1、9/23/2020,常系數(shù)非齊次線性微分方程,第八節(jié),一、,二、,9/23/2020,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,9/23/2020,一、, 為實數(shù) ,設(shè)特解為,其中 為待定多項式 ,代入原方程 , 得,為 m 次多項式 .,(1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式,9/23/2020,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項式,故特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次

2、多項式,故特解形式為,小結(jié),對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè),特解,9/23/2020,代入方程,即可確定系數(shù)：,從而確定特解.,特解的形式為,將,9/23/2020,提示,因為f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*b0 xb1 把它代入所給方程 得,例1 求微分方程y2y3y3x1的一個特解,解,齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30,b0 xb12b0 xb13b0 xb1,3b0 x2b03b1,2b03b0 x3b1,3b0 x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b1

3、1,9/23/2020,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r 60,其根為r12 r23,提示,齊次方程y5y6y0的通解為YC1e2xC2e3x ,因為f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所給方程 得,2b0 x2b0b1x,提示,2b01 2b0b10,因此所給方程的通解為,9/23/2020,二、,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路:,第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點,9/23/2020,

4、第一步,利用歐拉公式將 f (x) 變形,9/23/2020,第二步 求如下兩方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式兩邊取共軛 :,為方程 的特解 .,設(shè),則 有,特解:,9/23/2020,第三步 求原方程的特解,利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :,原方程,均為 m 次多項式 .,9/23/2020,第四步 分析,因,均為 m 次實,多項式 .,本質(zhì)上為實函數(shù) ,9/23/2020,小 結(jié):,對非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,9/23/2020,例4.,的一個特

5、解 .,解: 本題,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個特解,9/23/2020,例5.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為,9/23/2020,內(nèi)容小結(jié), 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為,為特征方程的 k (0, 1 )重根,則設(shè)特解為,3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,9/23/2020,思考與練習(xí),時可設(shè)特解為,時可設(shè)特解為,提示:,1 . (填空) 設(shè),9/23/2020,2. 求微分方程,的通解 (其中,為實數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對應(yīng)齊次方程通解:,時,代入原方程得,故原方程通解為,時,代入原方程得,故原方程通解為,