1、第七章 線性變換,小結(jié)與復習,本章知識結(jié)構(gòu),一、線性變換的定義 定義1 設是F上向量空間V的一個變換. 若對于V中任意向量 , 及F中任意數(shù)k，都有 () () (); (k)k (). 則稱是V的一個線性變換.,二、線性變換的性質(zhì) 定理7.1.1 設V是F上的一個向量空間，是V的一個線性變換. (i) (0)0. 其中0是V的零向量. (ii) 設1， ，s是V的向量，則 (1s) (1) (s)； (iii) , 1， ，s是V的向量. 若 k11kss，則 ()k1 (1) ks (s). (iv) 若1, s是V的線性相關的向量組，則(1), , (s) 也是V的線性相關的向量組.,定

2、理7.1.2 設1, 2, , n是F上的向量空間V的一個基，1, 2, , n是V的任意n個向量，則存在V的唯一的一個線性變換，使 (i)i，i1, 2, , n. 推論7.1.3 設1,2,，n是向量空間V的一個基，若V的線性變換, 滿足 (i) (i), i1, 2, , n, 則必有 .,三、線性變換的運算 線性變換的加法和數(shù)乘運算 設V是F上的一個向量空間，用L(V)表示V的一切線性變換作成的集合. 定義1 設, L (V). 與 的和 定義為 () () () (), V. 易知也是V的線性變換. 事實上，對任意, V, kF，有 () () () () () () () () (

3、) ()() (). () (k) (k) (k) k ()k () k () ().,定義2 設 L(V)，k是F中的一個數(shù). k與的積k定義為 (k) ()k( ()，V. 容易驗證，k也是V的一個線性變換. 線性變換的乘法運算 定義3 設, L(V). 與的乘積 定義為 ( ) () (), V. 定理7.2.1 L(V)對于線性變換的加法，數(shù)與線性變換的乘法運算構(gòu)成數(shù)域F上的一個向量空間.,可逆線性變換 定義4 設L(V)，若存在V的變換，使得 ， 則稱線性變換是可逆的, 稱為的逆變換. 定理7.2.2 設 L(V)，1, 2, , n是V的一個基. 則可逆的充要條件是 (1), (2

4、), , (n)線性無關.,四、線性變換的矩陣 設V是F上n維向量空間，是V的一個線性變換，1 , ,n是V的一個基. 由于 (1)，, (n)也是V中的向量，它們都可以唯一地由基1, , n線性表示，設為 (1)a111a212an1n , (2)a121a222an2n (n)a1n 1a 2n2annn . 令 A,規(guī)定 (1,2 ,n)( (1), (2) , (n) ) 則向量等式組(1)式可表示成 (1,2 ,n)(1,2 ,n)A, 也可以表示成 ( (1), (2) , (n) )=(1,2 ,n)A . 矩陣A叫做線性變換關于基1,2 ,n的矩陣，矩陣A的第j列就是基向量j的

5、象 (j)關于基1, 2 ,n的坐標，j=1, 2 , n.,五、向量與 ()在同一基下的坐標關系 定理7.3.1 設是n維向量空間V的一個線性變換，關于V的一個基1, 2 , n的矩陣是A. 向量關于這個基的坐標是(a1, a2 , an)T， ()關于這個基的坐標是(b1, b2 , bn)T，則,定理7.3.2 設1,2,n是向量空間V的給定的一個基，作映射f： L (V) Mn(F)，使對V的任一線性變換，在f之下的象是關于基1,2,n的矩陣A，即f ()A. 那么f是L(V)到Mn(F)的雙射，并且若, L(V)，f ()A，f ()B，則 f ()AB f (k)kA, f ()A

6、B.,定理7.3.3 設1,2,n是向量空間V的基， L (V)， 關于基1,2,n的矩陣是A.則 可逆的充要條件是A可逆.并且,當可逆時, 1關于基的矩陣為A1. 定理7.3.4 一個線性變換關于兩個基的矩陣是相似的,反之,相似矩陣可以看作同一線性變換關于兩個基的矩陣.,推論7.3.5 設是F上n(n0)維向量空間V的線性變換, 關于V的基1, 2, , n,1, 2, , n的矩陣分別為A,B,且由1, 2, , n到1, 2, , n的過渡矩陣為T,則 T-1AT=B,六、不變子空間的定義 定義1 設是F上向量空間V的一個線性變換，W是V的一個子空間，若W中向量在下的像仍在W中，即對于W

7、中任一向量，都有 () V，則稱W是的一個不變子空間，或稱W在之下不變.,七、線性變換的值域與核 定義2 設是向量空間的一個線性變換，由V中全體向量的像構(gòu)成的集合稱為的值域，記作（V）或Im ；由零向量在之下的全體原像作成的集合稱為的核，記作Ker ，即 Im= () V, Ker = V ()=0 定理7.4.2 設是向量空間V的線性變換，那么Im和Ker是V的子空間，并且在之下不變. 把Im的維數(shù)稱為線性變換的秩，記作秩.把Ker的維數(shù)稱為線性變換的零度.,定理7.4.3 設是n維向量空間V的一個線性變換， 1, 2, , n是V的一個基， 關于這個基的矩陣是A，則 (1) Im=L ( (1), (2) , (n) ) (2) 的秩等于A的秩 定理7.4.4 設是n維向量空間V的一個線性變換，則 秩 +的零度=n,八、本征值和本征向量的定義 定義1 設V是數(shù)域F上的向量空間，是V的線性變換. 若對F中的數(shù)，存在V的一個非零向量，使 (),. 則稱是線性變換的本征值，稱為的屬于本征值的本征向量.,九、本征值和本征向量的求法 定理7.5.1 設V是F上n(0)維向量空間，L(V)，在V的基1,2 ,n下的矩陣為A. (i) 是的本征值當且僅當是A的在F中的特征根； (ii) 設是的本征值，則是的屬于本征值的本征