1、第 一章 模糊集的基本概念,一、什么是模糊數(shù)學(xué),二、模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與基本思想,三、模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展,四、為什么研究模糊數(shù)學(xué),第一節(jié). 模糊數(shù)學(xué)概述,一、什么是模糊數(shù)學(xué),禿子悖論: 天下所有的人都是禿子,設(shè)頭發(fā)根數(shù)n,n=1 顯然,若n=k 為禿子,n=k+1 亦為禿子,模糊概念,模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間 無明顯分界線,年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。,共同特點：模糊概念的外延不清楚。,術(shù)語來源,Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的,模糊，不分明，弗齊，弗晰，勿晰,模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象,模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)

2、學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。,人工智能的要求,取得精確數(shù)據(jù)不可能或很困難,沒有必要獲取精確數(shù)據(jù),模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門嶄新的數(shù)學(xué) 學(xué)科，而且也形成了一種嶄新的思維方法， 它告訴我們存在亦真亦假的命題，從而打破 了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維，使得模糊 推理成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法。隨著模糊數(shù)學(xué)的 發(fā)展，模糊理論和模糊技術(shù)將對于人類社會 的進(jìn)步發(fā)揮更大的作用。,模糊數(shù)學(xué)的概念 處理現(xiàn)實對象的數(shù)學(xué)模型 確定性數(shù)學(xué)模型:確定性或固定性,對象間有必然聯(lián)系. 隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型:對象具有或然性或隨機(jī)性 模糊性數(shù)學(xué)模型:對象及其關(guān)系均具有模糊性. 隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別 隨機(jī)性:指事件出現(xiàn)某種結(jié)果的機(jī)會. 模糊性:指存在

3、于現(xiàn)實中的不分明現(xiàn)象. 模糊數(shù)學(xué):研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法.,模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法. 眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的.,然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價值的. 甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好. 例如,要你某時到某地去迎接一個“大胡子高個子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”. 盡管這里只提供了一個精確信息男人，而其他信息大胡子、高個子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個人. 模糊數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用幾乎涉及到國民經(jīng)濟(jì)的各個領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)

4、濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的應(yīng)用.,數(shù)學(xué)建模與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題,模糊數(shù)學(xué)研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線） 與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（一） 模糊分類問題已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準(zhǔn)確 模糊相似選擇 按某種性質(zhì)對一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性,數(shù)學(xué)建模與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題,模糊聚類分析根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系 模糊層次分析法兩兩比較指標(biāo)的確定 模糊綜合評判綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或?qū)?/p>

5、象作出一個總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進(jìn)行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實際效果,第二節(jié) 模糊子集及其運(yùn)算,一. 經(jīng)典集合 經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重復(fù)性；范圍邊界分明,即一個元素x要么屬于集合A(記作xA),要么不屬于集合(記作xA)，二者必居其一.,集合的表示法： (1)枚舉法，A=x1 , x2 , xn； (2)描述法，A=x | P(x). AB 若xA，則xB； AB 若xB，則xA； A=B AB且 AB.,集合A的所有子集所

6、組成的集合稱為A的冪集，記為(A).,并集AB = x | xA或xB ； 交集AB = x | xA且xB ； 余集Ac = x | xA .,集合的運(yùn)算規(guī)律 冪等律： AA = A， AA = A； 交換律： AB = BA， AB = BA； 結(jié)合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；,分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )； 0-1律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ； 還原律： (Ac)c = A

7、 ； 對偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律： AAc = U， AAc = ；,U 為全集， 為空集.,集合的直積： X Y = (x , y )| xX , y Y .,二. 模糊子集及其運(yùn)算,2.1 模糊子集與隸屬函數(shù),設(shè)U是論域，稱映射 A(x)：U0,1 確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度. 使A(x) = 0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性. 當(dāng)映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 設(shè)論域U = x1 (140),

