換矩陣可用33矩陣來描述 左上角的22子塊可實(shí)現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯(cuò)切四種基本變換； 右上角的12子塊可實(shí)現(xiàn)平移變換； 左下角的21子塊可實(shí)現(xiàn)投影變換； 右下角的11子

7、塊可實(shí)現(xiàn)整體比例變換。,28,變換矩陣的功能分區(qū),29,比例變換、旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換、錯(cuò)切變換,平移變換,變換矩陣的功能分區(qū),30,投影變換,整體比例變換,本講內(nèi)容,齊次坐標(biāo)表示法 常見的二維圖形幾何變換 平移變換 比例變換 旋轉(zhuǎn)變換 對稱變換 錯(cuò)切變換 變換矩陣的功能分區(qū) 圖形的復(fù)合變換,31,復(fù)合變換,對于任何一個(gè)比較復(fù)雜的變換 可以轉(zhuǎn)換成若干個(gè)連續(xù)進(jìn)行的基本變換 這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換 復(fù)合： 矩陣乘法,32,復(fù)合變換,設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,Tn 頂點(diǎn)p經(jīng)T1變換后：p= T1 p 經(jīng)T2變換后： p= T2 p= T2 T1 p 經(jīng)Tn變換

8、后： p(n)= Tn p(n-1)= TnTn-1T2T1p T= TnTn-1T2T1就為復(fù)合變換矩陣,33,復(fù)合變換,對于計(jì)算復(fù)合變換時(shí)，可將各基本變換矩陣按序相乘，形成總的復(fù)合變換矩陣T，再將變換前的坐標(biāo)與T相乘，得到變換后的最終坐標(biāo) p(n)= Tn p(n-1)= TnTn-1T2T1p= (TnTn-1T2T1)p =Tp 一般情況下，矩陣乘法不滿足交換率，復(fù)合變換應(yīng)嚴(yán)格按照一定的交換順序,34,復(fù)合變換,連續(xù)平移變換 連續(xù)比例變換 連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換 相對任一參考點(diǎn)的二維幾何變換 以平面內(nèi)任一直線為對稱軸進(jìn)行對稱變換,35,連續(xù)平移變換,設(shè)點(diǎn)p(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1(Tx1

9、,Ty1)和第二次平移變換T2(Tx2,Ty2)后的坐標(biāo)為P(x,y) 設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1后的坐標(biāo)為P(x,y) 設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第二次平移變換T2后的坐標(biāo)為P(x,y),36,得到連續(xù)平移變換的復(fù)合矩陣T為： 即連續(xù)的平移變換是平移量的相加,37,連續(xù)平移變換,連續(xù)比例變換,設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1(Sx1,Sy1)和第二次比例變換T2(Sx2,Sy2)后的坐標(biāo)為P (x,y) 設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1后的坐標(biāo)為P(x,y) 設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第二次比例變換T2后的坐標(biāo)為P(x,y),38,得到連續(xù)比例變換的復(fù)合矩陣T為： 即連續(xù)的比例變換是

10、比例系數(shù)的相乘,39,連續(xù)比例變換,連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換,設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1(旋轉(zhuǎn)角度為1)和第二次旋轉(zhuǎn)變換T2(旋轉(zhuǎn)角度為2)后的坐標(biāo)為P (x,y) 設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1后的坐標(biāo)為P (x,y) 設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第二次旋轉(zhuǎn)變換T2后的坐標(biāo)為P (x,y),40,得到連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合矩陣T為：,41,相對任一參考點(diǎn)的二維幾何變換,相對任一參考點(diǎn)的縮放變換 平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處 作相對于原點(diǎn)的縮放變換 平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置 相對任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處 作相對于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 平移變換，

11、即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置,42,43,O,x,y,相對于任意點(diǎn)(x0,y0)的比例變換,(x0,y0),(0,0),相對任一參考點(diǎn)的縮放變換,平移,平移,比例,相對任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,44,O,x,y,相對于任意點(diǎn)(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換,(x0,y0),(0,0),平移,平移,旋轉(zhuǎn),例：求點(diǎn)P(x,y)相對任一點(diǎn)M(x0,y0)作縮放變換的變換矩陣。其中縮放系數(shù)為(Sx,Sy) 解：平移得平移矩陣T1為： 進(jìn)行比例變換得縮放變換矩陣T2為： 反平移使坐標(biāo)系回到原來位置得平移矩陣T3為：,45,相對任一參考點(diǎn)的二維幾何變換,因此，復(fù)合變換矩陣應(yīng)為： 注意：,46,相對任一參考點(diǎn)的二

12、維幾何變換,以任一直線為對稱軸進(jìn)行對稱變換,相對于平面內(nèi)的任意條直線進(jìn)行對稱變換 平移，使對稱軸直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對稱軸直線的方向與某個(gè)坐標(biāo)軸（如X軸）重合 關(guān)于某個(gè)坐標(biāo)軸（如X軸）進(jìn)行對稱變換 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對稱軸直線回到原來的方向 平移，使對稱軸直線回到原來的位置,47,48,o,x,y,以任一直線為對稱軸進(jìn)行對稱變換,例：求點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線ax+by+c=0進(jìn)行對稱變換的變換矩陣 解：根據(jù)直線方程，直線在X軸上的 截距為-c/a(a0),直線在Y軸上 的截距為-c/b(b0)。則直線與 X軸的夾角為，=cot(-a/b)。 首先沿X軸方向平移c/a個(gè)距離長度： 平移矩陣： 再繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，使直線與X軸重合： 旋轉(zhuǎn)矩陣：,49,(-c/a,