8、 x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,還可用向量表示法：,A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).,另外，還可以在U上建立一個“矮個子”、“中等個子”、“年輕人”、“中年人”等模糊子集. 從上例可看出： (1) 一個有限論域可以有無限個模糊子集,而經(jīng)典子集是有限的； (2) 一個模糊子集的隸屬函數(shù)的確定方法是主觀的. 隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，模糊數(shù)學(xué)方法是在客觀的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)主觀

9、的方法.,如：考慮年齡集U=0,100，A=“年老”，A也是一個年齡集，u = 20 A，40 呢？扎德給出了 “年老” 集函數(shù)刻畫:,1,0,U,50,100,再如，B= “年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)：,1,0,25,50,U,B（u）,2.2 模糊集的運(yùn)算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隸屬函數(shù)為 Ac (x) = 1- A(x).,模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)

10、,冪等律：AA = A， AA = A； 交換律：AB = BA，AB = BA； 結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 還原律： (Ac)c = A ；,對偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc；,對偶律的證明：對于任意的 xU (論域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 -

11、 B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x),模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特點，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征.,例 設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定義兩個模糊集： A =“商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞”，并設(shè),A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0

12、.79, 0.14, 0.4, 1).,可見Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,第三節(jié) 模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一個經(jīng)典集合，由隸屬度不小于的成員構(gòu)成. 例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(學(xué)生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，則,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6, A0.6 (60分以上者) = u2, u3,

13、u4 , u5 , u6.,定理1 設(shè)A, B (U ) (A, B是論域U 的兩個模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性質(zhì)：,(1) AB AB； (2) A A； (3) (AB)= AB，(AB)= AB.,定理2 (分解定理)設(shè)A (U )，xA，則 A(x) = ，0,1，xA 定義 (擴(kuò)張原理)設(shè)映射 f ：X Y，定義 f (A) ( y ) = A(x)， f (x) = y ,模糊集的數(shù)積 設(shè)A (U ) (A是論域U 的模糊子集)，0,1，稱A為與A數(shù)積， xA, (A)(x)= A(x),性質(zhì)：(1) AB A B； (2) A A ；,定理3 (分解定理2)設(shè)A (U

14、)， 則,第四節(jié) 隸屬函數(shù)的確定,1. 模糊統(tǒng)計方法,與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點”.,2. 指派方法,一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。,3. 借用已有的“客觀”尺度,隸屬函數(shù)參數(shù)化,1. 三角形隸屬函數(shù),參數(shù)a,b,c確定了三角形MF三個頂點的x坐標(biāo)。,參數(shù)a,b,c,d確定了梯形四個角的x坐標(biāo)。當(dāng)b=c時，梯形就退化為三角形。,2. 梯形隸屬函數(shù),3. 高斯形隸屬函數(shù),高斯MF完全由c和決定，c代表MF的中心；決定了MF的寬度。,4. 一般鐘形隸屬函數(shù),參數(shù)完全由b通常為正；如果

15、b0,鐘形將倒置。鐘形MF實際上是概率中柯西分布的推廣，因此又稱為柯西MF。,trig(x;20,60,80),trap(x;10,20,60,90),g(x;50,20),bell(x:20,4,50),隸屬函數(shù)的參數(shù)化舉例：,以鐘形函數(shù)為例，,a,b,c,的幾何意義如圖所示。,改變a,b,c,即可改變隸屬函數(shù)的形狀。,第 二 章模糊模式識別,第一節(jié) 模糊模型識別,模型識別,已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.,模型識別在實際問題中是普遍存在的.例如，學(xué)生到野外采集到一個植物標(biāo)本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機(jī))在分揀信件

16、時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別.,模糊模型識別,所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標(biāo)準(zhǔn)模型庫中提供的模型是模糊的.,模型識別的原理,為了能識別待判斷的對象x = (x1, x2, xn)T是屬于已知類A1, A2, Am中的哪一類？ 事先必須要有一個一般規(guī)則, 一旦知道了x的值, 便能根據(jù)這個規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一個規(guī)則為判別規(guī)則. 判別規(guī)則往往通過的某個函數(shù)來表達(dá), 我們把它稱為判別函數(shù), 記作W(i; x). 一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好將已知類別的對象代入檢驗，這一過程稱為回代檢驗，以便檢驗?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別規(guī)則是否正確.,第二節(jié) 最

17、大隸屬原則,模糊向量的內(nèi)積與外積,定義 稱向量a = (a1, a2, , an)是模糊向量, 其中0ai1. 若ai 只取0或1, 則稱a = (a1, a2, , an)是Boole向量.,設(shè) a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn)都是模糊向量，則定義 內(nèi)積： a b = (akbk) | 1kn； 外積：ab = (akbk) | 1kn.,內(nèi)積與外積的性質(zhì),(a b )c = a cb c ; (ab ) c = a c b c.,模糊向量集合族,設(shè)A1, A2, , An是論域X上的n個模糊子集,稱以模糊集A1, A2, , An為分量的模糊向量

18、為模糊向量集合族，記為A = (A1, A2, , An).,若X 上的n個模糊子集A1, A2, , An的隸屬函數(shù)分別為A1(x), A2(x) , , An(x),則定義模糊向量集合族 A = (A1, A2, , An)的隸屬函數(shù)為 A(x) = A1 (x1), A2 (x2) , , An(xn) 或者 A(x) = A1 (x1) + A2 (x2) + + An(xn)/n. 其中x = (x1, x2, , xn)為普通向量.,最大隸屬原則,最大隸屬原則 設(shè)論域X =x1, x2, , xn 上有m個模糊子集A1, A2, , Am(即m個模型),構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫,若對任

19、一x0X,有k1, 2, , m ,使得 Ak(x0)=A1(x0), A2(x0), , Am(x0)， 則認(rèn)為x0相對隸屬于Ak . 最大隸屬原則 設(shè)論域X上有一個標(biāo)準(zhǔn)模型A,待識別的對象有n個：x1, x2, , xnX, 如果有某個xk滿足 A(xk)=A(x1), A(x2), , A(xn), 則應(yīng)優(yōu)先錄取xk .,例1 在論域X=0,100分?jǐn)?shù)上建立三個表示學(xué)習(xí)成績的模糊集A=“優(yōu)”,B =“良”,C =“差”.當(dāng)一位同學(xué)的成績?yōu)?8分時,這個成績是屬于哪一類？,A(88) =0.8,B(88) =0.7,A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0.,根據(jù)最

20、大隸屬原則,88分這個成績應(yīng)隸屬于A,即為“優(yōu)”. 例2 論域 X = x1(71), x2(74), x3(78)表示三個學(xué)生的成績,那一位學(xué)生的成績最差？ C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2, 根據(jù)最大隸屬原則， x1(71)最差.,例3 細(xì)胞染色體形狀的模糊識別,細(xì)胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常常化為若干個三角圖形,故設(shè)論域為三角形全體.即 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 標(biāo)準(zhǔn)模型庫=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在實驗中觀察到一染

21、色體的幾何形狀，測得其三個內(nèi)角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形？,先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫中各種三角形的隸屬函數(shù).,直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件： (1) 當(dāng)A=90時, R(A,B,C)=1; (2) 當(dāng)A=180時, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,因此，不妨定義R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 則R(x0)=0.955. 或者,其中 p = | A 90|,則R(x0)=0.54.,正三角形的隸屬函數(shù)E(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：,(1) 當(dāng)A = B =

22、C = 60時, E(A,B,C )=1; (2) 當(dāng)A = 180, B = C = 0時, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1.,因此，不妨定義E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.則E(x0) =0.677. 或者,其中 p = A C,則E(x0)=0.02.,等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：,(1) 當(dāng)A = B 或者 B = C時, I(A,B,C )=1; (2) 當(dāng)A = 180, B = 60, C = 0時, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定義 I(A,B,C ) = 1 (A

23、B)(B C)/60. 則I(x0) =0.766. 或者,p = (A B)(B C),則I(x0)=0.10.,等腰直角三角形的隸屬函數(shù) (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隸屬函數(shù) T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045.,通過以上計算,R(x0) = 0.955最大,所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形.,或者(IR)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍然是R(

24、x0) = 0.54最大,所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形.,閾值原則,設(shè)論域X =x1, x2, , xn 上有m個模糊子集A1, A2, , Am(即m個模型),構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫,若對任一x0X,取定水平0,1.,若存在 i1, i2, , ik,使Aij(x0) ( j =1, 2, , k),則判決為： x0相對隸屬于,若Ak(x0)| k =1, 2, , m,則判決為：不能識別,應(yīng)當(dāng)找原因另作分析.,該方法也適用于判別x0是否隸屬于標(biāo)準(zhǔn)模型Ak.若Ak(x0),則判決為：x0相對隸屬于Ak; 若Ak(x0),則判決為： x0相對不隸屬于Ak.,第三節(jié) 擇近原則,設(shè)在論域X =x1,

25、x2, , xn上有m個模糊子集A1, A2, , Am(即m個模型),構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫. 被識別的對象B也是X上一個模糊集,它與標(biāo)準(zhǔn)模型庫中那一個模型最貼近？這是第二類模糊識別問題. 先將模糊向量的內(nèi)積與外積的概念擴(kuò)充. 設(shè)A(x), B(x)是論域X上兩個模糊子集的隸屬函數(shù),定義 內(nèi)積： A B = A(x) B(x) | xX ； 外積：AB = A(x)B(x) | xX .,內(nèi)積與外積的性質(zhì),(1) (A B )c = AcBc; (2) (AB )c = Ac Bc; (3) A Ac 1/2; (4) AAc 1/2.,證明(1) (A B)c = 1-A(x) B(x) |

26、 xX ,= 1- A(x)1- B(x) | xX = Ac(x)Bc(x) | xX = AcBc.,證明(3) A Ac =A(x) 1- A(x) | xX ,1/2 | xX 1/2.,下面我們用 (A, B)表示兩個模糊集A, B之間的貼近程度(簡稱貼近度),貼近度 (A, B)有一些不同的定義. 0(A, B) = A B + (1 -AB)/2 (格貼近度) 1(A, B) = (A B )(1- AB),擇近原則 設(shè)在論域X = x1, x2, , xn上有m個模糊子集A1, A2, , Am構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫,B是待識別的模型.若有k1,2, m, 使得 (Ak , B)

27、 = (Ai , B) | 1im, 則稱B與Ak最貼近,或者說把B歸于Ak類.這就是擇近原則.,小麥品種的模糊識別(僅對百粒重考慮),多個特性的擇近原則,設(shè)在論域X =x1, x2, , xn上有n個模糊子集A1, A2, , An構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫,每個模型又由個特性來刻劃： Ai =(Ai1, Ai2, , Aim), i = 1,2, n, 待識別的模型B=(B1, B2, , Bm). 先求兩個模糊向量集合族的貼近度： si = (Aij , Bj) | 1jm, i = 1,2, n, 若有k1,2, n,使得 (Ak , B) =si | 1in, 則稱B與Ak最貼近,或者說把

28、B歸于Ak類. 這就是多個特性的擇近原則.,貼近度的的改進(jìn),格貼近度的不足之處是一般0(A, A)1. 定義 (公理化定義)若 (A, B)滿足 (A, A)=1; (A, B)= (B, A); 若ABC, 則 (A, C) (A, B) (B, C).,則稱 (A, B)為A與B的貼近度.,顯然,公理化定義顯得自然、合理、直觀,避免了格貼近度的不足之處,它具有理論價值.但是公理化定義并未提供一個計算貼近度的方法,不便于操作. 于是,人們一方面盡管覺得格貼近度有缺陷,但還是樂意采用易于計算的格貼近度來解決一些實際問題；另一方面,在實際工作中又給出了許多具體定義.,離散型,連續(xù)型,離散型,連續(xù)

29、型,離散型,連續(xù)型,事實上,擇近原則的核心就是最大隸屬原則.如在小麥品種的模糊識別(僅對百粒重考慮)中,可重新定義“早熟”、“矮稈”、“大?！薄ⅰ案叻守S產(chǎn)”、“中肥豐產(chǎn)”的隸屬函數(shù).,重新定義“早熟”的隸屬函數(shù)為,重新定義“矮稈”的隸屬函數(shù)為,例4 大學(xué)生體質(zhì)水平的模糊識別.,陳蓓菲等人在福建農(nóng)學(xué)院對240名男生的體質(zhì)水平按中國學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查研究手冊上的規(guī)定,從18項體測指標(biāo)中選出了反映體質(zhì)水平的4個主要指標(biāo)(身高、體重、胸圍、肺活量),根據(jù)聚類分析法,將240名男生分成5類：A1(體質(zhì)差),A2(體質(zhì)中下),A3(體質(zhì)中),A4(體質(zhì)良),A5 (體質(zhì)優(yōu)),作為論域U(大學(xué)生)上的一個標(biāo)準(zhǔn)

30、模型庫,然后用最大隸屬原則,去識別一個具體學(xué)生的體質(zhì). 5類標(biāo)準(zhǔn)體質(zhì)的4個主要指標(biāo)的觀測數(shù)據(jù)如下表所示.,現(xiàn)有一名待識別的大學(xué)生x = x1, x2, x3, x4 = 175, 55.1, 86, 3900，他應(yīng)屬于哪種類型？,第 三章模糊聚類分析,第一節(jié) 模糊矩陣,定義1 設(shè)R = (rij)mn，若0rij1，則稱R為模糊矩陣. 當(dāng)rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣. 當(dāng)模糊方陣R = (rij)nn的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.,定義2 設(shè)A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩陣， 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aij

31、bij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (aijbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn.,模糊矩陣的并、交、余運(yùn)算性質(zhì),冪等律：AA = A，AA = A； 交換律：AB = BA，AB = BA； 結(jié)合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)； 吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)； 0-1律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A； 還原律：(Ac)c = A； 對偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.,

32、模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的冪,設(shè)A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定義模糊矩陣A 與B 的合成為： A B = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方陣的冪 定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A A， A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,合成( )運(yùn)算的性質(zhì)：,性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)； 性質(zhì)2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性質(zhì)3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性質(zhì)4：O A = A O = O，I A

33、=A I =A； 性質(zhì)5：AB，CD AC B D.,注：合成( )運(yùn)算關(guān)于()的分配律不成立，即 ( AB ) C ( A C )( B C ),( AB ) C,( A C )( B C ),( AB ) C ( A C )( B C ),模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,定義 設(shè)A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.,轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：,性質(zhì)1：( AT )T = A； 性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ； 性質(zhì)4：( Ac )T =

34、 ( AT )c ； 性質(zhì)5：AB AT BT .,證明性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .,證明：設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 記( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由轉(zhuǎn)置的定義知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T .,模糊矩陣

35、的 - 截矩陣,定義7 設(shè)A = (aij)mn,對任意的0, 1，稱 A= (aij()mn, 為模糊矩陣A的 - 截矩陣, 其中 當(dāng)aij 時，aij() =1；當(dāng)aij 時，aij() =0. 顯然，A的 - 截矩陣為布爾矩陣.,對任意的0, 1，有,性質(zhì)1：AB A B； 性質(zhì)2：(AB) = AB，(AB) = AB； 性質(zhì)3：( A B ) = A B； 性質(zhì)4：( AT ) = ( A )T.,下面證明性質(zhì)1： AB A B 和性質(zhì)3.,性質(zhì)1的證明： AB aijbij； 當(dāng) aijbij時， aij() =bij() =1； 當(dāng)aij bij時， aij() =0, bij(

36、) =1； 當(dāng)aijbij時， aij() = bij() =0； 綜上所述aij()bij()時， 故A B .,性質(zhì)3的證明：,設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1,cij() =0 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0,所以, cij() =(aik()bkj().,( A B ) =

37、A B .,第二節(jié) 模糊關(guān)系,與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣.,設(shè)有論域X，Y，X Y 的一個模糊子集 R 稱為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射 R : X Y 0,1. 并稱隸屬度R (x , y ) 為 (x , y )關(guān)于模糊關(guān)系 R 的相關(guān)程度. 特別地，當(dāng) X =Y 時，稱之為 X 上各元素之間的模糊關(guān)系.,例1 設(shè)x,y為汽車，則“x比y好”這種關(guān)系就是模糊關(guān)系,例2 設(shè)x,y指人，則“x和y 相象”這種關(guān)系也是模糊關(guān)系,例3：設(shè):,若X是指實數(shù)軸,則“x比y大得多”,隸屬度函數(shù):,模糊關(guān)系的運(yùn)算,由于模糊關(guān)系 R就是X Y 的

38、一個模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì).,設(shè)R，R1，R2均為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)； 并： R1R2 的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 交： R1R2 的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 余：Rc 的隸屬函數(shù)為Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“R1或者R2”的相關(guān)程度， (R1R2 )(x, y)

39、表示(x, y)對模糊關(guān)系“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc (x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“非R”的相關(guān)程度.,模糊關(guān)系的矩陣表示,對于有限論域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn，則X 到Y(jié) 模糊關(guān)系R可用mn 階模糊矩陣表示，即 R = (rij)mn， 其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度. 又若R為布爾矩陣時,則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi 與 yj 之間要么有關(guān)系(rij = 1),要么沒有關(guān)系( rij = 0 ).,例 設(shè)身高論域X =140, 150, 160, 170, 180 (

40、單位：cm), 體重論域Y =40, 50, 60, 70, 80(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系.,模糊關(guān)系的合成,設(shè) R1 是 X 到 Y 的關(guān)系, R2 是 Y 到 Z 的關(guān)系, 則R1與 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一個關(guān)系. (R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 當(dāng)論域為有限時，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成. 設(shè)X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y(jié) 的模糊關(guān)系R1 = (aik)ms，Y 到Z 的模糊關(guān)系R2 = (bkj)sn，

41、則X 到Z 的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì),性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)； 性質(zhì)2：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性質(zhì)3：( A B )T = BT AT； 性質(zhì)4：A B，C D A C B D.,注：(1) 合成( )運(yùn)算關(guān)于()的分配律不成立,即 ( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運(yùn)算的性質(zhì).,第三節(jié) 模糊等價矩陣,模糊等價關(guān)

42、系,若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價關(guān)系.,當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時, X 上的一個模糊等價關(guān)系R就是模糊等價矩陣, 即R滿足：,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2 R.,R2 R ( (rikrkj) | 1kn rij) .,模糊等價矩陣的基本定理,定理1 若R具有自反性(IR)和傳遞性(R2R), 則 R2 = R. 定理2 若R是模糊等價矩陣,則對任意0, 1，R是等價的

43、Boole矩陣.,0,1，ABAB； (AB)=AB；( AT ) = ( A)T,證明如下： (1)自反性：IR0,1，IR 0,1，I R，即R具有自反性； (2)對稱性：RT = R (RT) = R (R)T = R，即R具有對稱性； (3)傳遞性：R2R(R)2R，即R具有傳遞性.,定理3 若R是模糊等價矩陣,則對任意的01, R 所決定的分類中的每一個類是R決定的分類中的某個類的子類.,證明：對于論域 X = x1, x2, , xn，若 xi , xj 按R分在一類，則有 rij() = 1 rij rij rij() =1， 即若 xi , xj 按R也分在一類. 所以，R 所

44、決定的分類中的每一個類是R 決定的分類中的某個類的子類.,模糊相似關(guān)系,若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 則稱模糊關(guān)系 R 是 X 上的一個模糊相似關(guān)系. 當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時，X 上的一個模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 對稱性：RT = R ( rij = rji ).,模糊相似矩陣的性質(zhì),定理1 若R 是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù) k，Rk 也是模糊相

45、似矩陣. 定理2 若R 是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù) k (kn )，對于一切大于k 的自然數(shù) l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等價矩陣(R2k = Rk ). 此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導(dǎo)出一個模糊等價矩陣.,平方法求傳遞閉包 t (R)： RR2R4R8R16,模糊矩陣,第四節(jié) 模糊聚類分析,數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè)論域X = x1, x2, , xn為被分類對象,每個對象又由m個指標(biāo)表示其形狀: xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n 于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為,平移 標(biāo)準(zhǔn)差變換

46、,其中,平移 極差變換,模糊相似矩陣建立方法,相似系數(shù)法 -夾角余弦法,相似系數(shù)法 -相關(guān)系數(shù)法,其中,距離法,海明距離,歐氏距離,Boole矩陣法：,Boole矩陣法的步驟如下：,(1)求模糊相似矩陣的 -截矩陣R ； (2) 若R在某一排列下的矩陣有形如,的特殊子矩陣,則將R 中上述特殊形式子矩陣的0改為1，直到在任一排列下R中不再產(chǎn)生上述特殊形式子矩陣為止.,最佳分類的確定,在模糊聚類分析中，對于各個不同的0,1，可得到不同的分類，從而形成一種動態(tài)聚類圖，這對全面了解樣本分類情況是比較形象和直觀的. 但在許多實際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問題.,案例

47、：基于六座城市的氣候指標(biāo),設(shè)X = (xij)nm為n個元素m個指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)矩陣. 為總體樣本的中心向量.,對應(yīng)于 值的分類數(shù)為r，第 j 類的樣本數(shù)為nj，第 j 類的樣本標(biāo)記為,第 j 類樣本的中心向量為,作F- 統(tǒng)計量：,如果滿足不等式FF ( r -1, n -r )的F值不止一個，則可根據(jù)實際情況選擇一個滿意的分類，或者進(jìn)一步考查差 ( F - F )/F 的大小，從較大者中找一個滿意的F值即可.,實際上，最佳分類的確定方法與聚類方法無關(guān)，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較滿意的分類.,蠓的分類,左圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數(shù)據(jù), 其中“”表示Apf,“”

48、表示Af.根據(jù)觸角長和翼長來識別一個標(biāo)本是Af還是Apf是重要的., 給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區(qū)分它屬于哪一族？ 將你的方法用于觸角長和翼長分別為(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三個標(biāo)本.,模糊判別方法 先將已知蠓重新進(jìn)行分類.,當(dāng) = 0.919時,分為3類1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三類的中心向量分別為(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).,A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓), A2 = (0.

49、390, 1.000) (Af 蠓), A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),再將三只待識別的蠓用上述變換分別變?yōu)?B1= (0.015, 0.672), B2 = (0.062, 0.719), B3 = (0.203, 0.953 ).,采用貼近度,3 (A, B) =,計算得： 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92. 3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A

50、3, B3) = 0.83. 根據(jù)擇近原則及上述計算結(jié)果,第一只待識別的蠓(1.24, 1.80)屬于第三類,即Apf 蠓；第二只待識別的蠓(1.28, 1.84)屬于第三類,即Apf 蠓；第三只待識別的蠓(1.40, 2.04)屬于第二類,即Af 蠓., 設(shè)Af是傳粉益蟲, Apf是某種疾病的載體, 是否應(yīng)修改你的分類方法？若需修改, 為什么？,2000網(wǎng)易杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 DNA序列分類 2000年6月，人類基因組計劃中DNA全序列草圖完成，預(yù)計2001年可以完成精確的全序列圖，此后人類將擁有一本記錄著自身生老病死及遺傳進(jìn)化的全部信息的“天書”。這本大自然寫成的“天書”是由4個字符

51、A，T，C，G按一定順序排成的長約30億的序列，其中沒有“斷句”也沒有標(biāo)點符號，除了這4個字符表示4種堿基以外，人們對它包含的“內(nèi)容”知之甚少，難以讀懂。破譯這部世界上最巨量信息的“天書”是二十一世紀(jì)最重要的任務(wù)之一。在這個目標(biāo)中，研究DNA全序列具有什么結(jié)構(gòu)，由這4個字符排成的看似隨機(jī)的序列中隱藏著什么規(guī)律，又是解讀這部天書的基礎(chǔ)，是生物信息學(xué)（Bioinformatics）最重要的課題之一。,雖然人類對這部“天書”知之甚少，但也發(fā)現(xiàn)了DNA序列中的一些規(guī)律性和結(jié)構(gòu)。例如，在全序列中有一些是用于編碼蛋白質(zhì)的序列片段，即由這4個字符組成的64種不同的3字符串，其中大多數(shù)用于編碼構(gòu)成蛋白質(zhì)的20

52、種氨基酸。又例如，在不用于編碼蛋白質(zhì)的序列片段中，A和T的含量特別多些，于是以某些堿基特別豐富作為特征去研究DNA序列的結(jié)構(gòu)也取得了一些結(jié)果。此外，利用統(tǒng)計的方法還發(fā)現(xiàn)序列的某些片段之間具有相關(guān)性，等等。這些發(fā)現(xiàn)讓人們相信，DNA序列中存在著局部的和全局性的結(jié)構(gòu)，充分發(fā)掘序列的結(jié)構(gòu)對理解DNA全序列是十分有意義的。目前在這項研究中最普通的思想是省略序列的某些細(xì)節(jié)，突出特征，然后將其表示成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對象。,這種被稱為粗粒化和模型化的方法往往有助于研究規(guī)律性和結(jié)構(gòu)。 作為研究DNA序列的結(jié)構(gòu)的嘗試，提出以下對序列集合進(jìn)行分類的問題： 1）下面有20個已知類別的人工制造的序列（見下頁），其中序列標(biāo)號

53、110 為A類，11-20為B類。請從中提取特征，構(gòu)造分類方法，并用這些已知類別的序列，衡量你的方法是否足夠好。然后用你認(rèn)為滿意的方法，對另外20個未標(biāo)明類別的人工序列（標(biāo)號2140）進(jìn)行分類，把結(jié)果用序號（按從小到大的順序）標(biāo)明它們的類別（無法分類的不寫入）： A類 ； B類 。 請詳細(xì)描述你的方法，給出計算程序。如果你部分地使用了現(xiàn)成的分類方法，也要將方法名稱準(zhǔn)確注明。 這40個序列也放在如下地址的網(wǎng)頁上，用數(shù)據(jù)文件Art-model-data 標(biāo)識，供下載： 網(wǎng)易網(wǎng)址： 教育頻道 在線試題； 教育網(wǎng)： News mcm2000 教育網(wǎng)： ,2）在同樣網(wǎng)址的數(shù)據(jù)文件Nat-model-da

54、ta 中給出了182個自然DNA序列，它們都較長。用你的分類方法對它們進(jìn)行分類，像1）一樣地給出分類結(jié)果。 提示：衡量分類方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是分類的正確率，構(gòu)造分類方法有許多途徑，例如提取序列的某些特征，給出它們的數(shù)學(xué)表示：幾何空間或向量空間的元素等，然后再選擇或構(gòu)造適合這種數(shù)學(xué)表示的分類方法；又例如構(gòu)造概率統(tǒng)計模型，然后用統(tǒng)計方法分類等。,1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg 2.cggaggacaaacgg

55、gatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga 3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga 4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattatt

56、atggtatcataaaaaaaggttgcga 5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag 6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca 7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatgg

57、cggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg 8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg 9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg 10.t

58、ggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg 11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggtaagtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt 12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttt

59、taaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa 13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc 14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta 15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa 16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttct